也談數學教學教什么*

江蘇省南通市通州區教師發展中心

王惠清

對“數學教學教什么？”這個問題的思考，源于當前“內卷化”的數學教學現狀.隨著教育改革進入“深水區”，教育“內卷化”效應愈加明顯.“內卷化”的結果直接導致學生不知道學什么，卻整天在學；教師不知道教什么，卻整天在教.一切為了高考，學生學得累，教師教得累，這似乎成了當前高中數學教學的常態.核心素養背景下，數學教學到底教什么呢？筆者認為，數學教學應該教理解、思維、思想方法和數學精神.

1 教理解

有人認為，練是學生學習數學提高考試成績最有效的途徑.于是，教師在教學時往往存在“輕過程、重結果”的錯誤做法：新授內容無限制地被壓縮，相關概念、原理等新知內容，課上“一帶而過”，甚至和盤托出；然后，進行大規模機械重復的強化訓練，并加大訓練難度.學生在數學學習過程中也出現了這樣一種奇怪的現象：雖然不知道問題是如何產生的，卻竟然知道如何去解答.“知其然而不知其所以然”幾乎成了許多學生數學學習的真實寫照.顯然，這種教法背離了數學教育的初衷，歪曲了數學的本來面目.

數學需要死記硬背嗎？否！數學學習重在理解，數學科目文科化學習，必然會導致數學思維的停滯不前.在教三角函數時，教師都遇到過這樣的尷尬，讓學生拼命記憶眾多三角公式，并加以默寫，可遇到具體問題時，學生還是忘記了公式或不知如何用公式.造成這種現象的原因，歸根結底是學生沒有理解這些公式是如何產生的.因此，教師要教的不是讓學生記憶公式，而是利用思維導圖讓學生理解這些公式及其用途，比如，對于三角恒等變換公式，教師就是這樣讓學生理解的，如圖1.

圖1

實踐證明：輕過程、重結果式的數學教學注定是一種失敗的教學.為了扭轉失敗局面，教師只能讓學生刷題，這種低效的教學不僅阻礙了學生的進步，同時，也抑制了教師的成長，因為忽視理解的教學直接導致學生的數學思維永遠停留在原地、故步自封.

2 教思維

數學是思維的體操.離開了思維談教數學，是竹籃打水一場空.無論是怎樣的課堂模式，如果教師激不起學生思維的漣漪，那就是一堂失敗的課.數學課不可盲目地追求形式，如果花哨的課堂形式不能引發學生的數學思維，這種形式我們就應該摒棄.那么，教師如何教學生數學思維呢？

筆者以為，一方面，教師要善于創設數學課堂問題情境，以激發學生的數學思維，尤其是創設真實的生活情境，快速將學生的思維引向正軌.例如，在學習最優化問題時，筆者創設了這樣一個問題情境：某農戶，有100m長的圍欄，準備將它圍成一個雞圈，試問如何圍才能使雞圈的面積最大.一石激起千層浪.學生都積極思考起來.大多數學生經過計算，認為圍成正方形時，雞圈的面積最大.但也有學生認為，圍成一個圓時，面積最大.最后經過面積比較發現，圍欄圍成圓時，面積最大.這其實是一個發散性思維問題，看似簡單，卻容易因為考慮不周而得到錯誤結論.通過兩種情形的討論，既教會了學生思維方法，又培養了學生思維的深刻性.

另一方面，教師要善于設計問題串，引導學生的數學思維螺旋式上升.教師教學生思維，就是教學生如何思考問題，并找到解決問題的方法.而問題串是引導學生思維由淺入深的最有效的途徑之一.例如，在基本不等式的應用教學中，筆者設計了這樣一組問題串：

(3)已知a>0，b>0，且a+3b-5ab=0，則3a+4b的最小值是______；

以上五個問題，為學生鋪設了一條拾階而上的思維之路.學生順著這條路自主探索，基本不等式應用中的思維方法自然生成.

3 教思想方法

數學學習離不開解題，掌握數學思想方法，才能站在解題的制高點.教學中，教師應把數學思想方法滲透到每一堂課中，通過“一題多解”或“一題多變”，讓學生在多元思維碰撞中，感悟與形成思想方法.

例如，解析幾何計算問題一直是學生的痛點，主要原因是學生沒有真正領會解析幾何問題包含的思想方法，為此，教師就要站在思想方法的高度引導學生解題.如有這樣一道題：

如圖2，在平面直角坐標系xOy中，過原點的直線l：y=k1x(k1>0)交拋物線C：y2=2x于點P(異于原點O)，拋物線C上點P處的切線交y軸于點M，設線段OP的中點為N，連接線段MN交C于點T.

圖2

(2)過點P作圓O′：(x-1)2+y2=1的切線交C于另一點Q，設直線OQ的斜率為k2，證明：|k1-k2|為定值.

這是一道2021年蘇州高考模擬題，主要考查直線與拋物線、直線與圓的位置關系，同時考查對復雜式子的簡化處理.教師在評析時，應從不同角度或不同方法去引導學生分析問題.限于篇幅，本文中給出與學生探討的問題(1)的兩種解法：

通過對本題的評析，強化了學生對復雜等式簡化處理的方法，讓學生感悟到了方程思想與數形結合思想的重要性，并學會用這兩個基本的思想去解決解析幾何中的運算問題.

4 教數學精神

精神，即靈魂.學習數學的最高境界就是讓數學精神伴隨一生.教學中，除讓學會用數學的眼光看待問題，用數學的思想方法去解決問題，更應讓學生體會其中的數學精神，即數學學習中不畏艱險知難而上的韌勁、化繁為簡化難為易的巧勁、腳踏實地穩步向前的干勁等，這些才是教師應該教給學生并讓學生終身受益的“精神財富”.

總之，數學不僅僅是一門課程，它更代表一種獨特的思維、獨特的方法和獨特的精神，這才是數學教學的重中之重.