突破傳統思維 拓展因式分解的方法

?甘肅省武威市涼州區下雙鎮九年制學校 趙之瑞

1 引言

在北師大版八年級數學下冊教材中，因式分解的方法這部分內容只呈現了提公因式法和公式法[1].由于方法比較基礎且少，導致很多學生只能解決一些常規的因式分解題，遇到比較靈活的問題仍難以解決.為此，教師不得不額外拓展因式分解的方法.所以，本文基于突破傳統思維模式，整理了幾種教材中沒有介紹的因式分解方法，以期對教師教學和學生學習提供幫助.

2 分組分解法

提公因式法、公式法是因式分解常用的方法，但有的多項式只用這兩種方法無法分解，如m2-4n2-2m+4n等.然而，仔細觀察之后不難發現，m2-4n2明顯符合平方差公式，-2m+4n也可利用提公因式法局部因式分解.

例1把m2-4n2-2m+4n分解因式.

解：原式=(m2-4n2)-(2m-4n)

=[m2-(2n)2]-2(m-2n)

=(m+2n)(m-2n)-2(m-2n)

=(m-2n)[(m+2n)-2]

=(m-2n)(m+2n-2).

這種因式分解的方法就是分組分解法.利用這種方法嘗試解決下面的問題：

(1)分解因式：a2-2ab+b2-25.

(2)已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2-ab-ac+bc=0，試判斷△ABC的形狀.

分析：本題兩個小題，利用課本中介紹的提公因式法和公式法無法解出，所以不妨嘗試分組分解法，即把多項式中的某幾項先分組，然后分別因式分解.

解：(1)a2-2ab+b2-25

=(a2-2ab+b2)-52

=(a+b)2-52

=(a+b+5)(a+b-5).

(2)由a2-ab-ac+bc=0，得

(a2-ab)-(ac-bc)=0.

所以，a(a-b)-c(a-b)=0.

即(a-b)(a-c)=0.

所以a-b=0，或a-c=0.

即a=b，或a=c.

所以，△ABC是等腰三角形.

總結與反思：分組分解法可用于解決比較復雜且各部分難以找到直接聯系的因式分解問題，通過分組組合重新找到若干單項式之間的關系，然后結合傳統的提公因式法、公式法實現因式分解的目的[2].所以，分組分解法的步驟是：一、分組；二、分解因式.

3 整體思想法(換元法)

在因式分解時，常會遇到帶有括號的整式，如(m+n)2+2(m+n)+1等.這類問題明顯無法直接利用提公因式法和公式法.但是，如果對這樣的多項式進行如下處理，往往會獲得意想不到的效果.

例2分解因式：(m+n)2+2(m+n)+1.

解：設m+n=a，則原式可轉化為a2+2a+1，且a2+2a+1=(a+1)2.

所以，(m+n)2+2(m+n)+1=(m+n+1)2.

這種因式分解的方法就是整體思想法，即把帶有括號的整式視為一個整體，用另一個“元”去代替它，讓原本復雜的整式變得更簡單.所以，這種方法又叫“換元法”.根據以上方法完成下面的問題.

分解因式：(1)(2a+b)2-10(2a+b)+25；

(2)(m2-4m+2)(m2-4m+6)+4.

解：(1)設2a+b=m，則原式可轉化為m2-10m+25，且m2-10m+25=(m-5)2.

所以，(2a+b)2-10(2a+b)+25=(2a+b-5)2.

(2)設m2-4m+2=x，則原式可轉化為x(x+4)+4，且x(x+4)+4=x2+4x+4=(x+2)2.

所以

(m2-4m+2)(m2-4m+6)+4

=(m2-4m+2+2)2

=(m2-4m+4)2

=[(m-2)2]2

=(m-2)4.

總結與反思：整體思想法(換元法)是非常重要的因式分解方法，在許多試題中常會出現，對學生的要求較高[3].特別是像例2相應的練習題(2)中換元法的利用非常靈活.縱觀整個解題過程，整體思想法(換元法)的步驟是：一、換元；二、分解因式；三、還原(將“元”還原成之前所設的多項式).

4 拆項法

我們都知道，對于x2+6x+9這樣的多項式，可以利用公式法中的完全平方公式直接因式分解.但是，如果出現了像x4-3x2+1這樣的多項式，在因式分解時無法直接利用公式法，那么就需要對它作如下靈活處理.

例3分解因式：x4-3x2+1.

解：x4-3x2+1=x4-(2x2+x2)+1

=x4-2x2-x2+1

=(x4-2x2+1)-x2

=(x2-1)2-x2

=(x2-1+x)(x2-1-x).

這種因式分解的方法就是拆項法，即把其中的某一項拆成兩項之和或差，然后利用“分組分解法”進行因式分解.另外，從上述解題過程也可看出，拆項法是分組分解法、公式法的結合.根據以上方法完成下面的因式分解：

(1)分解因式：x4-7x2+9.

(2)已知a，b是一個等腰三角形的兩邊長，且滿足a2+b2-4a-6b+13=0，求這個等腰三角形的周長.

解：(1)x4-7x2+9=x4-(6x2+x2)+9

=x4-6x2-x2+9

=(x4-6x2+9)-x2

=(x2-3)2-x2

=(x2-3+x)(x2-3-x).

(2)由a2+b2-4a-6b+13=0，得

a2+b2-4a-6b+4+9=0.

所以，a2-4a+4+b2-6b+9=0.

即(a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0.

即(a-2)2+(b-3)2=0.

所以a-2=0，b-3=0.

即a=2，b=3.

因為a，b是一個等腰三角形的兩邊長，所以存在兩種情況：

當腰為2，底為3時，等腰三角形的周長為7；

當腰為3，底為2時，等腰三角形的周長為8.

綜上所述，這個等腰三角形的周長為7或8.

總結與反思：拆項法首先需要將其中的某一項拆成若干項，然后再分組分解因式[4].所以，拆項法是分組分解法和其它方法的組合.從例3相對應的練習題(1)(2)的解題過程可以看出這種方法的步驟是：一、拆項；二、組合；三、分解因式.

5 結語

因式分解作為初中數學非常重要的知識，它與很多知識點的考查結合得非常緊密，所以掌握因式分解對學生而言非常重要.本文中介紹了除課本之外的三種不同方法，當然還有其他的方法.但是，不管是何種方法，課本中的提公因式法和公式法都是基礎.所以，作為一線數學教師，不僅要讓學生牢固掌握兩種基本方法，還需在加強訓練的情況下總結不同的方法，以不斷拓展學生的思維和提高解決問題的能力.