借古錢幣文化 培養數據觀念
——2022年徐州中考數學第25題分析*

曹希剛 (江蘇省邳州市八義集初級中學 221300)

疏 嘉 (江蘇省徐州市教育科學研究院 221300)

筆者參與了2022年徐州中考數學第25題的命題和閱卷工作，該題不僅考查學生的數據分析素養，還滲透了中國文化，促使學生對中國傳統文化的傳承和熱愛，貫徹落實教育部明確考試命題注重弘揚中華傳統文化的要求.2022年版課標將數學課程要培養學生的核心素養表述為“三會”，即會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界[1].其中“用數學的語言表達世界”在初中階段的主要表現就包括數據觀念，徐州中考第25題正是反映我們教學要關注培養學生數據觀念的素養.通過總結徐州中考第25題命題前的打磨，以及對閱卷中考生的答題情況進行分析，以期實現一線老師在平時教學中培養學生的數據觀念，探尋傳統文化與數學知識的聯系，提高學生的核心素養.

1 問題呈現

如圖1，下列裝在相同的透明密封盒內的古錢幣，其密封盒上分別標有古錢幣的尺寸及質量，例如：錢幣“文星高照”密封盒上所標“45.4× 2.8 mm，24.4 g”是指該枚古錢幣的直徑為 45.4 mm，厚度為2.8 mm，質量為24.4 g.已知這些古錢幣的材質相同.

圖1

根據圖中信息，解決下列問題.

(1)這5枚古錢幣，所標直徑的平均數是mm，所標厚度的眾數是mm，所標質量的中位數是g；

(2)由于古錢幣無法從密封盒內取出，為判斷密封盒上所標古錢幣的質量是否有錯，桐桐用電子秤測得每枚古錢幣與其密封盒的總質量如下：

名稱文星高照狀元及第鹿鶴同春順風大吉連中三元總質量/g58.758.155.254.355.8

請你應用所學的統計知識，判斷哪枚古錢幣所標的質量與實際質量差異較大，并計算該枚古錢幣的實際質量約為多少克.

2 答案呈現

(1)45.74，2.3，21.7.

(2)因為

名稱文星高照狀元及第鹿鶴同春順風大吉連中三元總質量/g58.758.155.254.355.8盒標質量/g24.424.013.020.021.7盒子質量/g34.334.142.234.334.1

所以“鹿鶴同春”密封盒質量異常，故“鹿鶴同春”所標質量與實際質量差異較大.

注：以其余4枚錢幣的某個密封盒作參考，估算“鹿鶴同春”的實際質量，扣1分.(55.2-34.3=20.9 g或55.2-34.1=21.1 g)

3 命題準備

3.1 古錢幣的成功經驗

我們知道，數據有多種多樣，無論是哪種數據，它的來源與真實性是非常重要的.2021年徐州中考第8題也是研究古錢幣問題：

如圖2，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3∶1，則圓的面積約為正方形面積的( ).

圖2

A.27倍 B.14倍 C.9倍 D.3倍

這是一道選擇題，考查了幾何面積計算，當時本原創題反響很大，受到廣大教師的關注，說明教師對這種蘊含中國文化的題目很感興趣，也能夠幫助學生在一定程度上了解中國傳統文化.所以2022年再次以圓形古錢幣為背景，不僅考查學生數據觀念，而且弘揚中國傳統文化，命題教師正巧也酷愛收藏古錢幣，并且有典型的數據出現錯誤問題(圖3).

圖3

古錢幣放在相同的密封盒內，從鑒定專家給出的數據發現中間的古錢幣太輕，于是預測可能出現數據錯誤，所以就以此為背景，借助“曹沖稱象”的典故，測量數據，滲透統計思想.過程是：先通過測量各個古錢幣的毛重(包括盒子重量和古錢幣)，再利用各個古錢幣的毛重減去各個古錢幣的盒標質量，計算各個密封盒質量，由于前提是“相同的密封盒”，所以很容易發現中間的古錢幣質量是否真的有誤，這樣就形成了統計的調查基本過程，為后續考查學生的數據觀念埋下了伏筆.

3.2 研究數據

通過試做發現，學生很容易想到把密封盒砸開或是打開，所以問題前加上這樣一句話：“由于古錢幣無法從密封盒內取出，為判斷密封盒上所標古錢幣的質量是否有錯.”學生想到相同的密封盒其質量不會有誤，這樣明確了古錢幣的質量是有誤的，考生就有明確目標，需要收集數據，弄清各個古錢幣的毛重，再減去古錢幣盒標質量，通過計算得出密封盒質量，最后對這些數據進行考察，最終判斷中間的古錢幣出現錯誤.這個統計過程就是考生對這些數據不斷進行分析，最后判斷，解決問題，形成結論，最終求出古錢幣的質量.

3.3 統計的基本過程

讓學生計算該枚古錢幣的實際質量約為多少克，考查了學生的數據處理能力，而學生可能會想得太多，利用一些物理知識或是其他的方法來求，與命題者的意圖不符.為解決這種情況發生，于是加上這樣的提示語：“請你應用所學的統計知識，判斷哪枚古錢幣所標的質量與實際質量差異較大，并計算該枚古錢幣的實際質量約為多少克.”這樣就大大降低了學生走彎路的可能性.古錢幣盒標質量出現問題，這是以真實的問題，形成了統計調查問題，出現問題就要通過測量，得出數據，通過分析數據，對結果進行解釋，從而解決問題.在這一過程中，對數據的分析也不是一蹴而就的，而是循環往復的過程，需要不斷地補充數據，不斷對數據進行收集、分析再收集再分析，最終解決問題，就像鮑建生教授對統計的基本過程用圖4的方式進行解讀，更具有說服力.

圖4

4 發現問題

閱卷工作結束后，據統計：2022年徐州中考第25題共7分，均分為4.24分，難度系數0.6.在命題時考慮學生會出現的錯誤，在閱卷中發現不少，如有的考生沒有用統計的知識解決問題，有的考生對數據不會分析，有的考生對數據處理前后矛盾，具體分為以下幾種情況.

4.1 讀不懂數據、數據處理錯誤

考生對數據過于敏感，看到數據感到無從下手，有恐慌之感.有的考生看到錢幣“文星高照”密封盒上所標“45.4×2.8 mm，24.4 g”，不明白到底是什么意思，對數據不會分析，更不知道其意義，這是丟分的主要原因.還有的學生出現簡單的計算錯誤，如由于小數點沒有對齊，在求平均數時出現錯誤.細節決定成敗，這些都是失分的最重要的原因.種種小細節說明，一道題往往考查學生的多種能力，“數學核心素養”不是孤立存在的，而是互相融合的.運算素養還需要加強培養，做題態度也要端正，不能出現字跡潦草且寫錯別字，如“鹿鶴同春”寫成“鹿春同行”，還有些學生漏掉單位，書寫不規范，語言沒有條理，等等.

4.2 沒用統計的知識解決問題

考生沒有審清題意，題目規定是利用學過的統計知識進行規范答題，但學生讀題不仔細，直接利用相似知識點或是用物理知識來做題，最后發現解決不了問題.也許這些學生看到古錢幣的實際質量就想到物理學知識，這些恰恰說明學生統計觀念淡泊，看到一些數據，沒有用數據回答統計的問題，而是答非所問，所以命題人員規定讓學生利用學過的統計知識來答題是必要的.

4.3 不能正確處理數據

5 教學反思

通過本題研究，筆者建議教師在平時教學中，培養學生“數據觀念”時要注重以下幾點.

5.1 數據來源注重真實的問題情境

真實的數據對學生更具有吸引力，所以要注重數據來源于真實的問題情境.盡量讓學生參與數據測量的全過程，重視學生實驗，教師要肯花時間培養學生去觀察、交流，并形成調查報告，這些過程就是真實的情境教學，這樣的教學能夠培養學生多方面的能力.不僅如此，問題呈現要注重學科的融合，2022徐州中考第25題除了培養學生數據分析的能力，還注重對傳統文化的滲透.平時在教學中，要培養學生熱愛大自然，熱愛中國文化，注重天文、地理、歷史文化的熏陶.若平時對這方面進行培養，學生在考試時遇到類似古錢幣的傳統文化問題，就不會害怕，而會產生深厚的興趣.

5.2 深度分析收集數據

數據蘊含著信息，我們需要根據問題的背景和所要研究的問題確定數據收集、整理和分析的方法.從古錢幣問題可以發現，數據往往是有誤差的，甚至是錯誤的，所以對數據進行分析是解決現實問題的關鍵.在平時的教學中，課堂上要關注學生思考的深度.讓學生充分思考，多花一些時間和空間讓學生自由展示，不要只關注表面上的現象，讓學生深度分析數據，不能計算一種古錢幣的密封盒質量就開始計算“鹿鶴同春”的盒標質量，從而導致失分.因此，只有讓學生經歷深度分析數據，方可對數據進行解釋，將問題研究得更徹底、更深入.

5.3 創造性地使用教材

徐州中考數學第25題是原創題，對考生來說很新鮮，這說明我們教師在平時的教學中要創造性地使用教材.數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源.教師在使用教材時，不能照搬生套教材的結構線索，而是要從知識的形成過程去分析教材、理解教材、挖掘教材，從而讀懂教材，創造性地使用教材，在教學中詮釋教材所承載的課標精神.猶如海中的冰山，我們不能只看到海平面上的冰山一角，而要發現海平面下方冰山的根基[2].在平時教學中，如果教師經常創造性地改編教材，學生就不是對“古錢幣問題”感到陌生，而是積極迎接挑戰，因此，通過學生會看、會想、會表達，讓學生把自己的思維用自己的語言表達出來，可以說給小伙伴聽，也可以說給老師聽，只有這樣，學生才能思維更活躍，思路更清楚，也就更能落實“數據觀念”.