著手特殊角度 一題多解

西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院

彭 亞 高 明

1 如何實(shí)現(xiàn)一題多解

一題多解，是指從不同的視角出發(fā)來分析題目，用多種方法來解題.它不僅能促進(jìn)學(xué)生對(duì)題目本質(zhì)的理解，還能發(fā)展他們的思維，更能激發(fā)他們解題的興趣，使數(shù)學(xué)解題教學(xué)充滿趣味性，數(shù)學(xué)課堂氛圍也變得活潑.本文中以一道常見的解三角形題目為例，分析題目的多種解法，展現(xiàn)解題過程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)一題多解的進(jìn)一步認(rèn)知.

解題的本質(zhì)就是對(duì)題進(jìn)行變換和化歸.要想實(shí)現(xiàn)一題多解，首先要拆解題目，明白題目具有的信息特征.比如數(shù)量、結(jié)構(gòu)、關(guān)系、圖形等特征，不同的特征會(huì)帶給我們不同的解題視角.其次，選擇解題的策略.解題策略包括變、換、構(gòu)、拆、湊，這也是一題多解的角度，不同的角度擬定不同的解題計(jì)劃.接著，根據(jù)解題計(jì)劃逐步實(shí)施.最后反思解題過程能否繼續(xù)優(yōu)化拓展.

2 典例分析

例在△ABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，若角A,B,C的大小成等比數(shù)列，并且b2-a2=ac，求角B的大小.

思維視角一：根據(jù)余弦定理解題.

分析：由題中的條件b2-a2=ac出發(fā)，觀察該式的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到余弦定理，二者聯(lián)合可以得到角A與角C的關(guān)系，結(jié)合題中條件角A,B,C成等比數(shù)列，求出角B.

解：由余弦定理，可得b2=a2+c2-2accosB.

又因?yàn)閎2-a2=ac，所以c2-2accosB=ac.

即a=c-2acosB.

由正弦定理，得

sinA=sinC-2sinAcosB.

即sinA=sinC-[sin(A+B)+sin(A-B)].

即sinA=sin(B-A).

由于A,B∈(0，π)，所以A=B-A，即B=2A.

又因?yàn)榻茿,B,C成等比數(shù)列，所以B2=AC.

即C=4A.

點(diǎn)評(píng):這道題是典型的解三角形問題.常規(guī)思路是分析題中的已知條件，觀察各邊和各個(gè)角的關(guān)系，根據(jù)題中的邊角關(guān)系來選擇解題方法.解題的大方向會(huì)涉及到用正弦定理和余弦定理來求解.本題根據(jù)邊和角的關(guān)系選擇余弦定理，結(jié)合三角成等比數(shù)列，求解得到角B.這個(gè)方法是最常見的解三個(gè)角形方法，是大多數(shù)同學(xué)容易想到的.

思維視角二：根據(jù)托勒密定理解題.

分析：可以從幾何角度將式子b2-a2=ac變成b2=a·a+a·c.由此根據(jù)平面幾何中的托勒密定理來求解此題.托勒密定理的內(nèi)容，即圓的內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.那么，我們構(gòu)造一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形，作出對(duì)角線，便可得出各個(gè)角之間的關(guān)系.

解：由b2-a2=ac，得b2=a·a+a·c.構(gòu)造一個(gè)圓O及其內(nèi)接四邊形ABCD，使AB=c,CD=a,BC=AD=a,BD=AC=b，如圖1所示.

圖1

即四邊形ABCD滿足托勒密定理：

AC·BD=BC·AD+AB·CD.

由于BC=CD=AD=a，故

點(diǎn)評(píng)：這種解法是從變換b2-a2=ac的角度出發(fā)，觀察式子的特征聯(lián)想到托勒密定理，進(jìn)而構(gòu)造幾何圖形來求解.這種視角將代數(shù)式與幾何圖形聯(lián)系在一起，即代數(shù)問題幾何化，是一題多解的一種獨(dú)特視角.

思維視角三：根據(jù)相交弦定理解題.

分析：相交弦定理說的是，圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)度的積相等.所以將b2-a2=ac看成(b-a)(b+a)=ac,即將線段a,b,c構(gòu)造成滿足相交弦定理的圖形，再從圖形中尋找各個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合三個(gè)角成等比數(shù)列的條件進(jìn)行求解.

解：如圖2所示，作一個(gè)半徑為b的圓C，直徑MN過圓心C，取線段MN上的點(diǎn)B，使BC=a,過點(diǎn)B作弦PA，使PB=a,BA=c,連結(jié)PC，AC.則BN=a+b,BM=b-a，BP=a,BA=c,滿足相交弦定理.

圖2

因?yàn)镻B=PC,所以∠BPC=∠BCP.

因?yàn)镃P=CA，所以∠BPC=∠A.

所以∠ABC=∠BPC+∠BCP=2A.

點(diǎn)評(píng)：將b2-a2=ac看成(b-a)(b+a)=ac，即對(duì)式子進(jìn)行變換，并且聯(lián)想到相交弦定理，構(gòu)造圖形找到角與角的數(shù)量關(guān)系，降低了解題的難度.

3 總結(jié)

一題多解的解題教學(xué)是非常有必要的.如何系統(tǒng)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行一題多解教學(xué)，如何培養(yǎng)學(xué)生從多視角觀察分析問題，是當(dāng)下數(shù)學(xué)教育工作者需要思考的問題.一題多解不僅有益于思維的拓展，更有利于展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)美育滲透的一種重要渠道.