具p(t)-Laplacian算子的Caputo型分數(shù)階脈沖微分方程廣義反周期邊值問題解的存在性

張婷婷，胡衛(wèi)敏,2

(1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆 伊寧 835000；2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，新疆 伊寧 835000)

0 引言

近年來分數(shù)階微分方程廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域，目前對分數(shù)階微分方程邊值問題的討論已經(jīng)有很多優(yōu)秀的成果[1-3].脈沖微分方程作為微分方程的一個重要分支，它能夠充分考慮瞬時突發(fā)現(xiàn)象對系統(tǒng)狀態(tài)帶來的影響，也吸引了國內(nèi)外學(xué)者對其進行研究，于是此類研究工作也得到了很大的發(fā)展[4-6].p-Laplacian算子在非牛頓流體力學(xué)、多孔介質(zhì)、湍流及非線性粘彈性力學(xué)等多領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用，故對具p-Laplacian算子的分數(shù)階微分的研究也成為了熱門課題[7-8]，p(t)-Laplacian算子作為p-Laplacian算子的推廣[9-12]，不具有后者的標(biāo)準(zhǔn)增算子的性質(zhì)，而具有更加復(fù)雜的非線性性質(zhì)，也相對更加復(fù)雜，因此鮮有文獻討論具p(t)-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程的邊值問題.

邢艷元等[4]利用Banach壓縮映像原理討論了一類分數(shù)階脈沖微分方程反周期邊值問題：

(1)

張迪等[11]利用Banach壓縮映像原理和schaefer不動點定理討論了一類具p(t)-Laplacian算子分數(shù)階微分方程反周期邊值問題：

(2)

受上述工作的啟發(fā)，本文將研究如下具p(t)-Laplacian算子的Caputo型分數(shù)階脈沖微分方程廣義反周期邊值問題：

(3)

解的存在性與唯一性.

1 預(yù)備知識

定義1.1[4]函數(shù)f:[0,+∞)→R的α>0階分數(shù)階積分為

其中，等式右邊是在[0,+∞)逐點定義的.

定義1.2[4]函數(shù)f:[0,+∞)→R的α>0階Caputo型分數(shù)階微分為

引理1.3[4](Arzela-Ascoli定理)K∈PC(J,R)是相對緊的，當(dāng)且僅當(dāng)任何函數(shù)u(t)∈K在J上一直有界，在Jk上是等度連續(xù)的.

它是將有界集映成有界集的連續(xù)映射，且滿足：

引理1.5[8](Krasnosel’skiis不動點定理) 設(shè)Ω為Banach空間X上的非空有界閉凸子集，算子φ,ψ滿足：(1)φu+ψv∈Ω，其中u,v∈Ω； (2)算子φ全連續(xù)；(3)算子ψ是壓縮映射，則存在z∈Ω，使得z=φu+ψv.

引理1.6[8](Banach壓縮映像原理) 設(shè)D是Banach空間X的非空閉子集，T是D到其自身內(nèi)的映射，它在D內(nèi)滿足Lipschit條件，即對任意x,y∈D，有‖Tx-Ty‖≤l‖x-y‖，0

引理1.7 令Nf:C[0,1]→C[0,1]是Nemytskii算子，?t∈[0,1]，Nfu(t)=f(t,u(t),u′(t))，則邊值問題：

(4)

等價于積分方程：

故當(dāng)t∈J0時，由引理1.1可得

當(dāng)t∈J1時，有

故當(dāng)t∈J1時，有

以此類推，當(dāng)t∈Jk時，有

再由邊值條件au(0)+bu(1)=0，可得

因此有

2 解的存在性

在PC1(J,R)中定義算子A:PC1(J,R)→PC1(J,R)，則由引理1.6可知(3)有解等價于如下定義的積分算子有不動點.

為了確保解的存在，需附加以下條件：

(H1)f(t,u(t),u′(t))∈C([0,1]×R2,R)及Ik(u(tk))∈C(R,R)，則存在常數(shù)ξ1,ξ2∈R，使得|f(t,u(t),u′(t))|≤ξ1，|Ik(u(tk))|≤ξ2.

(H2)對任意常數(shù)L1,L2>0，有

|f(t,u(t),u′(t))-f(t,v(t),v′(t))|≤L1(|u-v|+|u′-v′|),

|Ik(u(tk))-Ik(v(tk))|≤L2|u-v|.

令φ,ψ是集合Ω上的算子，定義如下：

易見，Au(t)=φu(t)+ψu(t).

定理2.1 若條件(H1)～(H3)成立，則根據(jù)引理1.5可知，算子A至少有一個解.

證明 對任意u,v∈Ω，t∈[0,1]，有

因此，|φu(t)+ψu(t)|≤r，故φu+ψu∈Ω.

對任意t∈[0,1]，存在常數(shù)λ>0，使得‖u-v‖∞+1≤λ‖u-v‖∞，根據(jù)

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(x+y)p≤2p(xp+yp)，其中，x,y,p>0；

xk0，k∈[0,1].

則有

由條件(H3)以及引理1.6可知，算子Q在ΩR中為壓縮映射.

下面證明算子φ在Ω上是全連續(xù)的，即對任意u∈Ω，有

故可知算子φ在Ω上一致有界.

對任意t1,t2∈[0,1]，有

即算子φ在Ω上等度連續(xù)，由Arzela-Ascoli定理可知算子φ為全連續(xù)算子.

3 解的唯一性

證明 對t∈[0,1]，u,v∈Ω，有

因此，‖Au(t)-Av(t)‖∞≤δ‖u-v‖∞，由于0≤δ<1，故A為壓縮算子，根據(jù)引理1.6，可知邊值問題(3)有唯一解.

4 例題

考慮邊值問題：

非線性項f(t,u(t),u′(t))=(t2+1)(cosu-sinu),u(t)=cosu,u′(t)=-sinu，故有

因此，由定理3.1可知該邊值問題有唯一解.