等腰三角形中不確定性問題解決思路探究

?甘肅省慶陽市寧縣第五中學 陳秀蓮

1 引言

結合二十余年的教學經驗發現，等腰三角形中不確定性問題的解決，困擾了很多學生，學生在此問題中經常出現錯解、漏解.其實，歸根結底這是邏輯思維能力弱的表現.那么，如何借助等腰三角形中不確定性問題解決思路的探究培養學生的邏輯思維能力呢？本研究從兩道易錯題出發，通過糾錯辨析為這類問題探尋正確解決方法奠定基礎.

2 易錯題及其糾錯評析

例1若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則頂角的度數為.

錯解：因為等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，所以這條高和另一腰之間的夾角與這個頂角之間一定互余，因此頂角的度數為90°-40°=50°.

糾錯：該生解題時，由于出現了思維定式，習慣性地認為這個等腰三角形是銳角三角形.事實上，等腰三角形分為三種，它們的頂角分別是銳角、直角和鈍角.在本題中，根據題意可以排除頂角為直角的情況，因此剩下頂角為銳角、鈍角兩種情況，需要分類討論.具體過程如下：

解：在△ABC中，AB=AC.本題有兩種不同情況：

當頂點A為銳角時，如圖1所示，作BD⊥AC，垂足為D.因為∠ABD=40°，所以∠A=90°-40°=50°;

圖1

圖2

當頂角∠BAC為鈍角時，如圖2所示，作CD⊥BD，交BA的延長線于點D.因為∠ACD=40°，所以∠BAC=90°+40°=130°.

綜上所述，頂角的度數為50°或130°.

評析：在解決初中數學問題過程中，思維定式是阻礙學生順利解決問題的原因之一.要突破這種思維，首先要培養學生從多個角度思考問題的習慣，讓學生多用不同的方法解決問題，以激發他們的思維，其次重點關注題目所給條件中的關鍵詞語，如腰、頂角、底邊等，深入思考它們是不是存在多種可能，特別是能否畫出多種情況對應的圖形[1].

例2若等腰三角形的周長為16 cm，其中一邊長為4 cm，則該等腰三角形的底邊長為( ).

A.5 cm B.4 cm

C.8 cm D.4 cm或8 cm

錯解：因為等腰三角形的周長是16 cm，且其中一邊長為4 cm，也就是腰為4 cm，所以底邊長就是16-2×4=8 cm，故選：C.

糾錯：從上面錯解過程可以看出，該生習慣性地認為這條邊是等腰三角形的腰.事實上，等腰三角形的邊可以是腰，也可以是底邊.本題中只告訴了“一邊長”，而并未明確這條邊是腰還是底邊.所以，將長為4的這條邊認為是等腰三角形的腰，又是出現了思維定式的問題.因此，應該分類討論，具體過程如下：

解：根據題意，本題有兩種不同情況.

如圖3所示，當長為4 cm的邊為等腰三角形ABC的腰時，BC就是底邊，且BC=16-2×4=8 (cm).但是，此時的三條邊不能構成一個三角形，更不能成為等腰三角形，所以這種情況應該排除；

圖3

如圖4所示，當長為4 cm的邊為等腰三角形的底邊時，BC=4 cm.此時，兩腰長為6 cm，能夠構成符合題意的等腰三角形.

圖4

綜上所述，它的底邊長4 cm.故應該選：B.

評析：學生在解決例1和例2時，都容易因為思維定式導致漏解、錯解現象.與例題1不同的是，本題除了要根據等腰三角形邊的類型分為兩種情況討論之外，還需要分析這兩種情況中的三邊是否能構成三角形，這一點又是學生極易忽略之處.為此，教師在教學時仍應將培養學生縝密的邏輯思維作為本節課的教學重點，并且在后階段一以貫之.只有這樣持續進行下去，學生才能有較大改變[2].

3 等腰三角形中不確定性問題的類型及解決思路

等腰三角形是一種比較特殊的三角形.根據角的類型，可以分為等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形，它們的頂角分別是銳角、直角和鈍角[3].根據邊的類型，可以分為一般等腰三角形和特殊等腰三角形(等邊三角形).基于等腰三角形中角和邊的類型均多樣化，等腰三角形中不確定性問題主要有以下幾種類型.

3.1 角不定型

根據等腰三角形的性質可知，等腰三角形的兩底角相等.再結合三角形的內角和為180°，所以兩個底角一定是銳角.然而等腰三角形的頂角只有一個，它可能為銳角、直角，也可能為鈍角，這是造成等腰三角形中不確定性問題的原因之一.結合教學經驗來看，有很多題目在呈現等腰三角形的角的條件時，并不直接說明該角是頂角還是底角，那么這類問題應該如何解決呢？下面結合例題3說明這類問題的解決思路.

例3若等腰三角形的一個角為40°，那么另外兩個角的度數分別是.

分析:本題只給出了等腰三角形中的一個角，并未說明該角是頂角還是底角.所以解決思路如下：

首先，明確邊角問題.本題是關于等腰三角形的角的問題.

其次，明確角的類型.本題給出的角不夠明確，所以可能是頂角，也可能是底角.

再次，分類討論：對該角是頂角、底角兩種情況分別討論.

最后，綜述.分類討論后一定要進行綜合.

解：由于等腰三角形(△ABC)中40°角可能是頂角，也可能是底角，故有以下兩種不同的情況.

(1)當40°角是頂角時，如圖5所示，∠B=∠C=(180°-40°)÷2=70°；

圖5

(2)當40°角是底角時，如圖6所示，∠A=180°-40°-40°=100°.

圖6

綜上所述，另外兩個角的度數分別是70°，70°或40°，100°.

3.2 邊不定型

等腰三角形中的三條邊，一類是腰，一類是底邊.根據等腰三角形的性質可知，等腰三角形的兩腰相等.結合教學經驗來看，有很多題目在給出等腰三角形的邊的條件時，并不直接說明該邊是腰還是底邊，繼而造成了等腰三角形中不確定性問題.那么這類問題應該如何解決呢？下面結合例題4說明這類問題的解決思路.

例4已知實數x，y滿足|x-4|+(y-8)2=0，則以x，y為兩邊長的等腰三角形的周長為.

分析:本題可通過“|x-4|+(y-8)2=0”計算出x，y的值，即得到了等腰三角形兩邊長.但由于并未說明這兩邊是腰還是底邊，所以要按照如下思路解決.

首先，明確邊角問題：本題是有關等腰三角形的邊的問題；

其次，明確邊的類型：本題給出的邊不夠明確，所以可能是腰，也可能是底邊；

再次，分類討論：對該邊是腰、底邊的兩種情況分別討論；

最后，綜述：分類討論后一定要進行綜合.

圖7

解：因為|x-4|+(y-8)2=0，所以x=4，y=8.由于給出的邊不夠明確，所以可能是腰，也可能是底邊，故分以下兩種不同的情況.

(1)當腰為4，底邊為8時，此時的三條邊不能構成一個三角形，更不能成為等腰三角形，所以這種情況應該排除；

(2)當腰為8，底邊為4，此時的三條邊能構成三角形，且它為等腰三角形，如圖7所示.所以，三角形的周長為8+8+4=20.

綜上所述，以x，y為兩邊長的等腰三角形的周長為20.

4 結語

綜上所述，無論等腰三角形種不確定問題屬于哪種類型，分類討論思想是解決這類問題的重要方法.無論學生在解決哪種類型題目的過程中出現了錯誤，都暴露出了思維定式的問題.所以，作為初中數學一線教師，不僅要憑借更豐富、靈活的變式訓練學生的思維，讓他們突破思維定式的瓶頸，而且要將這種訓練方式一以貫之，如此學生才會形成更強的思維能力、更有效的靈活性.