一類定邊對定角問題的解法探究

?安徽合肥一六八陶沖湖中學 武前煒

1 引言

三角形中的有關線段計算是平面幾何常考試題，常常利用勾股定理、相似性質或三角函數來計算，不同的方法計算難易程度不一樣.

2 解法探究

下面通過兩個例題對定邊對定角問題進行解法探究.

圖1

圖2

解法1：(一線三等角相似)如圖2，在y軸上分別取點M,N,使得∠AMO=60°,∠BNP=120°,由“一線三等角”可得△APM∽△PBN.分別過點A,B作y軸垂線，垂足為點E,F.

ME=NF=1,AM=BN=2.

解法2：(三角形面積)設點P(0,y)，y>0.

由距離公式可得，

根據三角形鉛錘公式面積計算,得

解法3：(輔助圓)先來看基本圖形，如圖3，△ABC中，定邊AB所對的∠C為定角α.

圖3

圖4

由圖形定邊對定角，考慮△ABC外接圓⊙O，如圖4，根據圓周角性質可知∠AOB=2α，于是問題轉化為在等腰三角形AOB中來解決.特別地，一些題目中α取一些特殊角度，從而△AOB為特殊的等腰三角形，極大地方便后續計算.

圖5

根據反比例函數的對稱性可知，點O為線段AB的中點，從而

過點A作AN垂直于x軸，垂足為點N，過點E作EM垂直于y軸，垂足為點M.

在Rt△EMP中，由勾股定理得

解法4：(正切和角公式)站在高中視角下，本題無需構造，直接列式建立等量關系計算.

如圖6，分別過點A,B向y軸作垂線，垂足分別為點E,F.

設∠BPO=α,∠APO=β,則α+β=60°.

圖6

圖7

拓展：初中生通過構造三角形相似可以進行正切和角公式的推導.如圖7，在矩形ABCE中，點D在邊EC上，點F在邊AE上，且FD⊥BD,連接BF，∠FBD=α,∠DBC=β.

不妨設DE=1，則EF=tanβ.

評析：合理聯想與構造是一種重要的數學解題能力，也是平面幾何魅力所在.解題后要善于總結歸納，而不應停留在題目本身，多琢磨其結構，多反思其用途與變化，使其成為今后解題的工具.

例2如圖8，在△ABC中,∠BAC=135°，AD⊥BC于點D.若BD=6,CD=20,則線段AD的長度為______.

圖8

圖9

解法1：(構造45°等腰直角三角形)由∠BAC=135°可知其補角為45°，聯想構造45°的等腰直角三角形.如圖9，過點C作AC的垂線交BA延長線于點E，再過點E作BC的垂線交BC于點F.則出現“一線三直角”的全等結構△ADC≌△CFE(AAS)，從而可得AD=CF,EF=CD=20.

設AD=a，則CF=a.

由AD∥EF，知△BAD∽△BEF.

解得a=4(負值舍去).

即AD=4.

解法2：(對稱法)由∠BAC=135°，可知∠B+∠C=45°.如圖10，分別沿著AB,AC將△ABD,△ACD對稱至△ABE,△ACF,延長BE,CF交于點G.易知∠GBC+∠GCB=90°,即∠G=90°.

根據對稱性質,可得

BE=BD=6,CF=CD=20，

AE=AD=AF，

∠GEA=∠GFA=90°.

從而得出四邊形AEGF為正方形.

不妨設AD=a，則AE=AF=GE=GF=a.

在Rt△BCG中，由勾股定理得

GB2+GC2=BC2.

即(6+a)2+(a+20)2=262，得a=4(負值舍去).

所以AD=4.

圖10

圖11

過點O作OE⊥BC,E為垂足,則

過點O作AD的垂線交AD的延長線于點F，可得矩形OEDF，從而DF=OE=13,OF=DE=7.

在Rt△AOF中，由勾股定理得

AF2+OF2=OA2.

解得AD=4(負值舍去).

解法4：(正切和角公式)

由正切和角公式知

解得AD=4(負值舍去).

以上兩例的前三種解法都屬于構造法，構造后的圖形是平時常見的基本圖形.中考題中的一些“難”題有意識地考查學生分析問題和解決問題的能力，這就要求學生在平時的解題訓練中，注重反思積累，也需要教師有意識地選擇典型題目作為素材，挖掘圖形結構，歸納總結通性通法.不僅要認識基本圖形，了解其蘊含的關系，更要熟悉基本圖形的結構特征.往往一些考題將其一部分隱去，增加了思維難度，需要觀察后進行合理聯想、嘗試，從而讓解法自然生成.對于幾何問題，“幾何直觀”是直達“學生最容易想到或者適合最近發展區的解法”的重要途徑.所以在分析問題的過程中，學生若能從幾何直觀出發挖掘出題目中的隱含條件，則問題“柳暗花明”.

3 結語

張景中先生認為：“一種方法解很多題，要好過很多方法解一道題.”這里的“一種方法”絕不是技巧性強、靈機一動的妙法，而應是最基本、最自然的通法.站在數學思維的角度，自然的解法才是最好的方法，因為自然的解法才是學生能想到的方法.上述兩例的幾種構造解法都很巧妙，其中作輔助圓屬于通法，由定邊定角聯想輔助圓，這應該成為師生認知共鳴的方法，只有這樣才能更好地培養學生思考問題和探究問題的能力.