巧借函數圖象 妙解零點問題

江蘇省徐州市第三中學

郭 琪

1 引言

函數的圖象從直觀角度反映了函數相應的基本性質.在解答選擇題、填空題時，可以直接根據函數的圖象迅速得出解題方案；在解答題中，也可以從函數的圖象上獲得一些有用的解題思路.而解答一些函數的零點問題時，借助函數的圖象，可以更加直觀有效地解決一些與函數的零點個數、零點所在區間等相關數學問題.

2 零點個數判定

涉及較復雜函數的零點個數的判定問題，經常將其轉化為方程的實根問題，借助兩個函數圖象的交點個數情況來分析與直觀判定.經常以常見的基本初等函數的圖象為轉化的根本目標.

例1已知函數f(x)=e-x+x2-3x+1，則函數f(x)的零點個數為( ).

A.3 B.2 C.1 D.0

分析：結合函數所對應的方程的恒等變形轉化，將函數的零點問題轉化為方程的實根問題，再進一步轉化為一個指數函數與一個二次函數圖象的交點問題，從而利用數形結合巧妙轉化，直觀判定.

解析：由f(x)=e-x+x2-3x+1=0，變形可得e-x=-x2+3x-1.

在同一平面直角坐標系內作出指數函數y=e-x和二次函數y=-x2+3x-1的圖象，如圖1所示.

圖1

由圖1可知，函數y=e-x和y=-x2+3x-1的圖象有2個交點.

所以，函數f(x)的零點有2個.故選擇：B.

點評：涉及函數零點的個數判定問題，其實就是對應的方程的實根個數問題，但是直接通過解方程來分析與求解并不容易，而是根據對應函數的圖象與性質來直觀判斷，尤其是那些變形轉化后方程兩端對應的函數類型不同且均是基本初等函數時，大多用數形結合方法求解與處理.

3 函數取值確定

涉及函數值的正負取值的確定問題時，經常結合函數的零點將其轉化為兩個函數圖象的交點問題，并利用函數圖象的上下位置關系來分析與確定相關函數值的正負取值等情況.

A.f(x1)<0，f(x2)<0

B.f(x1)<0，f(x2)>0

C.f(x1)>0，f(x2)<0

D.f(x1)>0，f(x2)>0

分析：結合函數所對應的方程的恒等變形轉化，對應函數的零點轉化為一個指數函數與一個類似反比例函數的圖象的交點位置問題.利用函數圖象的位置特征來判斷相應函數值的正負取值情況.

圖2

因為x1∈(1，x0)，x2∈(x0，+∞)，所以結合函數的圖象直觀可知f(x1)<0，f(x2)>0.

故選擇：B.

點評：確定此類函數值的正負取值情況時，經常利用函數的單調性來分析與處理.但由于函數解析式的復雜性，不易很快確定函數的單調性.而借助函數與方程的轉化，利用兩個不同函數圖象的交點情況以及圖象的上下位置關系來確定對應函數值的正負取值情況，更加直觀有效，簡捷方便.

4 參數范圍求解

涉及含參數的函數的零點或方程的實根問題時，經常將此類問題轉化為兩個函數圖象的交點問題，通過動與靜的結合，常量與變量的變換等來合理平移相應的函數圖象，數形直觀地確定參數取值范圍.

A.[-1，0) B.[0，+∞)

C.[-1，+∞) D.[1，+∞)

分析：結合函數所對應的方程的恒等變形轉化，將問題轉化為關于x的方程f(x)=-x-a有2個不同的實根，進而結合分段函數f(x)的圖象與直線之間一“曲”一“直”，一“靜”一“動”的變化情況，利用數形結合，巧妙直觀地確定參數的取值范圍.

解析：由函數g(x)=f(x)+x+a存在2個零點，即關于x的方程f(x)=-x-a有2個不同的實根，可知函數f(x)的圖象與直線y=-x-a有2個交點.

在同一平面直角坐標系中作出直線y=-x-a與分段函數f(x)的圖象，如圖3所示.

圖3

結合圖3直觀可知，-a≤1，解得a≥-1.

所以，實數a的取值范圍是[-1，+∞).

故選擇：C.

點評：解決一些涉及含參變量的函數的零點、方程中的實根等相關問題時，經常結合對應代數式的恒等變形，將其轉化為兩個相關函數所對應的方程，合理分離參數，進而實現一“曲”一“直”，一“靜”一“動”，綜合利用參數的幾何意義，以及變形規律、條件限制等來確定參數的取值情況.

5 復合函數應用

涉及復合函數的零點或復合方程的實根問題時，經常借助函數或方程的恒等變形，將問題轉化為相關函數圖象的位置關系問題，結合交點情況、位置關系等來綜合求解.

A.5個 B.6個 C.7個 D.8個

分析：作出相應分段函數的圖象，結合復合方程的求解，將方程不相等的實根的個數，轉化為分段函數圖象與直線的交點個數問題，結合函數圖象特征來直觀分析與確定即可.

圖4

由方程f2(x)-f(x)=0，得f(x)=1，或f(x)=0.

方程f(x)=0的不相等的實根的個數就是函數f(x)的圖象與直線y=0(x軸)的交點個數，根據函數圖象直觀可知，方程f(x)=0有3個不相等的實根；

而方程f(x)=1的不相等的實根的個數就是函數f(x)的圖象與直線y=1的交點個數，根據函數圖象直觀可知，方程f(x)=1有4個不相等的實根.

所以，方程f2(x)-f(x)=0的不相等實根共有7個.故選擇：C.

點評：涉及一些復合函數或方程的零點問題，經常借助復合函數或方程的恒等變形與轉化，進而綜合函數自身的結構特征以及對應的函數圖象，數形直觀來解決包括函數零點在內的一些基本性質問題，實現函數與方程的巧妙轉化、數形結合思想的綜合應用等.

6 結束語

利用函數的圖象解決有關函數的零點問題時，關鍵是合理進行代數運算與恒等變形，轉化為常見的基本初等函數問題，合理作出對應函數的圖象加以直觀分析，綜合處理.解決此類問題的基本策略技巧是合理分離參數，做到一“靜”一“動”，一“直”一“曲”，“動”直線，“靜”曲線，巧平移，妙變換.借助函數圖象，“直”“曲”分離，數形結合，“動”“靜”配合，直觀想象，全面提升學生數學品質、數學能力，培養數學核心素養.