撥云見日終有時，化歸解題醉晴空
——化歸思想在高中數學解題過程中的應用方法分析

◎沈月紅

(浙江省湖州藝術與設計學校，浙江 湖州 313000)

數學問題的解決過程就是一系列問題的轉化過程，具體表現為由難到易、由繁到簡、由未知到已知等.也就是說，在數學解題教學中，教師要善于引導學生學會將一個復雜的問題通過轉化分析化歸為一個簡單的熟悉問題，從而使問題得到有效解決.因此，下面將探討化歸思想在高中數學解題過程中的應用.

一、化歸思想的內涵

化歸思想是一種數學思想和解題方法，是對未解決的問題做等價與非等價轉化、從而實現有效求解問題的思考過程，具有熟悉化、簡單化、和諧化的特點.在高中數學解題教學中應用化歸思想，應以教學實踐為基礎，以培養學生的良好數學思維品質、數學思想為目標，從化歸數與形、化歸復雜與簡單、化歸特殊與一般、化歸正面與反面等方面出發，應用化歸思想對解題過程進行詳細闡述，使學生在解題時能夠精準、快速地找到解題方法，提高解題效率.

二、化歸思想在高中數學解題過程中的應用分析

(一)化歸動與靜，提高學生的解題能力

在高中數學問題中，動和靜之間的轉化是化歸思想的主要內容，這一內容常常體現在函數問題中.函數問題常包含了生活中的變量關系，對事物的變化和運動規律進行研究.在教授函數知識的過程中，教師要引導學生探究變量間的關系，提煉出數學模型，借助化歸思想，將靜態問題轉化成變量動態問題，通過運動的觀點思考和解決函數問題，提高數學解題能力.例如，在學習對數函數時，學生常會遇到比較大小的題目，教師要讓學生掌握解此類題的方法，使學生能很容易解出題目.

例如，教師可在習題課上出示這樣一道題：

在解答此題的過程中，教師可以應用化歸思想，將函數進行動靜轉化.教師先讓學生對兩個數學式進行觀察思考，并且確定這兩個數學式屬于靜止的數值；然后引入化歸思想，進行動與靜的轉化，建構一個對數函數f(x)=log3x，將兩個靜態的數學式看作函數自變量對應的函數值，從而實現數值的動態化轉變.根據對數函數f(x)=log3x在定義域(0，+∞)上單調遞增，教師對兩個數學式的大小進行判斷，確定它們的大小關系.通過解答此類問題，學生掌握化歸思想，學會進行靜態和動態的轉化，輕松解答這類題目.該方法特別適合用于解答選擇題、填空題，學生能夠快速、準確地找出答案，最終提高解題能力.

(二)化歸數與形，培養學生的直觀思維

代數和幾何是高中數學的重要內容，數形之間的化歸是學生尋找解題思路最簡單直接的方法.為培養學生的直觀思維和數學核心素養，在數學解題教學中，教師可以采用數形化歸的方法，以數探形，以形解數，讓學生在化歸分析過程中體會代數與幾何之間的關系.

例如，教師可出示題目：

例2在平面直角坐標系XOY中，圓Ω與拋物線τ：y2=4x恰有一個公共點，且圓Ω與x軸相切于τ的焦點F，求圓Ω的半徑.

圖1

從以上解題過程來看，將問題化歸與圖形進行整合分析，有助于提高學生對問題的理解程度，同時可以簡化解題過程.

教師還可出示這一題：

圖2

以圖形的方法進行求解，可以使復雜問題簡單化，簡化解題思路，使問題看起來更加直觀形象.應用化歸思想解題能提高學生的問題分析能力和學習能力，培養學生良好的數學思想.

從以上來看，在高中數學解題教學中，將代數問題與幾何問題進行有機關聯，滲透數形結合思想，對提高學生的解題能力、培養學生良好的思維品質和數學抽象素養及數學建模能力有積極意義.

(三)化歸復雜與簡單，培養學生的邏輯思維

在高中數學解題教學中，對計算題進行解題分析是提高學生思維能力和數學運算素養的關鍵.學生經常會遇到復雜的計算題，一些能力稍差的學生往往計算半天仍然算錯.要想解決這一問題，教師可引導學生利用化歸思想使復雜計算簡單化，實現精、準、快地計算.

例如，教師可出示如下計算題：

在解題的時候，通過理解題意，可以看到此題涉及的角數量多，要想快速解答該題，就要化復雜為簡單，減少角度的數量，嘗試用一個角表示其他兩個角，從而達到化歸、統一的目標.同時，教師要讓學生考慮如果拆分cos 15°=cos (7°+8°)是否能繼續運算的問題.基于這一問題，教師引導學生精準化歸角，得到：

=tan 15°

=tan(45°-30°)

在解題的時候，可以看到題中α，β為銳角，那么對應的cosα、cosβ、sinα、sinβ均為正數.要想簡單地解決此題，教師可以引導學生將此問題化歸為一個基本不等式：

在解題的時候，觀察分析可知，此題角的數量較多，最簡單的解題方法是減少角的個數.為此，在化歸的時候，教師可以讓學生根據上述解題經驗，思考應該化歸哪一個角.

如，可以令t=x+45°，將式子化簡，從而得到：

t=x+45°，x+75°=t+30°,x+15°=t-30°.

這樣就可以將三個角化歸為t，簡化計算過程，然后根據公式進行求解.這樣既可以提高學生的計算素養，又可以培養學生的邏輯思維，提高學生的推理能力.同理，為訓練學生的化歸思想，在計算教學過程中，教師可以采用小組合作的方式，以化歸思想的滲透為核心，開展小組pk賽，讓學生對問題進行化歸求解，以精、快、準為標準，最后答對多且用時少的小組為優勝方.教師給予對應的物質獎勵.教師可將學生的計算表現納入考核評價，分析學生對化歸思想的掌握程度和應用能力，以便下一步工作的高效開展.

(四)化歸特殊與一般，培養學生的分析能力

學生在學習中經常會遇到特殊問題，會感到束手無策.此時，教師可以從學生已知的知識入手，化歸一般與特殊，在一般與特殊的轉化分析過程中培養學生的分析能力，使問題有效解決.

例如，教師出示下面的問題：

對于以上填空題而言，在求解的時候，教師可以根據填空題的特點應用化歸思想.當填空題的結論是唯一的或題設條件提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，從而找到答案.如對于例7，很顯然△ABC為等邊三角形的時候符合題設條件，所以

對于例8，看到求解f(-2018)+f(-2017)+…+f(0)+f(1)+…+f(2019)的值時，教師可以引導學生想到求解f(x)+f(1-x)的值，從而得到：

所以f(0)+f(1)=1，f(-2018)+f(2019)=1，得到：

f(-2018)+f(-2017)+…+f(0)+f(1)+…+f(2019)=2019.

同理，這是將特殊化歸為一般的問題，那么，對于不易解決的一般問題，教師也可以引導學生反其道而行，將一般化歸為特殊，探尋解題路徑.再如：

通過上述例題的化歸分析，教師要引導學生從不同視角對數學問題進行分析探索，設計系列專題，讓學生嘗試對問題進行化歸，提高學生利用化歸思想解決問題的能力.

(五)化歸正面與反面，培養學生的推理能力

對于一些高中數學問題，學生可以從條件出發，通過推理得到結論，也就是正面求解.但是有些問題從正面求解會很難，這個時候就教師要引導學生換個角度思考問題，從反面化歸(類似反證求解)，對問題進行推理分析，從而培養學生的推理能力，提高學生的邏輯思維能力.

例如，教師出示以下問題：

通過閱讀題干，可以看到題中出現了“總不為”這一關鍵詞，在求解的時候，教師可以利用反面化歸的方法.如：

由題意得g′(x)=3x2+(m+4)x-2，若g(x)在區間(t，3)上總為單調函數，則①g′(x)≥0，在(t，3)上恒成立；或者②g′(x)≤0，在(t，3)上恒成立.

例11已知集合A={x∈R|x2-4mx+2m+6=0}，B={x∈R|x<0}，若A∩B≠?，求實數m的取值范圍.

在解題時，可以看到A∩B≠?，所以可以得知A是方程x2-4mx+2m+6=0的實數解組成的非空集，并且方程的根有三種情況：①兩負根；②一負根和一零根；③一負根和一正根.如果分別求解,那么會非常麻煩，同時很容易造成解題失誤.在此時，教師可以引導學生從反面考慮，采取正難則反的解題方法.

先由Δ≥0求出全集U，然后求方程的兩根均為非負時m的取值范圍，最后結合補集思想求解分析.化歸思想使問題得到有效解決.

若方程x2-4mx+2m+6=0的兩根x1，x2均為非負，則

所以使A∩B≠?的實數m的取值范圍為{m|m≤-1}.

教師通過正反化歸思想的引導，提高學生的逆向思維能力和邏輯推理能力.這樣既可以拓展學生看問題的視角，又可以為提高學生的解題能力打下堅實基礎.同時，在此次化歸思想引導學習的過程中，要想讓學生能夠學會運用反向視角思想問題，教師就要善于培養學生的獨立思考能力，多訓練學生的解題思路，使學生在解題的時候能夠靈活運用化歸思想，提高解題的質量.

三、結 語

在高中數學解題教學中應用化歸思想，既可以提高學生的解題能力，又可以培養學生良好的數學思維品質，提高學生的數學核心素養.因此，在實踐教學過程中，教師要重視化歸思想的滲透，重視學生數學思維能力的培養，通過化歸數形、化歸復雜與簡單、化歸特殊與一般、化歸正面與反面等，提高數學解題教學的質量，強化學生的解題效果.