模型建構：從無到有的嬗變
——以微專題“構造‘手拉手’模型求最值”為例*

趙 軍 (江蘇省太倉市實驗中學，太倉市趙軍名師工作室 215400)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》在核心素養的主要表現及其內涵中，要求初中階段的模型觀念應具備：對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識，知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑；初步感知數學建模的基本過程，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義[1].在解題過程中，合理的模型建構能夠幫助我們對問題進行高效的轉化，在平時學習過程中如果多留意歸納積累數學基本模型，并理解其內涵本質，關鍵時刻可以巧建模型，從容應對.事實證明，合理的模型建構往往能大幅度提高解題的效率，提升數學素養，達到化難為易的目的.筆者嘗試以建構“手拉手”等邊三角形(共頂點等邊三角形)和“手拉手”等腰直角三角形(共頂點等腰直角三角形)解題為例，對一類求最值問題進行專題剖析，以期與同仁交流與分享.

1 課堂實錄與點評

師：同學們，首先我們來一起回顧課本上的一個基本模型——“手拉手”等邊三角形，請大家先看原題.

1.1 原題再現

(蘇科版教材八年級上冊第67頁第10題)如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，點A，C，E在一條直線上，AD與BE相等嗎？為什么？

圖1

生1：相等，借助等邊三角形的性質，運用“SAS”證明△ACD≌△BCE即可.

師(追問)：若將△ACD繞點C順時針旋轉(如圖2)或逆時針旋轉(如圖3)，AD與BE還相等嗎？

圖2 圖3

生2：相等.證明方法仍然是用“SAS”證全等，只不過圖2中的∠ACD=∠BCE是“同加”得到的，圖3中的∠ACD=∠BCE是“同減”得到的.

師：很好！這是一個基本的數學模型，由于兩個等邊三角形共頂點，我們把它稱之為“手拉手”等邊三角形模型.下面我們一起來看看這個模型在求最值問題中的應用.

設計意圖從課本原題出發，通過適當的旋轉，帶領學生體會“形變法不變”的思路，歸納出“手拉手”模型的結論，為后續建構模型和運用模型作好鋪墊,同時也凸顯了課本習題作為“題根”的價值.

1.2 若隱若現

問題1如圖4，等邊三角形ABC的邊長為6，l是AC邊上的高BF所在的直線，點D為直線l上的一動點，連結AD并將AD繞點A逆時針旋轉60°至AE，連結EF，則EF的最小值為.

圖4

師：同學們，隨著點D的運動，點E隨之而變化，導致EF的長度也在變化，如何確定EF的最小值呢？

生3：若連結DE，作直線CE，則圖4屬于圖3中的“手拉手”等邊三角形模型，并有△ABD≌△ACE.

師(追問)：這個全等有什么作用呢？

生4：由全等可以得到∠ABD=∠ACE=30°，結合∠ACB=60°可得BC⊥CE.

師(再追問)：太牛了！借助“手拉手”等邊三角形模型，我們發現點E運動的軌跡是什么呢？

生4：點E在過點C且垂直于BC的直線上運動.

師：那什么時候EF最小呢？

師：太棒了！

設計意圖通過教者適時的引導，“手拉手”等邊三角形模型自然浮出水面，在探究出點E運動軌跡的基礎上，將最值問題轉化為點到直線距離最短問題，體現了對該模型的挖掘與應用.

1.3 模型重現

問題2如圖5，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點P是邊AD的中點，點E為邊CD上的一個動點，連結PE，以PE為邊向下方作等邊△PEG，連結AG，則AG的最小值是.

圖5 圖6

師：同學們，我們該如何對AG進行轉化？

生5(若有所思地)：以AP為一邊構造等邊三角形，利用“手拉手”等邊三角形模型對AG進行轉化.

師(追問)：請具體一點.

生6(激動地)：如圖6，在AP的下方作等邊△APF，連結EF，則△APG≌△FPE(SAS)，所以AG=FE，因此求AG的最小值就是求FE的最小值.

師：分析得很到位！那如何求FE的最小值呢？

生6：由于點E為邊CD上的一個動點，所以問題轉化為點F到CD的距離FM(如圖6).

師(追問)：很好！那么怎么求FM呢？

設計意圖通過教師巧妙地設問和不斷地追問，在三位學生的接力回答下，將隱形的“手拉手”等邊三角形模型建構得恰到好處，把求AG最小值的問題不斷轉化，步步深入，達到了化難為易的效果.

問題3如圖7，△ABC是等邊三角形，E，F分別是經過點B的直線l上的兩點(E，F位于點B的異側)，連結AE，CF.若BE=2，BF=4，則AE+CF的最小值為.

圖7

師：△ABC是一個邊長不確定的等邊三角形，所以AE和CF的長度隨之而變化，如何通過轉化將這兩個分散且變化的線段進行關聯？

生8：我想再作一個等邊三角形，利用“手拉手”等邊三角形模型對AE和CF中的某條線段進行轉化.

師(追問)：具體如何構造呢？請大家分小組討論.

生9(第1小組代表)：如圖8，我們小組是以BF為邊在直線l的上方作等邊△BFD，則△BCF≌△BAD，所以CF可以轉化為AD，問題即轉化為求AE+AD的最小值，在等邊△ABC變化的過程中點A是動點，點E，D是動點，所以問題可以轉化為“兩點之間，線段最短”，即其最小值為DE的長.

圖8

師(追問)：很好！那又如何求DE呢？

師：還有不同意見嗎？

圖9

師：說得真好！這兩組同學完成得都很棒！那么比較一下，這兩種構造有何異同呢？

……

設計意圖第一小組學生以線段AE不動，構造“手拉手”等邊三角形模型去轉化CF，第二小組學生以線段CF不動，構造“手拉手”等邊三角形模型去轉化AE，兩種構造思路有異曲同工之妙！無論是哪一種構造，本質上都是將兩條線段轉化至首尾相連，以“兩點之間，線段最短”解決問題.

1.4 類比重建

問題4如圖，在ABCD中，∠B=45°，M是AB邊的中點，N是BC邊上的一動點，將線段MN繞點M逆時針旋轉90°至MN′，連結N′C，N′D，若BC則N′C+N′D的最小值是.

圖10

師：同學們，在問題3中我們構造的是兩個共頂點的等邊三角形，現在在問題4中，我們又將如何構造呢？請大家分組進行探究.

(幾分鐘之后，教師請各小組代表發言)

生11：求N′C+N′D的最小值的關鍵是對其中某一條線段進行轉化，我們小組研究的意見是連結N′B，將N′C轉化為N′B，最終將最小值轉化為線段BD的長.

師：很好的想法！那怎樣證明N′C=N′B呢？

生12(補充)：如 圖11，因為MN繞點M逆時針旋轉90°至MN′，就相當于△MNN′(連結NN′)為等腰直角三角形，類比前面幾個問題的方法，以點M為直角頂點再構造一個等腰直角△MBE.這樣就構造出兩個共頂點的等腰直角三角形，運用“SAS”得到△MBN≌△MEN′.

圖11

師(追問)：接著是怎樣得到N′C=N′B的？請具體一點.

師：太厲害了！此時N′C+N′D就轉化為N′B+N′D，所以點N′運動的軌跡是什么？

生13：點N′在BC的垂直平分線上運動.

師：真聰明！那最小值怎么求？

師：通過構建等腰直角三角形、轉化線段，再構造直角三角形解決問題，太棒了！

設計意圖“手拉手”模型的建構不僅僅局限于兩個共頂點的等邊三角形，還可以構建共頂點的等腰直角三角形，其構建的靈感來源于45°角的出現.在解決前幾個問題的鋪墊下，教師引導學生展開深入探究，學生在探究過程中努力建模，形成能力，學會解決問題的方法，提升數學素養.

師：通過這節課的探究，大家有哪些感悟與收獲呢？

生15：當出現“手拉手”模型的一只手時，我們要學會構建另一只手.(贏得掌聲)

生16：構建“手拉手”模型源于轉化的需要，當我們“無路可走”時要能主動建模！

……

師：建模相當于“無中生有”，是在已有條件的基礎上重建，需要平時的積淀，更需要銜接技巧和轉化得當.已知一手，巧建另一手，方能大手拉小手，實現撥云見天，柳暗花明！

2 教學反思

2.1 模型建構的基礎始于模型的積累

模型建構的難點在于建，從哪里入手去建模？怎樣建？沒有一定的積累無法完成模型的建構.建模既要充分考慮學生的學習情況，尤其是學生的“最近發展區”，也需要結合題目自身的條件進行分析.一般而言，從條件出發，由“已知想可知”；從結論出發，由“未知想需知”，兩頭往中間推理，查找缺什么.而后缺什么就補什么，此時自身對數學模型的積累顯得尤為重要，關鍵時候要能結合題目聯想到需要的模型.因此，我們可以在每章節學習結束后結合課本內容進行歸納、提煉，平時要善于總結，形成適用的基本模型，歸納出屬于自己的“定理”.可能還有學生會質疑，在建模的過程中，你是怎么想到某種構造方法的？實際上還有另一個解題的關鍵點：運動的軌跡是什么？依據動點的運動路徑可以管窺一二，因為此類問題往往聚焦點的運動而帶動圖形的運動，類似問題1和問題4中尋找點的運動軌跡，以“始動點”在運動初期、運動過程中和運動結束三個時點為基點，分別探尋“從動點”運動的路徑以清晰建模的路徑.

2.2 模型建構的思路源于轉化的內需

模型建構的內需源于解題不暢，需要轉化，如何尋找替換對象是解決問題的關鍵.從問題2到問題4的順利解決不難發現，對于線段的轉化往往依據全等，從全等的條件探尋中你會感受到有建模的需要，通過全等模型的建構能達到轉化的目的，所以建模不是刻意為之，也不是為建模而建模，它是解決問題的內在需要.每當山窮水盡之時，我們可以結合自身數學模型的積累，嘗試通過建模進行轉化，建模得當往往能夠柳暗花明.《義務教育數學課程標準(2022年版)》在課程性質中明確指出，基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構建等，形成數學的結論和方法，幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規律[1].所以建模也是一種對自身階段學習內容的提煉和歸納，更是應用模型解決問題的需要，我們要能將解題需要和模型積累通過分析進行有效的銜接，以達到轉化的目的.

2.3 模型建構的理念凝于認知的高度

模型建構是一種高屋建瓴的高觀念，通過建模可培養學生的學科思維，幫助學生建立模型思想，以增強學生數學學科關鍵能力.模型意識或模型觀念是數學思維的主要表現形式，以數學模型為中心的學習能夠幫助我們提煉學習內容，吸收更多概括化了的基本原理或思想，深思數學學科本質，促進有意義有深度的學習.從問題1中已有的“手拉手”等邊三角形雛形到問題2和問題3中的主動構建“手拉手”等邊三角形，再到問題4中的類比構建“手拉手”等腰直角三角形，4個問題的建模不斷深入，從教學設計和課堂實踐不難發現，數學基本模型的歸納與提煉有利于數學學科知識的建構、學科思維的形成和學科方法的掌握，數學模型的建構能使學生的認知結構梯度上升，從而獲得學習之精髓、學科之價值.作為教師應帶領學生以模型建構為抓手，以問題轉化為目的對數學解題進行深入研究，引領學生學思相融、學以致用，進而提高建模能力、提升數學素養.