線段之妙 彰顯數學之美

?湖北省利川市教學研究和教師培訓中心 羅仁義?湖北省利川市建南鎮民族初級中學 李小勇

1 原題呈現

圖1

(2019年恩施州中考第23題)如圖1，在⊙O中，AB是直徑，BC是弦，BC=BD，連接CD交⊙O于點E，∠BCD=∠DBE.

(1)求證：BD是⊙O的切線；

2 試題感悟

題目中由條件“過點E作EF⊥AB于點F，交BC于點G”給出的線段EF，在解題時的作用妙不可言，彰顯了數學之美，是本題的“點睛之筆”.其原因有三：其一，這條線段EF雖然在第(2)問中才出現，但它可以作為第(1)問中的輔助線，為第(1)問的證明拓展了思路，學生可以選用“垂徑定理”“圓周角定理”“圓弧、圓周角、圓心角之間的等對等關系”等圓的基本性質來完成.其二，由于線段EF與BC相交于點G，第(2)問中要求的線段BG就是△BEG或者△BGF的邊，如果選擇用△BEG來求線段BG的長，就用“相似三角形”的知識來解決問題；如果選擇用△BGF來求線段的長，就用“勾股定理”的知識來解決問題.其三，由于線段EF的出現，圖形中又出現了一個等腰三角形CEG和幾組相似三角形(如:△BGE∽△BEC，△CGE∽△CBD，△GEC∽△EDB，△DEB∽△DBC)和一組直角三角形(Rt△BEF與Rt△BGF).

在考試過程中，考生充分展示了他們的數學素養：考生用他們熟悉的“圓的基本性質”來找角的關系，用等角對等邊來確定線段的長度，用相似三角形找比例關系，用勾股定理列方程，熟練地進行計算，準確地解方程，規范地書寫答題過程.此題在實現考查和選拔功能的同時，也為考生提供了廣闊的思維空間；在考查學生數學知識的整合能力、探索解題過程的思維品質的同時，也為初中數學教學起到了很好的導向作用.此題根植于教材，又高于教材，是一道好題.

3 考生的解題賞析

3.1 第(1)問的解法賞析

思路一：利用直徑構建直角.

圖2

解法1：如圖2所示，連接AE.

∴∠A=∠C.

∵∠BCD=∠DBE，

∴∠A=∠DBE.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°.

∴在△ABE中，

∠EAB+∠EBA=90°.

∴∠DBE+∠EBA=90°，即∠DBA=90°.

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說明：這是命題組給出的參考答案，思路直接，過程簡潔.)

圖3

解法2：連接AC，如圖3所示.

在△DBE與△DCB中，有

∴△DBE∽△DCB.

∴∠DEB=∠DBC.

又∵四邊形ABEC是⊙O的內接四邊形，

∴∠DEB=∠A，

∴∠DBC=∠A.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°.

∴在△ABC中，∠A+∠CBA=90°，

∴∠DBC+∠CBA=90°，即∠DBA=90°.

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說明：這里用到了圓內接四邊形的性質，反映出教師在教學過程中對這個基本性質進行了拓展.)

圖4

解法3：如圖4所示，連接EO并延長，交⊙O于點M，再連接BM，則EM是⊙O的直徑，

∴∠EBM=90°.

∴在△EBM中，

∠M+∠BEM=90°.

∴∠M=∠C.

又∵∠C=∠DBE，

∴∠M=∠DBE.

∵BO=EO，

∴∠OEB=∠OBE.

∴∠DBE+∠OBE=∠BEM+∠M=90°，

即∠DBA=90°.

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說明：這種解法就是解法1的“翻版”，略顯復雜.考生在答題時能夠想到這種方法，但為什么沒想到連接AE呢？反映了考生的緊張心態.事實上，在解法2的基礎上，也可以進行類似的翻版，只不過更復雜，因此不可取.)

思路二：利用第(2)問“過點E作EF⊥AB于點F”的提示來解答.

圖5

解法4：延長EF交⊙O于點H，如圖5所示.

∵在⊙O中，AB⊥EH，

∴∠BCE=∠BEH.

又∵∠BCD=∠DBE，

∴∠BEH=∠DBE.

∴EF∥BD.

∵EF⊥AB于點F，

∴BD⊥AB于點B.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說明：這種解法把第(2)問中的“過點E作EF⊥AB于點F”作為第(1)問解答的輔助線，這也是此題的巧妙之處，給考生提供了更多的解題思路.有的考生利用這個提示，進行了較為復雜的角的轉換，雖然可以達到解題的目的，但不可取.)

思路三：利用圓弧的度數來解答.

解法5：如圖1,

∵AB是⊙O的直徑，

∵∠BCD=∠DBE，

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說明：考生的這種解法反映出教師在教學過程中補充了圓弧的知識，拓展了學生的解題思路.)

圖6

解法6：連接EO，如圖6所示.

∵∠BCD=∠DBE，

∵BO=EO，

∴∠OEB=∠OBE.

在△BOE中，∠BOE+∠BEO+∠EBO=180°，

∴∠DBE+∠EBO=90°，即∠DBA=90°.

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

解法7：連接EO，如圖6所示.

∵∠BCD=∠DBE，

∴AB⊥BD.

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線.

(說明：這兩種解法與參考答案，即與解法一有異曲同工之妙，也有考生在此基礎上過點O作BE的垂線，同樣可以解決問題，只是略顯復雜.)

3.2 第(2)問的解法賞析

思路一：利用三角形相似求解.

解法1：如圖1所示，

∵在△BCD中，BC=BD，

∴∠C=∠D.

∵∠BCD=∠DBE，

∴∠D=∠DBE.

∵EF⊥AB于F，

∴∠EFA=90°.

∵∠DBA=90°，

∴EF∥BD.

∴∠CEG=∠C,∠DBE=∠BEG.

∴CG=EG=3.

又∵∠BCD=∠DBE，

∴∠BEG=∠C.

∴△BEG∽△BCE.

解方程，得BG=5或-8(舍去).

因此，BG的長為5.

(說明：這是命題組給出的參考答案，過程簡潔，但考生的思維還是不容易達到這個高度.)

解法2：如圖1所示,

∴△DBE∽△DCB.

即BD2=DE·DC

∵EF⊥AB于點F，

∴∠EFA=90°.

∵∠DBA=90°，

∴EF∥BD.

∴∠CEG=∠D.

又∵BC=BD，

∴∠C=∠D.

∴∠C=∠CEG.

∴CG=EG=3.

∴△GEC∽△EDB.

∴BD2=40+3BD.

解這個方程，得BD=8或-5(舍去).

因此BG=BC-CG=8-3=5.

所以，BG的長為5.

思路二：利用勾股定理求解.

圖7

解法3：如圖7所示,過點E作EN⊥BD于點N.

由BC=BD，得∠C=∠D.

∵∠BCD=∠DBE，

∴∠D=∠DBE.

∵EF⊥AB于點F，

∴∠EFA=90°.

∵∠DBA=90°，

∴EF∥BD，

∴∠CEG=∠D.

∴∠C=∠CEG.

∴CG=EG=3.

∴BD=BC=BG+3.

在△BED中，BE=ED，EN⊥BD

在Rt△BEF中，有

在Rt△BGF中，有

整理，得BG2+3BG-40=0.

解這個方程，得BG=5或-8(舍去).

因此，BG的長為5.

解法4：延長EF交⊙O于點H，連接BH，如圖8所示.

圖9

∵在△BCD中，BC=BD，

∴∠C=∠D.

∵∠BCD=∠DBE，

∴∠D=∠DBE.

∵EF⊥AB于點F，

∴∠EFA=90°.

∵∠DBA=90°，

∴EF∥BD.

∴∠CEG=∠C.

又∵∠C=∠H，∠CEG=∠GBH，

∴∠H=∠GBH.

∴GB=GH.

∵在⊙O中，AB⊥EH，

∴EF=HF.

∴BG=HG=HF+GF=EF+GF=3+2GF.

在Rt△BEF中，有

在Rt△BGF中，有

BF2=BG2-GF2=(2GF+3)2-GF2.

整理，得2GF2+9GF-11=0.

∴BG=3+2GF=3+2=5.

因此，BG的長為5.

(說明：題目給考生提供了廣闊的思維空間，考生給出了多種不同的解答方法.線段EF，妙！)

4 教學啟示

首先，教學必須立足課本.用教材進行教學的關鍵是把知識的脈絡理清楚.針對課本中的基本概念、性質、定理、基本圖形，學生不僅要知其然，還要知其所以然；不僅要“會用”，還要弄清楚知識的來龍去脈，深刻理解知識的本質.認真研究和挖掘課本中習題的深層次價值，挖掘概念的內涵和外延，歸納總結重要圖形和方法，并嘗試做一些拓展，發揮出課本的最大價值.幾何綜合題的教學要狠抓基礎(基本圖形、基本知識、基本方法等)，積極滲透數學思想方法，培養學生分析問題、解決問題的能力.同時，還要培養學生的獨立思考能力：怎么去思考問題，怎么去找突破口，為什么這樣，為什么不這樣，還有更好的方法嗎……

其次，注重發展學生的推理能力.《義務教育數學課程標準》中明確指出：“要培養學生的運算能力、發展邏輯思維能力.”因此，培養學生的能力，特別是邏輯推理能力是初中數學教學的核心，也是推進素質教育的一個重要手段.我們要加強對數學教學現狀的反思和對“新課標”的學習，在課堂教學中落實合情推理與演繹推理并重的教學思路，力求讓學生在知識獲得的過程中有所悟，從而了解知識的來龍去脈和內在聯系，形成對數學的真正理解，為學生的繼續學習提供條件.

最后，欣賞完考生們的各種解題方案，感覺真是八仙過海，各顯神通，美不勝收??！我們為師者，不能局限于傳道、授業、解惑，而是要善于利用數學之美，激勵和喚醒學生，鼓勵他們做學習的主人.