具有能量收集的霧網絡的建模與性能分析

于露露，文 鵬，唐勝達

(1.廣西師范大學數學與統計學院，廣西 桂林 541006；2.桂林學院理工學院，廣西 桂林 541006)

0 引言

霧網絡(Fog Networking，Fogging)或霧計算(Fog Computing)是由思科(Cisco)在2011年首次提出的[1].霧網絡或霧計算能夠將計算需求分層次、分區域處理，以解決可能出現的網絡擁塞等現象.相比要把所有數據集中運輸到同一個中心的云計算，霧計算的模式是設置多個中心節點，即運用所謂的“霧節點”來處理數據，霧計算可以將一些并不需要放到云上的數據，直接在網絡邊緣層進行處理和存儲，提高數據分析處理的效率，降低時延，減少網絡傳輸壓力，提升安全性.霧網絡在人們生活的許多方面都具有重要作用，例如醫療保健、交通、農業、工業自動化和安全等方面.然而，霧網絡節點處理數據，需要消耗大量的能源，為了延長節點的壽命，可以考慮能量收集.能量收集(Energy Harvesting，EH)指的是收集環境中易獲得的能量(如太陽能、風能、機械振動、溫度變化、磁場等)并將其轉化為電能的過程.能量收集使能量來源更豐富，減少對自然界的碳排放，促進生態可持續發展，同時能量收集能夠降低成本和提高系統壽命.能量收集在許多方面具有廣泛的應用，比如通信方面[2-3]、工業方面[4-5].

近年來，許多學者對網絡性能進行了研究.TANDO等[6]研究了能量收集通信系統，通過一個兩階段的虛擬排隊系統，對能量到達過程和等待服務過程進行解耦，得出該虛擬排隊系統中平均數據包延遲，以及由于緩沖區中數據的溢出而導致數據包丟失的概率的封閉表達式.PATIL等[7]研究了能量采集無線傳感器網絡中傳感器節點的最優傳輸策略，將該系統建模為具有兩個耦合隊列的離散時間排隊模型，能量獲取過程為伯努利過程，采用策略迭代算法，獲得最優的傳輸策略.JIANG等[8]研究了霧網絡中塑造和監管數據流量的模型，通過漏桶模型利用Markov控制的流體源，反映了數據流量的突發性特性，推導出數據流量的四個性能指標.寇名揚等[9]研究了能量采集無線傳感器網絡，采用兩狀態 Markov調制的on-off流體模型，描述數據和能量到達的突發，利用虛擬隊列刻畫數據緩存的占用情況和能量狀態之間的相關性，對虛擬隊列進行排隊分析，通過譜分析得到丟包率和平均延遲的表達.但是TANDO[6]和PATIL[7]研究的能量到達過程都是離散的，而能量一般是以電子流的形式收集，離散過程無法刻畫能量收集的實際情況.JIANG等[8]只對數據進行了分析，沒有考慮能量可收集的情況，但是對于數據的處理，需要大量的能量消耗，傳統的電池已不能滿足大數據時代數據處理所需求的能量；而且JIANG運用的方法都是譜分析，當特征值趨于0時，數值解會有很大波動，不利于數值的分析.寇名揚等[9]僅考慮了兩狀態Markov過程控制的流體模型，其求解方式無法推廣到多狀態求解.

本文主要討論具有能量收集的霧網絡節點，在霧節點中推廣了上述對能量和數據的分析，同時考慮能量收集和數據到達為多種狀態的情況，基于流體隊列理論(Stochastic Fluid Queues，SFQ)運用矩陣分析方法得出霧網絡節點中數據和能量的聯合分布，以及緩沖區的溢出和閑置概率.

1 系統建模

本文使用下面的符號體系，[A]ij表示矩陣A的第(i,j)項元素，Aij表示矩陣A的分塊矩陣.特別地，0、I和1分別表示適當維數的零矩陣(向量)、單位矩陣和單位列向量.

1.1 模型描述

如圖1所示，本文描述具有能量收集的霧網絡的工作原理：設備由能量緩沖區和數據緩沖區構成，其處理數據的能力受到能量采集速率的影響，數據經過處理后被傳輸到接收端，此處傳輸消耗的能量可以忽略不計.為了提高設備處理數據的能力，將能量收集設備收集的能量盡可能地用于數據處理.具體來講，當數據緩存區中有數據時，收集到的能量將全部用于數據處理；當數據緩沖區中沒有數據時，處理數據剩余的能量將被保存在能量緩沖區中，由于數據到達和能量收集的隨機性，在緩沖區的大小都有限的情況下，不可避免地會發生數據丟失或即將收集的能量被丟棄.

圖1 霧節點工作原理簡化圖

用隨機變量X(t)和Y(t)分別表示在t時刻數據緩沖區中的數據水平和能量緩沖區中的能量水平.假設數據緩沖區和能量緩沖區的大小分別為BD和BE，則0≤X(t)≤BD和0≤Y(t)≤BE，且滿足：

(i)當數據緩沖區為空(X(t)=0)時，能量緩沖區才有能量緩存(Y(t)>0)，否則到達的數據將立即被儲存在能量緩沖區中的能量處理.因此有X(t)=0,Y(t)>0.

(ii)類似地，當能量緩沖區為空(Y(t)=0)時，到達的數據才能被緩存到數據緩沖區(X(t)>0) 中，否則收集的能量將立即被用來處理數據.即Y(t)=0,X(t)>0.

根據(i)(ii)顯然有X(t)Y(t)=0.

數據緩沖區中數據水平的變化過程：

(1)

能量緩沖區中能量水平的變化過程：

(2)

由式(1)和式(2)可知，數據緩沖區內緩存的數據與能量緩沖區內的能量相關，不易直接求出X(t)和Y(t)的個體統計量，但是可以先找到聯合概率，然后再得出各自的統計量.按照ELWALID[10]的方法，通過將X(t)和Y(t)的兩個緩沖區組合在一起，即二者的聯合“虛擬隊列”，定義V(t)表示虛擬隊列中的水平容量，S表示狀態空間，則有

V(t)=X(t)-Y(t)+BE,

(i)0≤V(t)≤B,B=BD+BE；

(ii)當0≤V(t)≤BE時，有X(t)=0,V(t)=BE-Y(t)；

(iii)當BE≤V(t)≤B時，有Y(t)=0,V(t)=BE+X(t).

因此，可定義虛擬緩沖區的凈流入速率為

經過上述分析，隨后基于SFQ得出虛擬緩沖區中流體的變化情況，通過得到的V(t)密度函數，可以分析出數據緩沖區中數據水平和能量緩沖區中能量水平的變化.

1.2 模型轉化

基于上述的分析，將模型轉化為SFQ，分析云存儲系統中數據和能量的分布特點.

將本文模型建模為隨機過程{V(t),I(t),H(t)}，定義隨機過程J(t)={I(t),H(t)}，根據實際情況，I(t)和H(t)是相互獨立的CTMC，因而隨機過程J(t)={I(t),H(t)}也是一個CTMC，將J(t)作為SFQ的背景過程，其狀態空間S=SD×SE={1,2,…,mn},其生成元矩陣為T=M⊕N，其中，⊕是Kronecker和.隨機過程V(t)表示虛擬緩沖區的水平變化過程，則得到SFM{V(t),J(t)}.

令dJ(t)=λI(t)-rH(t)，不失一般性，假設λI(t)≠rH(t)，即dJ(t)≠0.則SFM{V(t),J(t)}的凈輸入率矩陣D=Λ⊕-R.由于dJ(t)的不同，狀態空間S可以分為兩個不相交的子集：

S=S+∪S-,

(3)

其中，S+={j∈S|dj>0}，S-={j∈S|dj<0}.

根據(3)，矩陣T和D可以分別寫成分塊形式：

其中，D+=diag{dj>0,j∈S+}，D-=diag{dj<0,j∈S-}.

隨后，本文提出SFQ{V(t),J(t)}的平穩分布，進而得出一些相關分析.

1.3平穩分布

在SFQ模型中，當0

μ=ξ+D+1-ξ-D-1.

(4)

其中，ξ+D+1表示長期情況下虛擬系統中流體流入的速率，ξ-D-1表示長期情況下虛擬系統中的流體流出的速率.μ的物理意義代表了長期的緩沖區中凈流入率.因此，當μ<0時，V(t)有向下的趨勢，即能量緩沖區為滿；當μ>0時，V(t)有向上的趨勢，即數據緩沖區為滿的趨勢，這種情況下，可能導致大量的數據溢出(丟失)，所以假設μ<0，在SFM中存在平穩密度[11].

下面對緩沖區的邊界進行分析：

(i)對于任意j∈S+，即數據到達速率大于能量收集速率，則數據緩沖區趨于滿(X(t)→BD)，能量緩沖區容量趨于空(Y(t)→0)，因此，

V(t)=X(t)-Y(t)+BE→BD+BE=B.

(5)

對于這些狀態集，虛擬隊列為空的概率一定是0，則有

Πj(0)=P[V(t)≤0,J(t)=j]=0，j∈S+.

(ii)對于任意j∈S-，即能量收集速率大于數據到達速率，則能量緩沖區趨于滿(Y(t)→BE)，數據緩沖區中趨于空(X(t)→0)，故有

V(t)=X(t)-Y(t)+BE→0.

(6)

對于這些狀態集，虛擬隊列為滿的概率一定是0，則有

Πj(B)=P[V(t)=B,J(t)=j]=0，j∈S-.

經過上述分析，可以得出SFQ{V(t),J(t)}的平穩分布和邊界概率，進而得出能量緩沖區能量水平和數據緩沖區中數據水平.

2 系統分析

2.1 背景知識

定義1 首達時(FPT)：

θ=inf{t>0:V(t)=0},ι=inf{t>0:V(t)=B},

其中，θ表示首次到達水平0的時刻；ι表示首次到達水平B的時刻.

根據上述首達時定義，類似地定義下面首達概率矩陣[12]：

對于i∈S+,j∈S+,k∈S-，有

[Ψ]ik=P[θ<∞,J(θ)=k|V(0)=0,J(0)=i]，

同理，對于i∈S-,k∈S-,j∈S+，有

并且，有矩陣Ψ滿足下面的Riccati方程：

ΨQ-+Ψ+Q++Ψ+ΨQ--+Q+-=0,

(7)

根據文獻[13-14]關于求解Ψ的算法可以求得Ψ.

(8)

(9)

2.2 主要結論

(10)

(11)

證明過程類似于文獻[11].

(12)

證明過程類似于文獻[11].

定理3 對于本文提出的SFQ{V(t),J(t)}，其邊界概率和平穩密度函數為

證明 為了確定α，則有下面事實成立：

3 數值解釋

下面運用數值計算數據和能量的聯合分布，根據研究結果來說明緩沖區大小對于霧網絡節點性能指標的影響.

3.1 數據設置

3.2 數值分析

根據本文的理論推導得出相應的數值結果，如圖2至圖5所示.

圖2 緩沖區的平穩密度函數

圖3 緩沖區的平穩分布函數

圖4 緩沖區大小與溢出概率的變化趨勢

圖5 緩沖區大小與閑置概率的變化趨勢

圖2和圖3顯示了在聯合緩沖區B的大小分別為10、40、60、100時對應的平穩密度函數以及分布函數.圖2的橫坐標是以聯合緩沖區的大小為單位縮小繪制的，可以看出，當B=10時，處于兩端的水平概率密度占比較大，這是由于漂移μ=-0.172 9<0，漂移影響著緩沖區容量水平變化的整體趨勢.由于μ<0，流體水平整體趨勢是遞減的，這導致更易觸碰到邊界水平0，有流體的反饋，水平會上升，但此時緩沖區較小，也易接觸上邊界，所以處于兩端的水平概率密度占比較大.隨B的增大，觸碰上邊界B的可能性越來越小，因此處于上邊界的概率密度逐漸減少，其平穩密度在區間(0,B)上的分布幾近于一致，當緩沖區的大小增加時，處于水平0和水平B的概率質量減小.這是由于如果B是無限的，那么隊列將接近于瞬態的；在B有限的情況下，平穩分布傾向于均勻地分布在整個狀態空間上.

圖4和圖5分別顯示了在不同狀態下緩沖區大小分別與溢出概率和閑置概率的變化趨勢圖.根據式(5)可知，有4個狀態下可能發生溢出，即聯合緩沖區為滿，也意味著數據緩沖區為滿，即會發生數據溢出(數據丟失)，如圖4顯示緩沖區大小對于數據丟失概率的影響.從圖像可以看出，隨緩沖區增大，其溢出概率越來越小，這意味著其數據丟失的概率越來越小，這是因為隨緩沖區容量的增大，緩沖區內流體的含量幾乎達不到上界B，達不到上界B也就不會發生數據丟失.

根據式(6)可知，有5個狀態下可能發生閑置，即聯合緩沖為閑置，意味著能量緩沖區為滿，即數據緩沖區為空的概率(數據到達直接被能量緩沖區內緩沖的能量所服務)，虛擬緩沖區為空，也意味著數據緩沖區為空，如圖5展示了在不同狀態下數據緩沖區閑置的概率，隨著緩沖區容量的增大，緩沖區閑置的概率越來越小，最終閑置概率都會趨于一個常數.這是因為在緩沖區中流體量整體趨勢下降的情況下，隨著緩沖區容量的增大，緩沖區中流體的量幾乎達不到上界B就已返回邊界水平0，上界對流體水平變化的影響越來越小.

4 結語

本文對霧網絡節點的能量和數據同時進行分析，并將能量收集過程和數據到達過程建模為隨機過程，狀態空間是多個狀態的隨機過程，根據矩陣分析方法計算出緩沖區水平變化的平穩分布以及霧網絡節點中數據緩沖區的溢出概率和閑置概率，分析霧網絡節點中緩沖區大小對于數據的影響.在未來的工作中，可將本文提出的模型運用于更多通信模型，并應用在生產實踐中；同時還可以強化系統的穩定性，如加入可支持電網，提供附加的數據處理能力，考慮數據服務的重要性等.