兩個“尷尬”的證明引發的思考

張網軍 苗長青 (江蘇省泰州市姜堰區羅塘高級中學 225500)

在江蘇教育出版社版高中數學新教材必修一“指數函數的概念和性質”中，指數函數的單調性結論是利用圖象觀察歸納出來的，而一個結論必須經過嚴格證明才是可靠的.由于教材對此結論的證明不作要求，因此，筆者鼓勵學有余力的學生自己嘗試證明，結果班上有兩位學生證明如下：

求證：y=2x為增函數.

生甲：設x10，2x2-x1>20=1，即2x2-x1-1>0.又因為2x1>0，所以y2>y1，故y=2x為增函數.

這兩種證明十分“尷尬”，都用到“當x2-x1>0時，2x2-x1>20=1”這一結論，而這一結論的成立本身就是因為y=2x為增函數才得到的，顯然這是用結論本身來證明結論，犯了循環論證的謬誤.其實要說明當x2-x1>0時，2x2-x1>1，我們只要考察冪函數y=xx2-x1的單調性便可.因為在學習指數函數之前，已經學習了冪函數，所以證明修正如下：

設x10，由于冪函數y=xx2-x1在(0,+∞)上是增函數，又因為2>1，所以2x2-x1>1x2-x1=1.又因為2x1>0，所以y2>y1，故y=2x為增函數.

思考1為什么學生會犯循環論證的謬誤？

循環論證，是指用來證明論題的論據本身的真實性要依靠論題來證明的邏輯錯誤.也就是說論證的前提就是待論證的結論.學生在證明一些常見定理或者結論時常常會不經意間犯這種錯誤，這主要是因為學生在已有數學知識的基礎上進行命題的論證時，往往缺乏一定的數學邏輯，會將一些命題中不存在的條件作為已知條件(而不自知)，導致解題過程不能達到“句句有理，步步有據”.要避免這種謬誤，首先需要不斷加強邏輯思維能力的培養，了解證明過程中每一步的依據是什么.其次，教師在平時的教學過程中，不能只在乎對結果的運用，還要重視數學知識的生成和發展過程，讓學生真正能夠知其所以然.最后，還要重視學生對知識的探索能力，不能讓學生只是學會簡單的模仿，要注重引導，從教知識上升到教方法、教思維.

思考2新教材中為何要將冪函數放到指數函數之前學習？

筆者認為主要有以下幾個原因：

(1)蘇教版新教材的數學必修一是緊隨初中教材而設計的，在初中學生已經學習了一次函數、二次函數、反比例函數等初等函數，而這些函數都是由冪函數構成的，所以，將冪函數放在指數函數和對數函數之前，有利于學生從初中已學函數中進行類比推理，由特殊到一般，更深刻地理解和研究冪函數的基本性質.

(2)冪函數與指數函數形式上具有極高的相似性，學生在做題過程中往往難以分辨這兩類函數，從而錯誤解題.所以將指數函數緊隨其后，便于學生區分這兩類函數的結構形式.

(3)在初中數學的學習中，學生已經知曉冪的概念——冪指乘方運算的結果，在高中進行冪函數的研究時，學生會充分進行聯想，發散思維.教材對冪指對函數順序調整，便于學生閱讀教材，易于學生理解，能激發學習興趣.