鎖定已知 構(gòu)建聯(lián)系 設(shè)定未知 發(fā)展思維
——以“用一元二次方程解決問(wèn)題”課堂教學(xué)為例

?江蘇省無(wú)錫市江南中學(xué) 王 蕾

1 引言

“用一元二次方程解決問(wèn)題”是蘇教版九年級(jí)(上)第一章第四節(jié)的內(nèi)容.在本章的前三節(jié)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的概念、解法，以及方程的解與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)一元二次方程相關(guān)知識(shí)有了系統(tǒng)的認(rèn)知.接下來(lái)通過(guò)探究實(shí)際生活中數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)、體驗(yàn)一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；同時(shí)，在運(yùn)用一元二次方程解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不僅要注意解方程的過(guò)程，還要檢驗(yàn)所得的解是否符合問(wèn)題的實(shí)際[1].

2 創(chuàng)設(shè)實(shí)際問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入課題

從字面上看“用一元二次方程解決問(wèn)題”這一課題有兩個(gè)方面的含義：一是運(yùn)用的知識(shí)是一元二次方程，另一是解決的問(wèn)題是現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題.因此，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，不僅僅是列出一元二次方程去求出問(wèn)題的解，而且還要進(jìn)行推理判斷所得出的結(jié)果與生活實(shí)際是否相符，這是本課題的重點(diǎn)，也是本課題的難點(diǎn).

圖1

導(dǎo)入情境(電子白板展示)如圖1，Rt△ACB是一養(yǎng)魚(yú)池的一角，∠C=90°，為了捕魚(yú)，一漁網(wǎng)同時(shí)由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿魚(yú)池邊緣AC，BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)至點(diǎn)Q，P，它們的速度都是1 m/s，問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間后△QCP的面積為Rt△ACB面積的一半？

創(chuàng)設(shè)目的：為了讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題具體化，在引入課題之時(shí)創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境用圖象形式呈現(xiàn)，讓生活問(wèn)題具有“數(shù)學(xué)模型”化的特征，學(xué)生用數(shù)學(xué)方法建模就可以簡(jiǎn)單化.

3 引導(dǎo)探究解題過(guò)程，幫助學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模

“引導(dǎo)探究解題過(guò)程”“幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模”是幫助學(xué)生掌握應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的方法步驟，并且是提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的關(guān)鍵.

教學(xué)案例1

師：如何計(jì)算CQ，CP的值呢？

生：根據(jù)點(diǎn)A到點(diǎn)Q與點(diǎn)B到點(diǎn)P距離相等.(進(jìn)行討論、各抒己見(jiàn).)

師：若點(diǎn)A到點(diǎn)Q的距離是xm，又怎樣計(jì)算CQ，CP的值？

生：CQ=(15-x)m，CP=(10-x)m.

師：請(qǐng)同學(xué)們解決情境中的問(wèn)題.

師：這兩個(gè)數(shù)據(jù)都符合實(shí)際情況嗎？

師：通過(guò)以上問(wèn)題說(shuō)明，利用一元二次方程解決問(wèn)題不僅要求出具體數(shù)值，而且還要分析判斷是否存在某種數(shù)量關(guān)系；同時(shí)，用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不僅要注意方程求得的解是否正確，還要檢驗(yàn)方程的解是否與問(wèn)題的實(shí)際情境相符合.請(qǐng)大家思考上述解決問(wèn)題的主要步驟.

學(xué)生：通過(guò)小組討論，歸納總結(jié)出：

①?gòu)那榫持姓页龃嬖诘牧康年P(guān)系，列出等式；

②在列出的等式中發(fā)現(xiàn)未知量，設(shè)定未知數(shù)；

③將設(shè)定未知數(shù)代入列出的等式中進(jìn)行求解；

④檢驗(yàn)所得出的未知量與情境是否相符.

教學(xué)反思：通過(guò)案例分析不難發(fā)現(xiàn)，這是一種探究、討論、啟發(fā)式的教學(xué)過(guò)程.在此過(guò)程中，教師一直引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、合作交流，培養(yǎng)自覺(jué)思考的良好習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際情境問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模.

4 驅(qū)動(dòng)內(nèi)化解題的潛能，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的解題應(yīng)用

對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模，其作用之一是規(guī)范學(xué)生的解題步驟，形成一種抽象思維的定式.因此，在課題的導(dǎo)入情境中作出相應(yīng)的變式，讓學(xué)生在已經(jīng)熟悉的情境中拓展思維是很有必要的.也就是說(shuō)，對(duì)一節(jié)課的知識(shí)要鞏固，通過(guò)變式練習(xí)達(dá)成“堂堂清”[2].

變式情境(電子白板展示)如圖1，Rt△ACB是一養(yǎng)魚(yú)池的一角，∠C=90°，為了捕魚(yú)，一漁網(wǎng)同時(shí)由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿魚(yú)池邊緣AC，BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)至點(diǎn)Q，P，漁網(wǎng)的速度分別是1.5 m/s，1 m/s，若△QCP的面積為Rt△ACB面積的一半，則需經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)的時(shí)間？

教學(xué)案例2

生：不能直接設(shè)點(diǎn)A到點(diǎn)Q的距離或點(diǎn)B到點(diǎn)P的距離了，應(yīng)該設(shè)需要的時(shí)間為xs，這樣AQ=1.5xm，BP=xm，于是有CQ=(15-1.5x)m,CP=(10-x)m.

師：這兩個(gè)數(shù)據(jù)都符合實(shí)際情況嗎？

生：當(dāng)點(diǎn)Q，P在Rt△ACB的邊上時(shí)，15-1.5x>0且10-x>0，即0

教學(xué)反思：這個(gè)案例是最初導(dǎo)入情境的變式，盡管情境涵蓋的數(shù)學(xué)關(guān)系式的原理是相同的，但比原來(lái)的問(wèn)題情境有了進(jìn)一步拓展，即不能直接設(shè)定點(diǎn)Q，P走過(guò)的路程了，除非學(xué)生發(fā)現(xiàn)了AB∥QP，這需要獨(dú)到的眼光才能察覺(jué).所以，在用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，假設(shè)的未知量也至關(guān)重要.

5 結(jié)束語(yǔ)

總之，用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，問(wèn)題情境的表達(dá)方式是實(shí)際情境的真實(shí)反映.當(dāng)其中有些數(shù)量關(guān)系比較隱蔽時(shí)，在探究過(guò)程中假設(shè)未知量以及正確建立一元二次方程是學(xué)生的難點(diǎn)，需要教師恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo).在課堂教學(xué)過(guò)程中教師要做到：創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入課題；引導(dǎo)探究解題過(guò)程，幫助學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模；驅(qū)動(dòng)內(nèi)化解題的潛能，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的解題應(yīng)用.這樣，就一定能夠讓學(xué)生弄清問(wèn)題情境，鎖定已知，構(gòu)建聯(lián)系，設(shè)定未知，發(fā)展思維.