數學素養與工科數學教學
——基于碩士研究生招生考試的視角

高彥偉，孫寶鳳

(吉林大學，吉林 長春 130012)

全國碩士研究生招生數學科考試試卷數學(一)(二)是為招收工學不同專業和類型碩士研究生而設置的常模參照性考試，同時也是水平考試，其主要目的是利于國家對高層次人才的選拔，利于高等學校數學課程教學質量的提高[1]。數學是考生普遍感覺到比較困難的考試科目，在初試總分值中又占較高比例，所以受到考生的高度重視，但從近三年考試的情況看，數學初試成績國家分數線在51～60分之間，維持在較低水平，一定程度上反映了多數考生與選拔標準的距離。數學作為培養創新精神和創新思維的重要學科，決定了數學素養在人才知識結構中的地位。考試試題通過對數學思想與思維、數學運算與方法等數學核心素養和關鍵能力的重點考查，發揮了選拔工學高層次人才的功能，同時作為一種全國性的標準為本科教學提供了許多信息，產生了巨大的影響。許多數學教師將數學試題作為教學活動的重要參考和教學資料的重要來源，這對保障高等學校數學課程教學水平、防止教學質量滑坡、豐富數學課程教學資源等具有積極作用，也促使大學數學教師深化對數學教育功能的認識，思考在知識傳授和素養培養方面存在的問題，切實將數學核心素養的培養貫穿于本科階段的教學過程。

1 工程人才應具有的數學素養

蔡金法[2]認為“數學素養是與閱讀素養相當的、每個人都應該有權擁有的”。數學素養應該是人的一種思維習慣，人們能夠主動、自然、嫻熟地用數學進行交流，建立數學模型解決問題；能夠啟動智能計算的思維，擁有數學情感，做一個會表述、有思想的和諧的人。蔡金法通過比較和總結，指出“從數學學科角度看，數學交流、數學建模、數學智能計算思維、數學情感能刻畫出滿足培養目標的人才所擁有的素養”。孫宏安[3]在剖析學科素養的建構過程時，把數學素養表述為“學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的數學領域的必備品格和關鍵能力，其中，必備品格包括數學知識、數學應用意識、數據意識、計算意識、科學態度和數學價值觀；關鍵能力包括空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力、數據能力、數學抽象、表達、交流和建模能力”。張奠宙[4]對“數學核心素養”進行了評述，指出自2016年以來，學界對數學核心素養的界定已大體有定論，即包含數學思維方式、數學關鍵能力以及通過數學活動進行人格養成等三部分，其中數學關鍵能力包括六個方面，即數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學抽象、數學建模、數據分析。這反映了數十年來我國對數學教育目標的共識，同時認為將數學抽象改作算法設計更適合當前信息時代的要求。從以上這些具有代表性的觀點可以看出，現今對數學核心素養的認識除個別表述有些差異之外，對當前信息技術時代數學核心素養主要成分的認識基本是一致的，即主要包括數學的思想與思維、數學的意識、數學語言與交流、數學建模、科學計算思維與方法、數據分析、數學情感與價值等。這對數學教育的目標與實踐教學活動具有指導性意義，指明了數學教育的方向和數學教學改革所應遵循的教學要求。

工科數學教學是針對工程專業人才數學素養培養的具體教學活動，工程專業學生應具有數學核心素養，在大學階段更應重視“數學技術”應用能力的養成。工程專業的本質特點是實踐性，因此工科數學最為核心的素養成分就要體現出實踐性，具體表現為數學建模能力和科學計算思維與能力。而大型科學計算或大數據背景下的數據分析需要借助計算機，用專門語言進行建模和程序設計都對學生提出更高的要求。這越來越成為工程專業學業要求的重要內容，也是工科數學教學的發展趨勢和重點與難點。可見，工科數學教學更應突出關鍵能力，即數據分析、數學建模和智能計算思維與方法的運用，讓學生學會“用數學的眼睛看，用數學的思維想，用數學的語言說”，還可以用數學的方法解[5]。

2 圍繞重點知識考查能力素養

作為選拔性考試，碩士研究生數學科目考試圍繞數學核心素養進行能力考查，在試卷中體現了數學素養的基本要素，能夠在統一標準下比較客觀地考查考生的數學知識與素養水平。

2.1 數學語言和數學表達

在每年的工科數學試卷中，都有對數學語言和符號表達能力考查的試題，具有較高的區分度和對能力水平的辨識度，主要圍繞基本概念，將數學語言表達和基礎知識結合在一起進行考查。

例1(2020年數學(一)試卷第3題)

例1考查二元函數在一點處全微分的概念與計算，與教材中對全微分的定義形式存在很大區別，是將定義形式與向量的運算結合起來，要求考生在理解全微分概念的基礎上，能夠利用向量的積運算表述二元函數全微分的定義。運用數學符號和數學語言描述問題是數學的核心素養培養之前提，是對學生基本能力的考查，也對學生提出了較高的要求。

2.2 轉化思維和形式構造

數學方法主要體現在抽象、構造和轉化能力方面。一般地，當直接解決具有難度的問題時，需要將問題的形式進行重新構造和轉化，從而達到易于解決問題的目的。

例2(2019年數學(一)試卷第17題)

求曲線y=e-xsinx(x≥0)與x軸之間圖形的面積。

(2019年數學(二)試卷第19題)

例2主要考查定積分的幾何應用，在數學(一)試卷中，僅要求x≥0。而在數學(二)試卷中，根據《碩士研究生招生考試數學考試大綱》對內容和要求的規定，體現了對學生能力要求的差異，對難度做了必要的降低和提示。此題將連續性問題和離散性問題結合起來，對考生分析問題、轉化問題及計算能力有較高的要求，對學生的數學思維進行了考查，具有很強的綜合性。

2.3 結構不良和嚴謹性思維

數學問題的“結構不良問題”主要表現為條件缺失或冗余，問題目標界定不明確或具有多種解決方法與途徑等。處理結構不良問題，體現了數學學科的嚴謹性和準確性，是對考生嚴謹性數學思維的重要考查，具有開放性和區分度。

例3(2020年數學(一)試卷第18題)

例3是結構不良問題，能夠集中反映考生學習數學過程中存在的問題，即從純粹應試的角度處理問題，不注重數學結論成立的條件，當問題的條件發生變化時沒有識別能力，更不具備轉化能力。多數考生忽視被積函數不具備高斯公式的適用條件，最后導出三重積分后無法處理，因計算困難而放棄，這反映了學生對數學公式理解和計算的能力比較薄弱。

例4 (2022年數學(二)第3題)

設函數f(x)在x=x0處具有二階導數，則

A．當f(x)在x0的某鄰域內單調增加時，f′(x0)>0；

B．當f(x)在x0的某鄰域內是凹函數時，f″(x0)>0；

C．當f′(x0)>0時，f(x)在x0的某鄰域內單調增加；

D．當f″(x0)>0時，f(x)在x0的某鄰域內是凹函數。

本類問題在歷年考試中都有體現，主要考查條件對結論是否充分，考試結果反映出考生基礎知識掌握不牢固、思維不夠嚴謹的特點。

2.4 抽象思維和幾何直觀

抽象思維、形象思維和邏輯思維作為最基本的思維形式是一切方法的根源，方法是這一系列思維形式的具體體現，但在具體運用層面，這三種思維形式又被應用于不同的層面而具有差別[6]。

例5 (2016年數學(二)試卷第5題)

A.f1(x)≤f2(x)≤g(x)； B.f2(x)≤f1(x)≤g(x)；

C.f1(x)≤g(x)≤f2(x)； D.f2(x)≤g(x)≤f1(x)。

本題構造巧妙，強調知識點的內涵和幾何直觀性，如果用演繹推理進行求證會比較困難，而利用圖形則可以直接選出正確選項。數形結合問題的考查在近幾年線性代數的試題中多次出現。

例6(2020年數學(一)試卷第6題)

i=1,2,3，則

A．α1可由α2,α3線性表示； B．α2可由α1,α3線性表示；

C．α3可由α1,α2線性表示； D．α1,α2,α3線性無關。

這是一個具有幾何背景的代數問題，代數方法是研究空間圖形的有力工具，體現了數與形的關系。此類題目對考生的抽象思維能力和理解能力提出較高的要求。

2.5 邏輯推理與辯證思維

例7(2022年數學(一)試卷第20題；數學(二)試卷第21題)

這是一道利用泰勒公式研究函數性質的試題，要求考生根據題設條件，通過邏輯推理和思考研究函數的性質，考生普遍反映對此題感到無從下手。由于考生在學習中習慣于套路化，利用思維定式來解題，反而忽視微分中值定理的理論意義和實踐意義。當題目與常規性試題不同時，則顯露出學生邏輯推理和辯證思維能力的欠缺。

2.6 數學建模與實際應用

例8(2016年數學(二)試卷第13題)

已知動點P在曲線y=x3上運動，記坐標原點與點P間的距離為l。若點P的橫坐標對時間的變化率為常數v0，則當點P運動到點(1,1)時，求l對時間的變化率。

例9(2020年數學(一)試卷第23題)

設某種元件的使用壽命T的分布函數為

其中θ,m為參數且大于零。

(1)求概率P{T>t}與P{T>s+t|T>s}，其中s>0,t>0；

例8是微積分的物理應用問題，例9是從實際應用背景角度考查數理統計學中參數估計的問題。微積分的誕生主要來源于解決物理問題，概率論與數理統計與許多工學專業有緊密聯系，在其它學科中應用廣泛，具有很強的技術性，是大數據分析的重要數學分支。試題規格適度，難度適中，強化了學生對數學技術性的認知和重視。

2.7 數學變式與創新思維

例10(2022年數學(一)試卷第22題)

此題脫離了本科教材的范圍，是一種變式題，但仍屬于考試大綱所要求的內容范圍，強調對知識的深刻理解與靈活應用。數學變式教學是我國數學教育的一個重要特色。當面對新穎的問題時，考生應根據所學的數學基礎知識創造性地對問題進行分析與處理。

3 工科數學教學的幾點啟示

堅持選拔標準，是選拔高層次人才的生命線。標準不是由考生決定的，而是由科技發展的新形勢、國家戰略發展規劃和學科發展狀況等綜合因素決定的。根據碩士研究生招生數學科考試情況所反饋的信息，堅持選拔標準，需要教師省思教學中的問題，考生省思學習中的問題，促進教學與學習整體水平的提高。

3.1 遵循教學規律，摒棄異化教學

學校教學過程具有較為復雜的因果關系。對絕大多數學生而言，數學學習完全靠自學和自悟的難度極大，需要教師的引領。教學指導委員會根據學科發展和社會需要制定教學目標和教學要求，教師根據教學目標通過教學活動實現數學教育的功能，既有單向也有雙向的教學活動。教學活動圍繞教學目標進行，一切教學模式都是為了取得好的學習結果。任何一位優秀的數學教師都清楚，學生的成功不僅取決于教師教給他們什么，還取決于教師如何教會他們。也就是說，在目前情況下，學生主要的數學知識來自于教師。如果由教學活動決定教學目標和學生學習，則這種教學活動是有害的。許多學校基于學生的基礎，大幅降低數學課程的學時和難度，這是一種客觀存在的現象，但必須加以干預和控制，直至避免這種情形的出現。

根據對某省會城市2019—2021年理工類考生進行抽樣調查獲得的740名學生的數學成績，并結合考生復習備考與本科階段教學情況綜合進行分析，分數的統計規律性十分顯著，其分數主要與三個因素有很強的相關性：一是目標學校；二是考生本科階段的基礎，與學校的課程設置、教學時數和教學難度有關；三是學習習慣、思維能力和自我控制力有關。存在的問題表現為：忽視數學素養水平的提升，急于求成；數學思維能力、計算能力較弱；容易受到外界因素的干擾和誤導。部分考生通過參加課外輔導或從網絡上獲取教學資源，但這些教學資源良莠不齊。一些教學資源所體現的教學理念和教學方式存在很大弊端，受利益驅使，為了迎合一些考生急功近利的心理，教學中缺乏科學的教學標準，也缺少必要的監管，是一種異化的教學形式，必須加以摒棄，否則就是對考試走向和教學質量的挑戰。

3.2 堅持教學標準，保證教學質量

從考試情況來看，本科階段數學教學存在問題所帶來的后果也顯現出來。首先，學業要求標準降低。一些高校根據辦學層次和學生情況，為使學生能夠順利畢業，在本科階段降低學業標準，降低難度要求，大量縮減課時，變相造成學生基礎知識不扎實，失去競爭力。根據調研，國家重點高校基于人才培養戰略和科技發展與競爭的新情況采用分班制對學生進行分流培養，設置一些特色班。特色班越來越重視基礎學科教學，不僅增加教學學時，而且將公共數學基礎課放在更加重要的位置；普通班級則仍處于“放水”狀態，從某種程度上講，這是一種有悖于“有教無類”、不公平的教育形態。其次，缺乏對素養的深刻認識。工科數學基礎課程通常包括微積分、線性代數、概率論與數理統計。各工程專業根據需要還開設了相關課程，主要有復變函數與積分變換、數學物理方程、計算數學、泛函分析、矩陣論和應用統計學等。這些課程的設置從基礎理論到實踐研究形成了較為完整的體系。從現行教材和教學來看，傳統的數學教學過分強調對數學定義、規則和程序的記憶，學生對數學原理的掌握比較扎實，但缺乏數學情感，甚至產生厭惡情緒。教師開展教學活動時只關注常規問題的解決，忽視自身素養的提升，缺乏對數學素養在人才素養中重要地位與作用的認識，未能從數學文化、數學情感、數學思想、數學思維與方法、數學的技術性整體上構建教學內容。最后，缺乏綜合性教學設計。工科數學教學要處理好理論與應用的關系、核心素養與社會需要的關系，在教學設計上采用多種素材、資源、手段進行綜合性教學活動設計，以工程專業學生應具有的數學核心素養為導向，將原理教學和實踐教學統一起來，促進學生的數學思維、推理和運用數學技術的實踐能力的發展。

學校教育是學生能力培養的關鍵環節，學校教學標準的高低直接影響選拔標準和選拔結果。面對科技競爭、大國博弈和國家發展的戰略需求，只有堅持標準，一如既往地發揮好選拔功能，才能保證培養質量，起到示范引領作用。

3.3 突出素養培養，注重思維訓練

數學具有自身發展的軌跡和脈絡，有自身鮮明的語言和方式，體現于思維能力素養塑造和源于經驗并解決實際問題的能力。熟悉并會運用數學語言描述問題，是學好數學的前提，是數學思想和思維的具化。沒有數學思想和思維的教學是沒有靈魂的教學，自然就不能抓住數學的本質，也就難以正確地解決具體問題。開展富有成效的教學工作，需要稚化思維，與學生平行，分析學生在知識學習過程中遇到的思維障礙，指導學生如何思考、突破難點。對于具有高度抽象性的數學概念和定理更應如此，引領學生進行學習，先分析學習過程中思維出現問題的原因，消除思維上的障礙，弄清因果關系，這對訓練學生的數學思維能力是十分有益的。由于概念的抽象性，可以利用物理背景、問題的原始認知或是通過幾何直觀性進行教學，通過習題練習訓練學生的邏輯推理、抽象思維和辯證思維能力。

3.4 研究測驗方法，進行科學評價

聚焦核心素養，考查關鍵能力是貫穿于中考、高考、碩士研究生招生數學命題的顯著特點，現在已形成數學考試的完整體系，并成為一些大型企業、公司招聘面試的重要內容。數學素養具有多維結構，呈現多種形態的信息，素養導向的數學學業成就測評是數學課程改革面臨的核心問題[7]。慕課、混合式教學等新興教學模式的廣泛使用，也必然涉及新的測評技術和標準。學習者獲取學習資源的路徑和方式被拓寬，自適應學習也備受關注和使用，人工智能技術在教育測評領域和學習領域得到越來越廣泛的應用[8]。考試測量不管是基于哪種理論，采用的方法多為統計學方法。統計學方法雖然能反映出變量之間的關聯程度，但只是面對試驗數據的結果、結構得出相關性，不能反映背后的因果關系。數學素養培養過程受個體心理因素、情志因素、學習習慣等不確定因素影響很大，如果對這些因素加以干預，對學習結果亦會產生較大影響，可是一些因素又很難進行量化描述，因此研究測驗方法，特別是能反映過程和糾偏的智能化評價方法對科學評價數學素養水平尤為重要。

4 結語

現代科學技術的研究往往需要多學科、多專業協同進行。深度學習、協同學習、融合教學、融合研究、協同發展，已經成為提升人才質量的關鍵因素和重要途徑。新工科教育理念重新定位了高等工程技術人才的培養目標，提升了對學習者學業和能力的要求[9]。碩士研究生招生考試數學試卷很好地體現了對考生掌握基本概念、基本原理、基本方法的情況以及其應用能力等方面的考查，但也應該注意到數學考試畢竟是常模參照考試，難以在有限時間內對更具廣度與深度問題的研究能力進行評價，因此建議將常模參照考試和日常教學協同起來，挖掘數學思想史所蘊含的豐富的數學哲學思想和思想政治教育資源[10]，從數學思想、數學關鍵能力、數學價值與人格養成等方面進行數學素養的深度培育，架起數學與科技創新的橋梁。