四種偏微分方程的圖像去噪技術(shù)比較分析

賈超賢

(淮南職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能與電氣工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

0 引言

圖像在成像過(guò)程中不可避免地會(huì)受到噪聲干擾，從而引起圖像質(zhì)量的退化，人的視覺(jué)效果也隨之受到影響。如今，人們對(duì)圖像的要求越來(lái)越高，這讓圖像處理技術(shù)成為研究熱點(diǎn)。圖像去噪方法是指在含噪圖像中，利用各種模型濾除掉噪聲成分[1]。然而，在含噪圖像中，除了噪聲之外還有邊緣、紋理等不同成分，所以需要建立合適的數(shù)學(xué)模型，對(duì)圖像中的噪聲和圖像信息進(jìn)行區(qū)分再處理。圖像去噪的關(guān)鍵在于以下兩點(diǎn)[2]：1)將圖像去噪看作一個(gè)分割問(wèn)題，區(qū)分有用信息與噪聲再建立數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上通過(guò)開(kāi)、閉運(yùn)算等進(jìn)行圖像處理。2)在去噪的同時(shí)，不僅要濾除噪聲，還要盡可能地減少圖像邊緣、紋理等細(xì)節(jié)信息的破壞。傳統(tǒng)的去噪方法在去噪的同時(shí)會(huì)破壞圖像邊緣、紋理等重要特征，這使得傳統(tǒng)的去噪方法難以維持圖像去噪與邊緣保持之間的平衡[3]。近些年發(fā)展起來(lái)的基于偏微分方程的圖像去噪方法能夠良好地兼顧噪聲去除和邊緣保持，較好地解決了這一問(wèn)題[4]。同時(shí)，基于偏微分方程(PDE)對(duì)于圖像邊緣特征提取具有良好的控制效果，可以同時(shí)完成多個(gè)圖像處理任務(wù)，比如同時(shí)進(jìn)行濾波和修復(fù)，由于其靈活的拓?fù)鋵W(xué)結(jié)構(gòu)、廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域而漸漸受到人們的重視[5]。本文基于PDE的圖像去噪方法理論，分析了四種基于PDE的圖像去噪模型，即選擇平滑擴(kuò)散模型、各向異性擴(kuò)散模型、全變差模型和四階偏微分方程模型。利用MATLAB軟件進(jìn)行圖像去噪實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及仿真，根據(jù)圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)SN對(duì)四種方程模型進(jìn)行去噪效果評(píng)價(jià)。

1 相關(guān)理論概述

1.1 圖像噪聲概述

本文主要研究加性噪聲，加性噪聲圖像的數(shù)學(xué)模型[6]可以表示為

u(x,y)=u0(x,y)+n(x,y),

(1)

其中，u0(x,y)為原始圖像，u(x,y)為與u0(x,y)相同場(chǎng)景的觀察圖像，即退化圖像，n(x,y)是均值為0、方差為σ2的噪聲項(xiàng)。

圖像恢復(fù)問(wèn)題就是從已知圖像u(x,y)得到恢復(fù)圖像u0(x,y)。其中，高斯噪聲的概率密度服從高斯分布。高斯分布，也稱正態(tài)分布，又稱常態(tài)分布，記為N(μ,σ2)，其中，μ,σ2為分布的參數(shù)，分別為高斯分布的期望和方差。當(dāng)有確定值時(shí)，p(x)也就確定了，特別地，當(dāng)u=0,σ2=1時(shí)，X的分布為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。

偏微分方程的去噪模型主要由兩種方式導(dǎo)出，一種為從高斯平滑算子導(dǎo)出的偏微分方程，即熱傳導(dǎo)方程，由高斯濾波方程u(x,y,t)=G(x,y,t)×I(x,y)導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程：

?tu=?2u,u(x,y,0)=I(x,y).

(2)

另一種是由變分方法導(dǎo)出的偏微分方程，將圖像去噪問(wèn)題轉(zhuǎn)化成泛函求極值問(wèn)題。

首先，建立泛函及其約束條件：

(3)

(4)

(5)

其次，通過(guò)泛函變分，由泛函的極值條件求得歐拉/拉格朗日方程：

?2u-λ(u-I)=0.

(6)

最后，在邊界條件下求解，即將最小化問(wèn)題視為如下演化方程(梯度下降流)的穩(wěn)態(tài)解：

?tu=?2u-λ(u-I)，

(7)

u(x,y,0)=I(x,y).

(8)

1.2 四種基于PDE的圖像去噪模型

1.2.1 選擇平滑擴(kuò)散模型

1992年，Catte等人在P-M模型的基礎(chǔ)上，對(duì)梯度模進(jìn)行正則化處理，得到更穩(wěn)定的P-M模型[7]：

(9)

該模型用更平滑的Gσ×?u代替P-M模型中的?u，Gσ為高斯核函數(shù)，該式稱為正則化P-M模型，相對(duì)于P-M模型而言具有以下優(yōu)點(diǎn)：更有效地去除了圖像中的大梯度噪聲點(diǎn)。噪聲點(diǎn)的梯度較大，擴(kuò)散系數(shù)較小，與P-M模型比較，該模型先對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理，一定程度上減小了噪聲的影響，避免了噪聲在邊緣區(qū)域過(guò)分?jǐn)U散。

1.2.2 各項(xiàng)異性擴(kuò)散模型

1992年，Alvarez基于Catte模型的不足提出了“平均曲率流”各向異性擴(kuò)散模型[8]：

(10)

其中，水平集曲線的曲率可表示為

(11)

其中，u(x,y,0)=u0(x,y)，t∈[0,T]。Gσ(x,y,t)為高斯平滑核，Gσ×?u為梯度?u的局部估計(jì)值，g(s)為非增函數(shù)。且s→∞時(shí)，g(s)傾向于0，當(dāng)g(s)=1/s且σ=0時(shí)，得到一種極限情況：

(12)

該極限非常重要，因?yàn)樗慕饩哂忻黠@的幾何解釋，實(shí)際上，該方程對(duì)應(yīng)下述能量函數(shù)的最小化：

(13)

(14)

其中，u(x,y,0)=u0(x,y)，t∈[0,T]。

1.2.3 全變差模型

(15)

通過(guò)拉格朗日乘數(shù)法將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的最小化問(wèn)題，并且證明了該問(wèn)題解的適定性：

(16)

(17)

ut=g(|?u|)uTT-λ(u-u0).

(18)

1.2.4 四階偏微分方程模型

MAVEH等在2000年提出如下四階偏微分方程[10]：

(19)

此方程基于下面的能量泛函：

(20)

其歐拉方程為

?2[c(?2u)?2u]=0,

(21)

其中，c(·)與φ(·)滿足的條件與P-M模型一致。

1.3 去噪模型構(gòu)建與質(zhì)量評(píng)價(jià)

1.3.1 四種去噪模型的算法設(shè)計(jì)

用MATLAB進(jìn)行仿真時(shí)，需要先判斷smooth_diffusion、directional_diffusion、TV_denoise和order4_diffusion算法中的變量是否已經(jīng)存在。如果存在，就不再賦值；如果不存在，則需要賦值。以PM1為統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算歸一化g(·)的參數(shù)k,a。對(duì)四種偏微分方程模型的圖像去噪算法進(jìn)行設(shè)計(jì)。

1)選擇平滑擴(kuò)散模型圖像去噪算法設(shè)計(jì)，其迭代公式為

我國(guó)對(duì)美國(guó)出口的木質(zhì)坐具和其他家具無(wú)論金額和數(shù)量在今年上半年還是保持著一定的增幅，木質(zhì)坐具的出口金額增幅大于其他家具的出口金額增幅。可以看出今年北美木材的漲價(jià)對(duì)我國(guó)對(duì)美國(guó)家具出口中使用定制木材較多的臥室家具、辦公家具、廚房家具等的影響大于木坐具。中美貿(mào)易摩擦由于增加關(guān)稅還需要一段時(shí)間，今年上半年對(duì)我國(guó)向美國(guó)的家具出口影響不大，上半年不少家具出口企業(yè)抓緊完成美國(guó)訂單，對(duì)于其他國(guó)家的訂單先緩一緩，爭(zhēng)取在中美貿(mào)易戰(zhàn)爆發(fā)前盡快將美國(guó)訂單先運(yùn)到美國(guó)，而且今年人民幣對(duì)美元匯率的一直走弱對(duì)我國(guó)向美國(guó)的家具出口還是有很大的促進(jìn)作用(見(jiàn)表2)。

It+1=It+λ(cNx,y?N(It)+cSx,y?S(It)+cEx,y?E(It)+cWx,y?W(It)).

首先計(jì)算(N,S,E,W)四個(gè)方向的梯度：?N(Ix,y)=Ix,y-1-Ix,y，?S(Ix,y)=Ix,y+1-Ix,y，?E(Ix,y)=Ix-1,y-Ix,y，

1.3.2 圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文采用信噪比SN和結(jié)構(gòu)相似度SM作為圖像去噪評(píng)價(jià)指標(biāo)。信噪比(反映圖像提供的信息量與所含噪聲的比值)越高，或結(jié)構(gòu)相似度越高，則表示圖像質(zhì)量越好，噪聲越少。表達(dá)式如下：

(22)

SM(u,u0)=L(u,u0)×C(u,u0)×S(u,u0),

(23)

(24)

2 仿真結(jié)果與分析

2.1 圖像加噪處理

為了比較四種偏微分方程圖像去噪技術(shù)的去噪效果，本文以scenery圖像為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行仿真程序編寫(xiě)，給圖像加入均值為0，方差分別為5、15和30的高斯噪聲。圖像去噪實(shí)驗(yàn)在相同的實(shí)驗(yàn)環(huán)境進(jìn)行，計(jì)算機(jī)配置：Inter?CoreTMi7-12800 H處理器，內(nèi)存DDR4 16 G，顯卡CT540M 4 G，軟件MATLAB 2016b。當(dāng)高斯均值為0、方差為15時(shí)加噪效果如圖1所示。

(a)原始圖像

(b)加噪圖像(σ=15)圖1 加噪圖像與原始圖像對(duì)比

2.2 圖像去噪效果主觀評(píng)價(jià)

為了比較不同去噪模型的去噪視覺(jué)效果與圖像恢復(fù)細(xì)節(jié)情況，本文以σ=15時(shí)的scenery圖像為例進(jìn)行深入分析，效果圖見(jiàn)圖2。當(dāng)高斯噪聲的方差σ=15時(shí)，圖像出現(xiàn)較為明顯的灰白點(diǎn)，由于方差數(shù)值較小，圖像沒(méi)有出現(xiàn)明顯的模糊或圖像破壞情況，見(jiàn)圖1(b)。對(duì)比加噪后效果圖，通過(guò)四種去噪模型處理后的圖像，噪聲效果處理非常明顯，噪聲白點(diǎn)基本消失，整體視覺(jué)效果較好，見(jiàn)圖2。但選擇平滑擴(kuò)散模型有效地避免了在邊緣區(qū)域的過(guò)分?jǐn)U散導(dǎo)致圖像邊緣的紋理保留較少情況，圖像趨于模糊狀態(tài)，見(jiàn)圖2(a)；而各向異性擴(kuò)散模型在灰度變化不大的地方更加光滑，而在圖像的邊緣點(diǎn)上，梯度圖像的擴(kuò)散速度較小，圖像邊緣能夠得以保持，該模型對(duì)孤立噪點(diǎn)的去除也有較好的效果，見(jiàn)圖2(b)；全變差模型不僅有效地去除了噪聲，同時(shí)邊緣特征也得以保持，在未添加fedality term處理時(shí)容易出現(xiàn)“塊狀”效應(yīng)。對(duì)比圖2(c)和圖2(d)可以明顯看出，fedality term能有效處理圖像的“塊狀”效應(yīng)，圖像中的天空上白云邊緣紋理更接近原圖，見(jiàn)圖1(a)；四階偏微分方程模型在噪聲去除方面能夠得到較好的效果，但是該模型對(duì)高頻成分敏感，容易破壞圖像的紋理信息[11]。從圖2(e)看出，圖像中出現(xiàn)“閃點(diǎn)”情況，通過(guò)中值濾波可以有效去除去噪后留下的“閃點(diǎn)”紋理，見(jiàn)圖2(f)。

(a)選擇平滑擴(kuò)散模型

(b)各向異性擴(kuò)散模型

(c)無(wú)fedality term的全變差模型

(d)含fedality term的全變差模型

(e)四階偏微分方程模型

(f)四階偏微分方程模型+中值濾波圖2 不同去噪模型去噪效果圖(σ=15)

2.3 圖像去噪效果客觀評(píng)價(jià)

為了客觀評(píng)價(jià)不同模型圖像去噪效果，分別使用SN和SM圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)去噪處理后的圖像進(jìn)行分析，結(jié)果如表1所示。隨著高斯噪聲方差值的升高，各個(gè)模型的去噪效果降低。當(dāng)方差σ=5時(shí)，各模型的去噪效果最好，其中，選擇平滑擴(kuò)散模型去噪仿真結(jié)果SN=16.230 4；各向異性擴(kuò)散模型去噪結(jié)果SN=19.790 3；用全變差模型去噪時(shí)，若該模型無(wú)fedality term，該模型的去噪結(jié)果SN=22.221 7。若該模型有fedality term，該模型的去噪結(jié)果SN=21.874 1。四階偏微分方程模型去噪結(jié)果SN=19.189 2。再對(duì)處理后的圖片進(jìn)行中值濾波，去除圖片中的閃點(diǎn)，SN值有所上升。整體而言，全變差模型的SM值最高能達(dá)到0.943 5，其次為各項(xiàng)異性擴(kuò)散模型和四階偏微分方程模型，去噪效果最差為選擇平滑擴(kuò)散模型。綜上所述，使用圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)客觀評(píng)價(jià)結(jié)果與主觀視覺(jué)效果評(píng)價(jià)結(jié)果一致。

表1 不同去噪模型去噪效果客觀評(píng)價(jià)結(jié)果

此外，為了綜合評(píng)價(jià)不同去噪模型的時(shí)效性，對(duì)四種模型的平均運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如表2所示。全變差模型的運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)，但在可接受范圍之內(nèi)；其次為四階偏微分方程模型和各向異性擴(kuò)散模型；選擇平滑擴(kuò)散模型運(yùn)行時(shí)間最短，但去除高斯噪聲效果較差。所以，綜合四種去噪模型的去噪圖像質(zhì)量與時(shí)效性，全變差模型具有比較明顯的優(yōu)勢(shì)。

表2 不同去噪模型運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

3 結(jié)語(yǔ)

降低圖像在采集、傳輸和存儲(chǔ)過(guò)程所造成的污染度從而得到清晰圖像是圖像處理技術(shù)的重要部分。圖像去噪就是對(duì)受污染的圖像進(jìn)行優(yōu)化處理，改善圖像質(zhì)量而滿足實(shí)際應(yīng)用需求。本文通過(guò)MATLAB軟件仿真對(duì)選擇平滑擴(kuò)散模型、各向異性擴(kuò)散模型、全變差模型和四階偏微分方程模型進(jìn)行去噪效果評(píng)價(jià)。按去噪處理后圖像SN值從大到小進(jìn)行排序?yàn)槿儾钅Ｐ?、各向異性擴(kuò)散模型、四階偏微方程模型、選擇平滑擴(kuò)散模型。