方程思想在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

甘肅省秦安縣第二中學(xué)

王永強

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).人類歷史發(fā)展中數(shù)學(xué)是最先且一直應(yīng)用在實際生活中的一門科學(xué).任何一個科學(xué)領(lǐng)域都離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，也是一切科學(xué)的靈魂.數(shù)學(xué)的特點不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性，而且在于應(yīng)用的廣泛性.我們只有掌握了數(shù)學(xué)的廣泛的應(yīng)用，并能用數(shù)學(xué)知識解決各種各樣的實際問題，才能說真正學(xué)會了數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的重要手段和途徑之一，它可以促進學(xué)生解決實際問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用主要和數(shù)學(xué)建模的方法結(jié)合起來，利用數(shù)學(xué)建模來解決生活中的實際問題.

其中方程思想往往通過和函數(shù)思想、不等式思想、數(shù)形結(jié)合思想等的結(jié)合，可以解決現(xiàn)實生活和生產(chǎn)過程中的很多問題.本文中選取經(jīng)濟活動、數(shù)據(jù)測量、軍事國防等方面的具體實例，尋求解決這些問題的辦法.

1 在經(jīng)濟活動方面的應(yīng)用

現(xiàn)實生活中，我們會遇到向銀行存款時怎樣存款獲得的利息最多，按揭貸款買房時怎么貸款支付的利息最少等合理使用資金的問題.這些問題可以應(yīng)用方程思想來解決，下面我們舉一個銀行存款的問題.

1.1 問題提出

北京大學(xué)學(xué)校基金會有一筆M萬元的基金，打算將其存入銀行或購買國庫券，當(dāng)前銀行存款及各期國庫券的利息見表1.假設(shè)國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定，取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策.

表1 銀行存款、國庫券年利率表

北京大學(xué)學(xué)校基金會計劃在每年用部分本息資金獎勵優(yōu)秀的師生，要求每年發(fā)放的獎金額大致相同，并且讓基金使用N年后M萬元的基金不能減少.

請你幫助北京大學(xué)學(xué)校基金會在如下情況下設(shè)計基金使用方案.

假設(shè)M=5 000萬元，N=10年.北京大學(xué)在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，基金會希望這一年的獎金比其他年度多20%.請給出具體分析結(jié)果.

1.2 模型假設(shè)

(1)假設(shè)銀行利率和國庫券利率一直保持不變.

(2)假設(shè)每年存取款也就是國庫券發(fā)行期.

(3)假設(shè)每年獎金發(fā)放時間不定，和存取款時間相同.

1.3 模型分析

本模型的一個目的是提高所得利率，從利率表可以看出銀行存款或國庫券時間越長，利率越大，收益越大.另一個目的是每年利用大致相同的部分本息資金獎勵優(yōu)秀師生，也就是每年要取出一部分錢來使用.滿足這兩點，模型才合理.通過對利率表的分析，時間越長，利息越多.如果在同一年期國庫券利率高時就買國庫券，銀行利率高時就把錢存入銀行，也就是把錢存在同期利率高的方式做投資.

我們假設(shè)：

X1表示1年期存款數(shù)，一年后連本帶利發(fā)放獎金；X2表示購2年期國庫券數(shù)，二年后連本帶利發(fā)放獎金；X3表示購3年期國庫券數(shù)，三年后連本帶利發(fā)放獎金；X4表示購2年期國庫券數(shù)，到期后連本帶利再購2年期國庫，四年后連本帶利發(fā)放獎金；X5表示購5年期國庫券數(shù)，五年后連本帶利發(fā)放獎金；X6表示購3年期國庫券數(shù)，到期后連本帶利再購3年期國庫券，六年后連本帶利發(fā)放獎金；X7表示購5年期國庫券數(shù)，到期后連本帶利再購2年期國庫券，七年后連本帶利發(fā)放獎金；X8表示購5年期國庫券數(shù)，到期后連本帶利再購3年期國庫券，八年后連本帶利發(fā)放獎金；X9表示購5年期國庫券數(shù)，到期后連本帶利再購3年期國庫券，再到期后連本帶利存一年定期，(也可以購5年期國庫券，到期后連本帶利再購2年期國庫券，到期后連本帶利再購2年期國庫券，但這種方案沒有前者優(yōu))，九年后連本帶利發(fā)放獎金;X10表示購5年期國庫券數(shù)，到期后連本帶利再購5年期國庫券，十年后取出，發(fā)放同等的獎金，剩余部分還是原來的基金.

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10=5 000.

①

X1(1+0.018)=X2(1+2×0.025 5)

=X4(1+2×0.025 5)2

=X5(1+5×0.031 4)

=X6(1+3×0.028 9)2

=X7(1+5×0.031 4)(1+2×0.025 5)

=X8(1+5×0.031 4)(1+3×0.028 9)

=X9(1+5×0.031 4)(1+3×0.028 9)(1+0.018)

=X10(1+5×0.031 4)2- 5 000

②

可以把方程組②的數(shù)據(jù)依次利用換元法變成X1的代數(shù)式再代入①式，這樣就把①式變成只含有X1的一元方程來解題，就可以求出每年的基金使用計劃.限于本文主要探究數(shù)學(xué)的方程思想在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，具體解題過程在此不再詳述.

2 在數(shù)據(jù)測量方面的應(yīng)用

方程思想可以簡單快速解決許多問題，如在安裝中央空調(diào)時、架構(gòu)高壓線時電阻的測量等就可以利用方程的思想來解決.以下我們舉一個關(guān)于中央空調(diào)電阻的測量問題.

2.1 問題提出

有一幢100層大廈安裝了中央空調(diào)，裝成之后發(fā)現(xiàn)儀表顯示的溫度和實際溫度有較大的誤差.經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)由于連接儀表的三根導(dǎo)線電阻不相等所致，只有測出每根導(dǎo)線的電阻才可以解決儀表不準(zhǔn)的問題.每根導(dǎo)線都從一樓連接到頂樓，很明顯直接測量每根導(dǎo)線電阻是不可能的，因為導(dǎo)線一頭在一層，另一頭在一百層.那么應(yīng)該怎么辦？

2.2 模型假設(shè)

我們應(yīng)用數(shù)學(xué)的方程思想，假設(shè)：三根導(dǎo)線的電阻分別是Ra，Rb，Rc.把導(dǎo)線a和b，b和c，c和a在樓房頂部連成一個回路，在一樓就可以使用電阻表分別測量.

2.3 模型分析

我們依次利用連接的三個電路，再使用電阻表在樓房底部分別測出每一個回路的電阻，假設(shè)測定的電阻分別為X，Y，Z，那么就有方程組

Ra+Rb=X

③

Rb+Rc=Y

④

Rc+Ra=Z

⑤

聯(lián)立方程組③④⑤可以算出每根導(dǎo)線的電阻Ra，Rb，Rc.

再根據(jù)物理知識給三根導(dǎo)線分別串聯(lián)合適的電阻就可以使三根導(dǎo)線的電阻相等了.

3 在軍事國防方面的應(yīng)用

測量大海上駛來的一艘軍艦的長度大小和位置方向，空中飛來的敵機的高度和位置，敵國導(dǎo)彈發(fā)射基地的位置，測量河流的寬度，樓房的高度，山的高度，等等，我們也可以嘗試?yán)脭?shù)學(xué)的方程思想和數(shù)形結(jié)合思想去解決這類問題.下面我們舉例一個測量高度的問題.

3.1 問題的提出

大家都看過電影《攀登者》吧？為了登上珠穆朗瑪峰的山頂測量海拔高度，花費了巨大的人力物力，甚至有人為此付出了生命的代價.如果我們不用登上珠穆朗瑪峰的山頂，能否可以測量出它的海拔高度呢？

3.2 模型的假設(shè)

如圖1，只要測量人員在珠穆朗瑪峰的山腳下D點可以測量出D點的海拔高度，那么珠穆朗瑪峰山頂A點的海拔高度也就可以解決了.

圖1

假設(shè)過山頂最高點A作D點所在的水平面的垂線，垂線交水平面于B點.其中A點是我們的一個不變的觀察點.設(shè)AB的高度為H，如果我們能夠計算出H，那么珠穆朗瑪峰的海拔高度就等于D點的海拔高度加H.

3.3 模型的分析

首先在Rt△ABD中,測出測量人員從點D觀察珠穆朗瑪峰最高點A的仰角，即∠ADB的大小，如果再計算出AD的長度，就可以計算出H=ADsin∠ADB.

為了計算AD的長度，需要確定一個與點D在同一水平面的觀察點C，首先測量出CD的長度，再使用儀器測量出∠ACD和∠ADC的大小，就可以計算出∠CAD=π-(∠ACD+∠ADC),最后利用正弦定理，得

把上面結(jié)果代入H=ADsin∠ADB就可以計算出高度H.

因此，可以計算出珠穆朗瑪峰的海拔高度=D點的海拔高度+高度H.

通過上面的一些具體實際生活問題的探究，我們可以看出數(shù)學(xué)知識在實際生活中的應(yīng)用較多，且非常科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn).其中方程思想在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用更是非常廣泛和巧妙.因此，我們必須要學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，更要應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決實際生活中的一些問題.