基于數學核心素養培育的課堂問題設計
——“黃金分割”的思考與實踐

鄔振宇

（上海市世外中學，上海 200233）

一、研究緣起

2022年版《義務教育數學課程標準》明確提出，學生要通過數學的學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養。①《全日制義務教育數學課程標準（2022年版）》，北京師范大學出版社2022年版，第1-2頁。通過分析核心素養的構成，不難發現，數學學習的過程應當是以知識、方法的學習為載體，通過提升學生的高階思維水平，形成解決問題時的一種思維習慣，進而達成學科核心素養。

高階思維，是指發生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力。布盧姆將認知發展水平按層級劃分為六個水平：記憶、理解、應用、分析、評價、創造，其中，后三者一般被認為指向高階思維的培養。還有觀點認為，初中數學課堂中的高階思維，是指在數學課堂中，面對教師提供的數學學習任務，學生在數學活動中為完成該任務中的學習要求所表現出來的高水平心智活動，主要表現為策略型思維、批判型思維和創新型思維。②胡軍，栗小妮，李建華：《數學高階思維培養中的“學生提問”策略》，《數學通報》2021年第9期，第37-40頁，第66頁。

“黃金分割”是滬教版初三第一學期第24章的教學內容，1課時的教學安排通常都是圍繞知識點的落實而展開。雖然從數學模型來看，這是一個簡單的線段分割模型，但由于涉及比例中項的等量關系以及對無理數的非直觀感受，如果只利用教材提供的學習任務展開教學，學生既無法充分體會黃金分割在數學內部之間的關聯，也對黃金分割與生活、與自然的關系感受不深。停留在低階思維的淺層次學習，導致學生在該知識的理解上產生認知障礙，具體表現為在運用時因選擇不當而導致的計算問題，以及對于黃金分割的認識只停留在單維層面。而這種認知障礙會影響學生的數學抽象、推理能力及模型觀念的進一步養成，從而阻礙核心素養的提升。

二、基于“核心素養”的教學問題設計

核心素養的落實，關鍵在于對學生高階思維的培養。在課堂教學中，高水平的問題是培養高階思維能力的最有效手段，是促進學習者高階思維能力的核心。因此，以“黃金分割”為課例，通過設計高水平的問題，激發學生高階思維的提升，進而落實核心素養各方面的能力，是本研究的主要內容。

1.定義的引入——設計真實的情境性問題，發展學生抽象能力

真實問題情境，不僅有助于激發學生的學習興趣，為學習提供持久的內驅力，更有助于學生深化對知識的理解，通過高階思維活動，實現知識的建構。例如，在設計“黃金分割”的引入環節，筆者設計了如下活動和問題：

活動1：如圖（見圖1），欣賞大自然和生活中的精美圖片。

圖1 生活中的黃金分割

問題1：生活中，我們經常會看到一些精美的圖形，在感慨或驚嘆之余，我們是否考慮過其背后是否蘊含著某些規律呢？

活動2：觀察圖2

圖2 小鳥的位置圖

問題2：說說哪一幅讓你感受到了美？如何從數學的角度來研究該問題呢？

真實情境下的問題復雜而開放，每個人對美的感受各不相同，學生選擇的結果可以是多樣的。在選擇的過程中，教師要引導學生思考美背后的原因，不僅可以讓學生體會到數學與生活的聯系，更可以讓學生認識到數學中的理性精神，即永遠不把不言自明的定律視為必然，而是利用數學的眼光來看待實際問題，進而將其轉化為數學問題進行研究。我們可以看到，這種透過現象看本質的思維習慣和數學抽象能力都是指向高階思維活動的，長期在這樣的真實情境中訓練有助于學生養成思維習慣，可以培養學生“數學抽象”的能力。

2.概念的理解——設計具身性問題，發展學生推理能力

推理能力在數學概念的形成中起重要作用，同時也是學生思維提升中較為困難的部分。隨著認知科學的發展，人們逐漸認識到：“大腦不能獨立完成高級認知功能，對于心智的理解必須放到與身體的關系背景中?！雹賹O天山：《基于問題的高階思維課堂教學架構研究》，《中學化學》2016年第5期，第1-5頁。因此，課堂教學中的問題設計要基于學生的立場去思考。教師要將自身置于學生的位置去揣摩、了解、模仿學生的切身感受，同時問題的設計要讓學生能夠充分發表自己的觀點和想法，才能真正顯露出學生的思維困難與瓶頸。在本課中，當學生完成數學抽象，來解決具體的數學問題時，結合課前設計和課堂生成，呈現出如下問答：

教師：如圖（見圖3），已知線段BE=1，點F在線段BE上，

圖3 線段的黃金分割（a）

學生1：我求不出來。

教師：請說說你的困難在哪里？

學生1：感覺有很多未知的量，已知條件很少。

教師：你看到哪些已知條件？哪些未知量？

教師：其他同學有補充嗎？

學生2：圖中還有隱含了一個已知條件：EF+BF=BE。

教師：生1，你覺得現在還有困難嗎？

學生1：感覺未知量還是很多？

教師：未知量多時，大家有哪些應對策略？

學生1：可以設x，表示未知量。

通過上述問答，可以看到學生1的思維難點有兩個方面：第一個方面在于觀察不到圖中的隱含條件；第二個方面在于方程意識薄弱，不知道何時應該設未知數。教師只有站在學生的角度，通過問題引導，將思維可視化，學生的問題才得以顯現，進而幫助他們突破自己的思維瓶頸，發展推理能力。在本節課的實施過程中，后續體現過程、方法、素養之間聯系的設計還有很多（見表1）：在概念分析階段，通過短、長、全的符號化表示，引導學生的“符號意識”；在概念歸納階段，將線段長從數字1變為字母a，讓學生感受規律要經歷“從特殊到一般”；在概念的辨析階段，讓學生在黃金分割和等分比較異同的過程中，感受類比的學習方式。而在這些環節設計的過程中，教師要充分了解學生可能會產生哪些“為什么”，通過問題將這些“為什么”展現出來，而只有當這些“為什么”形成學生在思考問題時自我發問的一種習慣時，大部分學生才會基于各自原有的基礎得以提升推理能力。

表1 過程—方法—素養的聯系

3.概念的鞏固——設計進階性問題，發展學生模型觀念

思維發展的過程是一個由淺入深、由低級向高級螺旋上升的過程，因此，進階性問題的設計不僅有利于思維發展，更有助于全體學生高階思維的培養。在本節課中，在學生基本掌握了黃金分割的基本例題后，為了加深學生對黃金分割概念的理解和應用，筆者設計了如下進階問題：

問題：如圖（見圖3），線段BE上是否還存在黃金分割點？

進階問題：若點G、F是線段BE的黃金分割點，請判斷點G是BF的黃金分割點嗎？

圖6 線段的黃金分割（b）

從以上環節我們會發現，學生對知識點的理解存在差異，因此，通過該問題設計，一方面，教師可以發現哪些學生已經通過之前的教學對概念有了深刻的理解（見圖4），能靈活地將之前的黃金分割概念作為模型來應用，解決新問題；哪些學生還停留在低階思維上（見圖5），對概念的理解機械淺顯，需要通過反復計算才能解決上述問題。另一方面，可以引發學生反思問題，在加深對這個概念理解的同時，為下次學習類似問題積累經驗，提升模型意識。

圖4 深度理解的解法

圖5 表層理解的解法

4.概念的延伸——設計探究性問題，發展學生創新意識

創新意識主要是指主動嘗試從生活、自然或科學情境中提出有意義的數學問題，并能運用歸納和類比方法來發現數學關系與規律，提出數學命題與猜想，并加以驗證。例如，在本節課中，學生在深刻理解了一維線段中的黃金分割后，提出了如下問題：

問題1：如圖（見圖7），BE為長和寬的矩形中，折出一個正方形BFMN，觀察矩形FEKN，

圖7 黃金矩形的分割圖（a）

你有什么發現嗎？

問題2：如圖（見圖8），你還能在圖中構造出新的黃金矩形嗎？

圖8 黃金矩形的分割圖（b）

以上可見，問題1引導學生自主探究，發現并驗證矩形邊長中蘊含的黃金分割關系，將黃金分割的認識從一維線段發展到二維圖形。再由問題2的設計，類比黃金分割在線段中的無限分割的性質，學生可以發現這一性質在二維圖形中依然成立，有些學生甚至會展開進一步猜想，即三維、四維的圖形是否依然成立呢？我們可以發現，在探究以上問題的過程中，學生充分激發學習興趣。經過觀察、分析、歸納、猜想和論證一系列探索過程后，學生不僅形成了自己的見解，并且在解決問題的過程中展現出許多創新性的思維和活動。

三、思考與改進

1.堅持目標導向，重構體現核心素養的教學內容

數學的價值到底在哪里？章建躍教授曾經說過，“數學與大自然同構，是探索知識和進行科學研究的重要工具”，數學不僅能“證明”大自然的規律，還可以將發現的規律為人類所用。①章建躍：《發揮數學的內在力量為學生謀取長期利益》，《數學通報》2013年第2期，第1-6頁，第10頁。事實上，黃金分割的教學素材十分豐富，如何將這些內容有機、自然地融合在一起，讓學生的思維尤其是高階思維得到提升是值得思考與研究的。因此，以核心素養為導向，體現結構化教學特征的教學內容是一線教師應當去進一步研究與開發的。學生從現實世界體現的美中引發思考，通過直觀想象，將問題抽象為分割線段的數學問題，再利用邏輯推理和數學運算，去發現黃金分割內在規律和性質，并且在數學內部進行衍生，從一維線段發展到二維圖形，完善了黃金分割在數學內部的認識，最后將研究發現用于實際生活中的自然現象的解釋和再創造（見圖9）。通過問題與活動設計，學生不僅能學習到黃金分割的知識技能，更能從過程中感受到：如何發現和提出數學問題，如何利用數學的知識解決數學問題，又是如何利用解決的數學知識服務于生活（見圖10）。②徐曉燕：《概念性理解與數學概念教學》，上海教育出版社2020年版，第13頁。

圖9 黃金分割與生活的聯系

圖10 數學學習過程與核心素養表現的關系

2.堅持問題導向，設計促進高階思維的教學活動

基于問題的課堂教學可以激發學生學習興趣、引發學生有效思考，有效提高學習的真實性和主動性。課堂教學以“發現問題—明確問題—解決問題—鞏固提升—歸納小結”為線索，構建以核心素養培養為導向的課堂問題設計策略（見圖11）。

圖11 基于核心素養培育的教學問題設計策略

（1）發現問題。教師要根據課程教學目標，為學生選擇、設計真實的問題情境，為學生提升數學抽象能力和直觀想象能力提供適切的環境。

（2）明確問題。在研究實際問題的過程中，幫助學生逐漸形成數學眼光，通過將實際問題數學化，明確真正要解決的數學問題。

（3）解決問題。教師引導，通過設問、對話、討論等多種方式促使學生展現困難，通過解決這些思維瓶頸，提升其邏輯推理能力，完善學生的數學運算能力。

（4）鞏固提升。引導學生對研究結果進一步總結提升，培養模型觀念和應用意識。

（5）歸納小結。通過對問題解決過程及方法的總結和評價，引導學生形成解決問題的一般思路，完善知識方法體系，從而培養質疑精神和創新意識。

3.堅持創新導向，關注學生批判性思維的發展

批判性思維是創新的前提，是高階思維的重要組成部分。這種思維需要經過培養才能成為一種學習習慣、思維習慣。反思本節課的收尾階段，教師通過如下問題設計，可更好地關注發展學生批判性思維：回到本節課的開始之處，你如何理解數學中的美？

每個人對美的認識不同，若讓所有學生接受黃金分割的分法是最美的，這未免有些強加于人，也不客觀。一方面，給學生提供一種“批判性”的氛圍，使學生不盲從、不盲信，學會獨立思考，敢于發表自己的觀點；另一方面，通過本節課對黃金分割的學習，讓學生認識到人們的認知也是隨著數學的發展不斷發展的，從初期幾何作圖中發現時的不被重視，到隨著人們對無理數認識的逐漸深入，進而對黃金分割在“數”和“形”兩個方面的規律美、動態對稱美的不斷挖掘，從而越來越認可這種美，并不斷將它應用到我們的生活中去。只有這樣，學生的理性精神和高階思維才會在潛移默化中得到提升。