導數中不等式問題常見的證明策略

浙江省諸暨中學暨陽分校

沈寶偉

導數中的不等式證明問題經常出現在高中數學解答題中，常常和函數零點、極值等不同知識點結合考查.導數中的不等式證明問題雖然難度較大，但有關解答問題的思路多種多樣.針對不同的問題，采取不同的解題方法，往往能達到事半功倍的效果.本文中將對3道不同例題進行分析，分別闡述證明導數不等式問題的四種不同解題策略.

1 構造函數法

利用構造函數方法證明導數不等式問題，主要是通過對不等式的變形加以構造函數.如，要證f(x)≤g(x)可以轉化為證明F(x)=f(x)-g(x)≤0.進一步對F(x)在對應區間的單調性和極值進行探究，得到F(x)值域的上界，就能證明原不等式成立.

例1已知函數f(x)=aex+2x-1，其中e是自然對數的底數.求證：對任意的a≥1，當x>0時，都有f(x)≥x(x+ae).

綜上所述，對任意a≥1，都有f(x)≥x(x+ae)成立.

思考：上述問題求解中，把證明不等式問題轉化為函數極值求解問題，正是借助了構造函數的方法和思路，具有一定的借鑒意義.應該注意的是，解題過程中，aex-x-1≥ex-x-1運用了放縮思想，使問題求解更直接，值得反復推敲并學習.

2 切線放縮法

所謂切線放縮法，主要指利用函數在指定點附近對應的切線在函數圖象的一側的特點，進行去指數化、去對數化，從而對導數中不等式證明問題進行求解.如求證xlnx≥asinx-1時，由于f(x)=xlnx在x=1處切線方程為y=x-1，且xlnx≥x-1，對此所證不等式可以轉化為x-1≥asinx-1，進而求證即可.運用函數切線特點放縮不等式，能使解題思路變得更加清晰直觀.

分析：通過簡化首先得到xlnx>asinx-1，此時對h(x)=asinx-1單調性進行分析，得到ax-1>asinx-1.由y=x-1是函數f(x)=xlnx在x=1處的切線，因此可以把y=x-1和y=ax-1進行比較，就可以證明f(x)>g(x).

令h(x)=x-sinx(x>0)，則h′(x)=1-cosx≥0，所以函數h(x)在(0，+∞)上單調遞增.故h(x)>0，即x>sinx(x>0).

于是當0asinx-1(x>0).

令m(x)=xlnx-x+1，則m′(x)=lnx.當x∈(0，1)，m′(x)<0，函數m(x)在上(0，1)單調遞減；當x∈(1，+∞)，m′(x)>0，函數m(x)在上(1，+∞)單調遞增.故m(x)≥m(1)=0，即xlnx≥x-1，當且僅當x=1時等號成立.

因為0

由xlnx≥x-1≥ax-1和ax-1>asinx-1(x>0)，可得xlnx≥x-1≥ax-1>asinx-1.

所以，當0g(x)成立.

3 主參互換法

主參互換方法的運用解答，關鍵在于把需要證明的不等式中參數與變量的位置關系進行互換，如證明f(x)≥a，可以結合具體解析式轉化為g(a)≤0的等價不等式，通過證明與參數有關的等價不等式成立，從而對問題做出具體充分的解答.主參互換思路的運用，能使不等式問題的解題過程更加直觀.

例3已知函數f(x)=ln(ax)-x+a，當0≤a≤1時，試證明：f(x)≤(x-1)ex-a-x+a.

分析：首先結合具體函數解析式將需要證明的不等式看作與參數a有關的等價不等式證明問題，即在0≤a≤1范圍內證明不等式ln(ax)≤(x-1)ex-a成立，考慮構造函數g(a)，分情況討論x在不同取值范圍下g(a)的取值范圍，證明g(a)≥0，即可對問題做出解答.

解：以a為主元，不等式等價于

ln(ax)≤(x-1)ex-a，

令函數g(a)=(x-1)e-a+x-lna-lnx，則

①當x≥1時，g′(a)<0，g(a)≥g(1)=

(x-1)ex-1-lnx，

以x為主元，令函數h(x)=(x-1)ex-1-lnx.

故g(a)=(x-1)e-a+x-lna-lnx≥0.

②當0

令函數q(x)=(x-1)ex，由q′(x)=xex>0可知q(x)∈(-1,0)；

由g′(a)<0，可得函數g(a)單調遞減，故g(a)≥g(1)=(x-1)ex-1-lnx.

故g(a)≥g(1)=(x-1)ex-1-lnx=0.

綜上，所證不等式成立.

4 分析最值法

分析最值方法的運用，主要體現在解題過程中把不等號兩邊的解析式分別看做兩個函數，如要證g(x)≥h(x)成立，即證gmin(x)≥hmax(x).分別對兩個不同函數的單調性和極值進行分析，進而證明所證不等式成立.具體解題方法在問題中的運用，如例4所示.

分析：要證不等式f(x)>lnx，可以看成f(x)>g(x)=lnx，分別研究f(x)和g(x)的單調性和極值，進而求出在(0，+∞)上f(x)的最小值和g(x)的最大值，就能證得f(x)>lnx成立.