技能映射通過析取模型誘導的多分知識結構

孫曉燕，李進金，2

(1.華僑大學 數學科學學院，福建 泉州 362021；2.閩南師范大學 數學與統計學院，福建 漳州 363000)

知識空間理論(KST)源于Birkhoff[1-2]提出的關于擬序的定理.文獻[3-5]結合教育心理學將KST發展完善，并建立了一套反映教育教學規律的數學理論，為知識和學習的評價提供了有效的科學方法[5-7].KST的一個核心的假設是個體對項目的回答可以被二分為正確(用1表示)或錯誤(用0表示)，這使得KST在對知識和學習進行評價時具有局限性.二分的評價體系僅適用于判斷、選擇等客觀題，而對于解答題、應用題等主觀題則無法適用.針對這一局限性，Schrepp[8]首先將KST推廣到有2個以上答案的問題，用線性有序集評估解決方案的質量，并提出一個嚴格封閉的知識結構.Bartl 等[9]討論了具有分級知識狀態的知識空間.Stefanutti 等[10]提出了KST的多分推廣，假設項目集上的水平集為完備格，并將嚴格封閉條件分解為多分知識結構的4個獨立性質構成的充要條件集合.Heller[11]在Stefanutti 等[10]的基礎上，將擬序知識空間推廣到多分情形，提出了多分知識結構的2個條件，并考慮了項目特定的響應尺度.

技能代表潛在的認知能力，是利用知識和經驗執行某些活動的能力.Falmagne等[4]首先建立了問題和技能之間的聯系.Doignon[12]將技能映射引入KST中.Duntsch等[13]提出的技能函數通過為每個項目分配一個相關的技能子集，將可觀察的解決方案與一些潛在的認知結構聯系起來.Korossy[14]在技能集上建立相應的技能空間.Heller等[15]探索基于能力的個性化學習的知識結構，并研究了分布式技能函數和知識結構的網格化[16].近年來，人們越來越重視技能和知識的評估及其程序化應用[17-22].在Stefanutti[18]提出的框架中，問題的解決過程被描述為從操作集合中獲取操作序列，技能用操作序列表示，操作序列應用于某初始狀態，產生一個最終狀態，由此定義問題的狀態空間，從而誘導出知識空間.

基于Stefanutti等[10]與Heller[11]提出的知識空間的多分推廣，及Stefanutti[18]提出的程序性知識的評價，本文提出根據各項目的操作步驟設定響應值集的框架，通過狀態轉移函數定義項目狀態空間，并導出析取的技能映射，證明技能映射通過析取模型誘導的多分知識結構是多分知識空間.

1 預備知識

1.1 技能映射誘導的知識結構

在KST中，知識域Q由一組關于特定主題的項目的集合表示，項目的答案可以被二分為正確(用1表示)或錯誤(用0表示).知識狀態K是Q的子集，表示個人有能力在理想條件下(即假設粗心的錯誤和幸運的猜對不會發生)正確回答的項目的集合.知識結構是二元組(Q，K)，其中，K是一個由Q的子集構成的知識狀態集族，且至少包含?和Q.知識結構(Q，K)是并封閉的，當且僅當對任意的F?K，∪F∈K.滿足并封閉的知識結構(Q，K)稱為知識空間.有關KST的詳細描述，見文獻[5-7].

技能是與項目的解決相關的算法步驟或操作程序.在KST中，通過技能映射將知識域Q中的每個項目與有助于解決這個項目的技能聯系起來，并從這個關聯中推斷出知識狀態.由技能映射誘導知識狀態的模型有析取、合取與能力模型.在以下的多分推廣中，僅考慮析取模型.

設非空的項目集Q，非空的技能集S，技能映射是三元組(Q，S，τ)，其中，τ是從Q到S的非空冪集的映射，τ：Q→2S{?}.給定T?S，由T通過析取模型誘導的知識狀態為

KT={q∈Q|τ(q)∩T≠?}.

取遍T?S，所有誘導的知識狀態的集合是由τ通過析取模型誘導的知識結構.由τ通過析取模型誘導的知識結構是知識空間.有關技能映射及其誘導的知識結構的詳細背景，見文獻[6-7].

1.2 多分知識狀態

在KST的多分推廣中，知識域Q中的項目的解決質量由水平集L中的級別l∈L表示.在Schrepp[8]提出的KST多分推廣中，L是線性有序集.Stefanutti等[10]設定L是完備格.

設X是非空集，≤是X上的偏序關系(即滿足自反性、傳遞性、反對稱性的二元關系)，則稱(X，≤)為偏序集.設(X，≤)為偏序集，對于任意的A?X，A的最小上界稱為A的上確界，記為supA或∨A；A的最大下界稱為A的下確界，記為infA或∧A.若?A?X，恒有supA與infA存在，則稱(X，≤)為完備格.若?a，b∈X，恒有sup{a，b}=a∨b與inf{a，b}=a∧b存在，則稱(X，≤)為格.有限格是完備格.有關格理論的詳細背景知識，見文獻[2，23-24].

在Heller[11]提出的KST多分推廣中，個體對知識域Q中各項目的掌握程度用有限的響應值集V表示，且設非空有限響應值集V是格，由于V是有限的，所以V是完備格.

多分知識狀態是Q到V的映射K：Q→V，表示將Q中每個項目對應V中的一個響應值.這樣的映射集合記為VQ=∏q∈QV.多分知識狀態有兩種表示形式，分別由Heller[11]和Stefanutti等[10]提出.

子集表示法[11]：多分知識狀態K是Q×V的一個特定子集，即對于任意K∈VQ，K?Q×V.記

pv=(p，v)∈Q×V，

對于任意K∈VQ，規定pv∈K?K(p)=v，則

K={pv|p∈Q，K(p)=v∈V}?Q×V.

向量表示法[10]：在給定的有限知識域Q中，設|Q|=n，當固定各項目的順序時，多分知識狀態K可以簡記為以V中的響應值為分量的n維向量.設Q={q1，q2，…，qn}，對于任意K∈VQ，記

K=v1v2…vn=(v1，v2，…，vn).

上式中：vi=K(qi)，qi∈Q，i=1，2，…，n.

例如，設Q={a，b，c}，V={0，1，2}，多分知識狀態K：Q→V定義為K(a)=1，K(b)=2，K(c)=0，則多分知識狀態K的子集形式為K={a1，b2，c0}?Q×V.固定各項目順序為q1=a，q2=b，q3=c，則多分知識狀態K用向量形式表示為K=120=(1，2，0).

為了避免記號的混亂，在以下論述與推導中，均采用多分知識狀態的子集表示法，向量表示法僅出現在圖形中.另外，由于文中僅考慮有限知識結構與有限知識空間的多分推廣，因此，在以下論述中均假設知識域Q是有限集，且Q中各項目的響應值集是有限集.

2 技能映射誘導的多分知識結構

2.1 項目特定的響應值集

例1設Q={q1，q2}.項目q1為解方程2+x2=x2+2x；項目q2為解方程|x-3|=3.根據項目解答步驟或操作程序的類型設定響應值集，2個項目的響應值集的格結構不同.

q1的解答為

q1的解答步驟是層層遞推的.設V1為有限線性序集，即V1={0，1，2}.

q2的解答為

圖1 有限格V2={0，a，b，c}的Hasse圖Fig.1 Hasse diagram of finite lattice V2={0，a，b，c}

q2的解答步驟中有分類討論.V2={0，a，b，c}，其中，0≤2a，0≤2b，a≤2c，b≤2c，a與b是不可比較的，且a∨2b=c.有限格V2={0，a，b，c}的Hasse圖，如圖1所示.由圖1可知：V2不是線性序集.

例2設Q={q1，q2}.項目q1：甲用10元購買文具，筆記本的單價為每本6元，甲購買1本筆記本應找回多少元？項目q2：甲用20元購買水果，橙子、蘋果的單價分別為每500 g 7元和每500 g 5元，甲購買500 g橙子和500 g蘋果應找回多少元？對于層層遞推的項目解答或操作，根據步數設定響應值集，響應尺度可能不同.

q1的解答為10-6=4(響應值1).

由于q1的解答只需一步，即計算2個數的差，設定V1為二分的響應值集，即V1={0，1}.

q2的解答為

q2的解答過程分兩步，是層層遞推的.第1步是“求甲購買500 g蘋果和500 g橙子共需多少元？”，即求2個數的和；第2步是求2個數的差.故設定V2為三分的響應值集，即V2={0，1，2}.

2.2 多分知識結構

上式中：vi∈Vi，i=1，…，n.

2) ∪K∈KK=Ω，即對于任意的pv∈Ω，K(pv)={K∈K：pv∈K}≠?.

圖2 例3的結構(K1，)的Hasse圖Fig.2 Hasse diagram of structure (K1，) of example 3

圖3 例3的結構(K2，)的Hasse圖 圖4 例3的結構(K3，)的Hasse圖Fig.3 Hasse diagram of structure Fig.4 Hasse diagram of structure (K2，) of example 3(K3，) of example 3

2.3 項目的狀態空間與項目的相關技能

設項目集Q={q1，q2，…，qn}.這里提出的框架中，響應值集是根據項目的解答或操作步驟設定的.為了保證操作步驟的有限性，假定各項目的解答或操作是非循環的.對于任意的項目qi∈Q，qi的操作集是由其解答或操作的每個步驟構成的集合，記為Λi.在這里，僅考慮每個項目的某個特定解法，對于一題多解的情形將在能力模型中考慮.

命題1對于任意的項目q∈Q，設q的解答或操作非循環且步驟數有限，則項目q的操作集Λ是有限集.設Λ={λ1，λ2，…，λr}，根據每步操作逐一設定響應值，得到項目q的響應值集V是有限格.

1) 如果項目q的解答或操作是層層遞推的，且步驟數為r，記第k步操作為λk，k=1，2，…，r，則q的操作集為Λ={λ1，λ2，…，λr}.設項目q的初始狀態為q0，即q的響應值集V的底元為0，根據每步操作逐一設定響應值，即每步操作產生新的項目狀態，對應的響應值加1，則項目q的響應值集V為有限線性序集，且V={0，1，…，r}.

2) 如果q的解答或操作中具有n個分支，則V不是線性序集.首先，按各分支的層層遞推的步驟數設定各分支上線性有序的響應值集，再將任意k(2≤k≤n)個不可比較的響應值的上確界(稱為分支定向并[11])設為新的響應值，并且規定當n=2時，設a1與b1不可比較，a2與b2不可比較，且a1∨b1=c，a2∨b2=d，如果a1≤a2且b1≤b2，則c≤d；否則，c與d不可比較.當n>2時，設A?V，B?V，若A?B，則∨A≤∨B；若?l∈A，恒有m∈B，使得l≤m，則∨A≤∨B；否則，∨A與∨B不可比較.這樣得到的項目q的響應值集V為有限格.

例如，例1中的項目q1的解答步驟是層層遞推的，且步驟數為2，所以，設定V1為有限線性序集，且V1={0，1，2}.項目q2的解答有2個分支，2個分支的步驟數均設定為1，所以，2個分支上的響應值分別為0≤2a，0≤2b.由于a和b不可比較，設響應值c=a∨2b，得V2={0，a，b，c}.V2是有限格.

如果將例1中q2的2個分支步驟數均設定為2，即

圖5 有限格V2={0，a1，a2，b1，b2，c，d，e，f}的Hasse圖Fig.5 Hasse diagram of finite lattice V2={0，a1，a2，b1，b2，c，d，e，f}

則0≤2a1≤2a2且0≤2b1≤2b2.將{a1，a2，b1，b2}中任意2個不可比較的響應值的上確界設為新的響應值(例如，在實際應用中可以取2個不可比較的響應值的和為它們的上確界)，即

a1∨2b1=c，a2∨2b1=d，a1∨2b2=e，a2∨2b2=f.

由于a1≤2a2，b1≤2b1，所以，(a1∨2b1)≤2(a2∨2b1)，即c≤2d.同理得，c≤2e，d≤2f，e≤2f.由于a2≥2a1，b1≤2b2，所以a2∨2b1與a1∨2b2不可比較，即d與e不可比較.則V2={0，a1，a2，b1，b2，c，d，e，f}是有限格，如圖5所示.

項目q的解答或操作中可能具有n(n>2)個分支，例如例4的項目q有3個分支.

將{2a，2b，2c}中任意k(2≤k≤3)個不可比較的響應值的上確界設為新的響應值，即

2a∨2b=3d，2a∨2c=3e，2b∨2c=3f，∨{2a，2b，2c}=4.

圖6 有限格V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}的Hasse圖Fig.6 Hasse diagram of finite lattice V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}

由于{2a，2b}?{2a，2b，2c}，所以，∨{2a，2b}≤∨{2a，2b，2c}，即3d≤4.同理得，3e≤4，3f≤4.由于2b與2c不可比較，所以，2a∨2b與2a∨2c不可比較，即3d與3e不可比較.同理得，3d與3f不可比較，3e與3f不可比較.項目q的響應值集V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}是有限格，如圖6所示.

在這里，只考慮由錯誤操作導致的錯誤狀態.例如，將“計算兩個數的和”錯誤操作為“計算兩個數的差”.不考慮由于操作不熟練或粗心計算導致的錯誤狀態.例如，將“7+5”錯誤計算為“11”.

項目qi的單個操作對項目狀態轉移的作用可以用定義3中的狀態轉移函數φi表示.

例5續例2，Q={q1，q2}，考察q1和q2的項目狀態轉移函數.Λ1={λ1}，Λ2={λ1，λ2}，其中，λ1表示計算2個數的差，λ2表示計算2個數的和.

圖7 例2的項目q1的狀態轉移圖Fig.7 State transition diagram of item q1 of example 2

圖8 例2的項目q2的狀態轉移圖Fig.8 State transition diagram of item q2 of example 2

定義4[18]設非空有限操作集Λ，由Λ中的s個操作元組成的操作序列λ1λ2…λs∈Λs稱為Λ的1個長度為s的操作序列.具有任意長度的所有操作序列(包括空操作程序ε，即s=0)的集合記為Λ*，即

Λ*=∪s∈NΛs={ε}∪Λ∪Λ2∪….

上式中：空操作序列ε是Λ*的單位元，即?λ∈Λ*，ελ=λε=λ.

定義5設非空有限操作集Λ，操作序列集Λ*，對于任意s∈Z+，任意給定長度為s的操作序列λ1λ2…λs∈Λs，λ1λ2…λs的子序列是操作序列λiλi+1…λi+t，其中，1≤i≤s且0≤t≤s-i.

定義6設非空有限操作集Λ，操作序列集Λ*，對于任意2個非空操作序列σ1，σ2∈Λ*{ε}，規定σ1≤σ2當且僅當σ1是σ2的子序列.

注4[18]設項目集Q={q1，q2，…，qn}，對于任意的qi∈Q，項目qi的狀態轉移滿足以下2個性質.

圖9 項目狀態轉移的傳遞性Fig.9 Transitivity of item state transition

λ1，λ2，λ1λ1，λ1λ2，λ2λ1，λ2λ2.

如果項目q∈Q的解答或操作中有分支，則需要考慮非空操作組合對給定項目狀態的作用.

例7續例1，項目q1的解答是層層遞推的，Λ1={λ1，λ2}，其中，λ1表示方程的等價變形，λ2表示解一元一次方程.V1={0，1，2}是有限線性序集，只需考察q1的正確操作序列.與例6的項目q2類似，q1的正確操作序列為λ1，λ2和λ1λ2.

項目q2的解答有分支，V2={0，a，b，c}不是線性序集，需考慮非空操作組合對給定項目狀態的作用.項目q2的操作集Λ2={λ3，λ4}，其中，λ3表示當x-3≥0時，解含|x-3|的一元一次方程；λ4表示當x-3<0時，解含|x-3|的一元一次方程.

圖10 例1的項目q2的狀態轉移圖Fig.10 State transition diagram of item q2 in example 1

例1的項目q2的狀態轉移圖，如圖10所示.圖10中：

例8續例6，考察項目集Q={q1，q2}的技能集.V1={0，1}，V2={0，1，2}.由圖7可知，q1的所有正確操作程序為λ1，因此，q1的所有相關技能的集合為S1={λ1}.由例6可知，q2的所有正確操作程序是λ2，λ1和λ2λ1，所以，q2的技能集為S2={λ1，λ2，λ2λ1}.因此，項目集Q={q1，q2}的技能集為

S=S1∪S2={λ1，λ2，λ2λ1}.

例9續例7，考察項目集Q={q1，q2}的技能集.V1={0，1，2}，由例7可知，項目q1的所有正確操作程序為λ1，λ2和λ1λ2，所以，S1={λ1，λ2，λ1λ2}.V2={0，a，b，c}不是線性序集，由圖10可知，q2的所有的正確操作程序為λ3，λ4和{λ3，λ4}，所以，S2={λ3，λ4，{λ3，λ4}}.項目集Q={q1，q2}的技能集為

S=S1∪S2={λ1，λ2，λ1λ2，λ3，λ4，{λ3，λ4}}.

例10續例4，考察項目q的技能集.

圖11 例4的項目q的狀態轉移圖Fig.11 State transition diagram of item q in example 4

項目q的操作集Λ={λ1，λ2，λ3，λ4}，V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}.例4的項目q的狀態轉移圖，如圖11所示.由圖11得到項目q的所有正確操作程序的集合，即q的技能集為

S={λ1，λ2，λ3，λ4，λ1λ2，λ1λ3，λ1λ4，{λ2，λ3}，

{λ2，λ4}，{λ3，λ4}，{λ2，λ3，λ4}，λ1{λ2，λ3}，

λ1{λ2，λ4}，λ1{λ3，λ4}，λ1{λ2，λ3，λ4}}.

2.4 析取的技能映射

K={qv11,qv22,…,qvnn}=i∈IKi,

2.5 由析取的技能映射誘導的多分知識結構

定義16設析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中τ：Ω+→2S{?}.給定技能狀態T?S，T表示個體掌握的技能的集合，由T通過析取模型誘導的多分知識狀態為

Kd(?)= ?={q⊥11,q⊥22,…,q⊥nn}.

Kd(S)=Ω+={q⊥11,q⊥22,…,q⊥nn}.

定理2設析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中，τ：Ω+→2S{?}.取遍所有的技能狀態T?S，所有通過析取模型誘導的多分知識狀態的集合K是多分知識結構.

{qvi:v≤iw}=qwi,

即∪K∈KK=Ω.所以，K滿足定義2的條件2).

綜上所述，取遍所有的T?S，所有通過析取模型誘導的多分知識狀態的集合K是多分知識結構.

定義17設析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中，τ：Ω+→2S{?}.取遍所有的技能狀態T?S，所有通過析取模型誘導的多分知識狀態的集合為K={Kd(T)|?T?S}，K稱為由技能映射τ通過析取模型誘導的多分知識結構.

定義18[25]稱三元組(U，A，I)為一個形式背景，其中U={x1，x2，…，xn}為對象集，每一個xi(1≤i≤n)稱為一個對象；A={a1，a2，…，am}為屬性集，每個aj(1≤j≤m)稱為一個屬性；I?U×A為U和A之間的二元關系，若(x，a)∈I，則稱對象x具有屬性a，若(x，a)?I，則稱對象x不具有屬性a.

表1 形式背景表Tab.1 Formal background table

形式背景表，如表1所示.若用1表示(x，a)∈I，用0表示(x，a)?I，則形式背景可表示為只有0和1的表格(或表示為0-1矩陣) .

表2 例13的技能映射(Ω+，S，τ)的形式背景表Tab.2 Formal background table of skill map (Ω+，S，τ) of example 13

將Ω+視為對象集，S視為屬性集，I?Ω+×S是Ω+和S之間的二元關系，規定

由表2可得誘導的多分知識狀態為

圖12 例13的多分知識結構(K，)的Hasse圖Fig.12 Hasse diagram of polytomous knowledge structure (K，) of example 13

于是，取遍T?S，由τ通過析取模型誘導的多分知識結構為

注5命題3的兼容性對于通過析取模型誘導多分知識結構是必要的.如果析取的技能映射τ不滿足該條件，則由τ通過析取模型誘導的多分知識狀態的集合可能不滿足定義2的條件2).

例如，在例13中，若定義技能映射τ′為

定理3設析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中，τ：Ω+→2S{?}.由技能映射τ通過析取模型誘導的多分知識結構K是多分知識空間.

證明：對于任意的K1，K2∈K，其中，Ki是由技能狀態Ti通過析取模型誘導的多分知識狀態，即

Ki={qvi∈Ω+|?t∈τ(qvi):t∈Ti},i=1,2.

根據項目q的解答或操作步驟設定響應值，得到的響應值集V不一定是線性有序集.例如，例1中的項目q2，V2={0，a，b，c}，其中，a與b是不可比較的，且a∨2b=c.

圖13 例14的項目q的狀態轉移圖Fig.13 State transition diagram of item q of example 14

例14的項目q的狀態轉移圖，如圖13所示.由圖13得到過程函數為

記s1=λ1，s2=λ2，s3={λ1，λ2}，s4=λ1λ3，則Q的技能集S={s1，s2，s3，s4}.由過程函數導出析取的技能映射τ為

表3 例14的技能映射(Ω+，S，τ)的形式背景表Tab.3 Formal background table of skill map (Ω+，S，τ) of example 14

例14的技能映射(Ω+，S，τ)的形式背景表，如表3所示.由表3可得誘導的多分知識狀態為

圖14 例14的多分知識結構(K，)的Hasse圖Fig.14 Hasse diagram of polytomous knowledge structure(K，) of example 14

注7命題3的差異性對于通過析取模型誘導多分知識結構是必要的.如果析取的技能映射r不滿足該條件，則由r通過析取模型誘導的多分知識狀態的集合可能不滿足定義2的條件2).

例如，在例14中，若定義技能映射τ′為

3 結束語

基于程序性知識的評估，通過項目狀態轉移函數定義項目狀態空間，從而將問題空間推廣到多分情形.通過過程函數導出技能映射，證明了技能映射通過析取模型誘導的多分知識結構是多分知識空間.在文中的框架中，僅考慮每個項目的某個特定解法，對于一題多解的情形將在后續的能力模型中考慮.為了保證操作集的有限性，假定各項目的解答或操作是非循環的，所以，對循環解路徑的約簡可以在后續研究中考慮.另外，由于知識空間的形式背景與形式概念分析密切相關[26-29]，因此，將KST的多分推廣與形式概念分析的發展聯系起來將是今后研究的方向.