極值點回代時“超越式(數)代換”是通性通法嗎?

從 品 (江蘇省南京市金陵中學 210005)

教師將總結的正確經驗教給學生有利于他們形成正確的基本活動經驗，但有時若把基于自己解題活動而輕率總結的經驗教給學生，這些經驗雖未經證偽但可能是錯誤經驗，則會誤導學生.例如導數中的隱零點問題之后常常跟隨極值點回代過程，一些教師將極值點回代時“超越式(數)代換”這一經驗方法當做通性通法教給學生，這是否妥當呢？這一經驗方法是否真的是通性通法呢？本文對此展開探究.

1 問題背景

一份高三模擬試卷上有一道利用導數證明不等式的試題，難度較大，學生得分率較低，但學生在課后訂正和研究時產生了很大的好奇與興趣，在備課組教師間也引起了熱烈的討論，故而請一位教師就該題評講開展一次觀摩課，供師生相互學習、討論.

開課班級是江蘇省首批高品質示范高中一個物化生組合班級，班級層次較高，學生成績較優秀.

2 教師授課簡要過程

試題 已知函數f(x)=(x+2)lnx-e(x-1)，x>1，證明：f(x)>0.

本題來源于試卷，學生考后對本題進行了一些嘗試和探究，因此已有一定的了解.本題是典型的利用導數證明不等式問題，其證明方法主要是隱零點與極值點回代法，對于這一類型試題及其方法教師之前已多次涉及、講解并訓練，因此學生對此類問題和方法有一定的了解和基礎.

在評講該試題之前，授課教師先引導學生回憶隱零點與極值點回代問題的一般處理方法，在學生激烈討論、回答并補充以及教師總結下，師生基本達成一致認識.

共識1 隱零點與極值點回代問題的一般處理方法

對于導函數f′(x)，如果由零點存在定理易知其存在零點，但難以通過解方程求出其具體值，這樣的零點通常稱為隱零點.對于隱零點，我們需要退而求其次得到它的兩個條件，一是隱零點所在的范圍(即零點的精度)，二是隱零點所滿足的關系式(即零點的關系)，以供后續解題使用.

分析單調性，判斷隱零點(記為x0)是極值點，故而f(x0)是極值，一般情形下原問題可轉化為證明f(x0)>0.因為此處x0是隱零點(難以求得具體值，只有其粗略范圍)，如果直接將f(x0)函數化，則又回到了原問題，產生死循環.所以通常是先將極值點x0所滿足的關系式代入f(x0)，即極值點回代，然后再函數化，進而借助導數工具完成不等式證明.

共識2 隱零點與極值點回代問題的常見注意點

對于稍微復雜、靈活的同類問題，有時需要將粗略的隱零點范圍優化、修正到合適精度，而合適精度主要取決于零點存在定理那一步的計算難度和后續證明過程能否順利完成，有時需要多次嘗試.

極值點回代時應該消去超越式部分，因為超越式部分難以計算，且與代數函數格格不入，便于計算才能解決問題.

在達成以上共識后，師生合作開始嘗試評講并研究該試題.

所以f(x)在(1，x1)上單調遞增，在(x1，x2)上單調遞減，在(x2，+∞)上單調遞增.

因為f(1)=0，要證當x>1時，f(x)>0，即要證f(x2)=(x2+2)lnx2-e(x2-1)>0.

基于之前師生所達成的共識以及學生所掌握的水平基礎，大多數學生易于理解并可以完成前半段的解題過程，因此師生所關注的難點都在后半段.然后，教師先展示了不做極值點回代會產生的問題(續解1)并加以解釋，強化學生對極值點回代步驟的理解.

續解1 令g1(x)=(x+2)lnx-e(x-1)，x∈(2，e)，即要證g1(x)>0.

因為x2是隱零點(難以求得具體值)，所以無法求得f(x2)的具體值，故而難以直接證明f(x2)>0.然后易于想到將待證不等式進行函數化處理，進而借助導數工具完成證明.但是如果直接將f(x2)看作函數g1(x)，注意到g1(x)和f(x)的表達式相同，所以又回到了原問題，產生死循環，這是因為在函數化之前沒有做極值點回代所導致，所以在函數化之前，需要先將極值點x2所滿足的關系式代入f(x2)，然后再函數化.但之后的極值點回代與其后的證明過程卻十分困難，充滿荊棘.

續解2在極值點回代時消去超越式lnx2，是最容易想到的極值點回代之法，也符合一般的解題經驗，因此不僅大多數教師如此總結經驗方法(共識2)并教給學生，而且很多教輔也如此總結，但這里卻沒能解決問題，需要探求其他方法.

在學生反復嘗試卻一籌莫展后，教師展示了如下方法.

續解3與試題答案所給解析一致，但答案解析并未作其他解釋.續解2和續解3也正是師生產生好奇與費解之處，續解2的解法最符合一般經驗，能解決大多數的極值點回代問題，但在本題中卻未能奏效.續解3反常規而行，將常數e代回f(x2)，竟神奇般地解決問題，猶如神來之筆.

學生聽完教師的講解與點評，個個瞪大了眼睛，頻頻點頭，顯示出極大興趣，感覺神乎其技，似有所獲，如釋重負；教師也備受鼓舞，興致勃勃，進而又解釋一番超越數回代的好處.

但筆者坐在教室后面聽課時產生了極大的懷疑：其一，教師只是告訴學生超越數代換是超越式代換的一種特殊情形，建議學生在超越式代換行不通時也可嘗試超越數代換，但并未解釋透徹續解2不行而續解3可行的真正原因；其二，超越式代換和超越數代換究竟是通性通法呢，還是一種機緣巧合呢?于是帶著一頭霧水的好奇與不解，筆者聽課后對此展開了深入研究.

3 問題探究

續解2和續解3只是極值點回代形式不同才導致結果差異甚大，究竟是具體哪一步不同才產生了決定性影響呢?

從代數變形角度而言，兩者并無本質區別.

圖1

再然后，通過單調性分析，得知函數g2(x)和g3(x)在(2，e)上均單調遞減，所以g2(x2)>g2(e)，g3(x2)>g3(e)，但是g2(e)<0，而g3(e)>0，易知這一差異結果是由g2(x2)>g2(e)與g3(x2)>g3(e)這兩個放縮的差量不同而導致的.到此，所有疑問都歸結于：為何這兩個放縮的差量是不同的呢？

我們用極值點回代后的原始(尚未化簡的)代數式來表示這兩個放縮得：

由以上分析可知，通過適當控制相同放縮差量所乘系數的大小，應該可以完成證明，因此可以對續解2作如下修正.

此法將續解2中放縮部分lnx2的系數構造成較小正數x2-2(因為x2∈(2，e)，所以x2-2>0)，從而使得整體放縮更精細，因此可以完成證明.事實上，lnx2的系數并非一定要縮小到x2-2，縮小到x2也可以完成證明.

所以f(x2)=(x2+2)lnx2-e(x2-1)=x2lnx2+2lnx2-e(x2-1)=-2-x2+ex2+2lnx2-e(x2-1)=2lnx2-x2+e-2.

此法將lnx2的系數控制為x2，整體放縮精度強于續解2，但弱于續解2修正，使得恰有g2(e)=0，恰如其分地完成證明，而且證明過程更加簡潔.

在續解2中，極值點回代時消去超越式 lnx2，卻沒能完成證明；而在續解2的修正和再修正中，并沒有消去全部超越式lnx2，反而可以完成證明.

結論 由以上分析可知，極值點回代時超越式代換和超越數代換并非通性通法，只是一些情況下的經驗積累，其能否解決問題具有一定的偶然性.解決問題的關鍵在于控制放縮精度，此外還需要控制放縮部分所乘系數的大小，從而使得整體放縮更加精細，如此才更利于完成解題.

4 小結與反思

由前文探究與分析可以看到，極值點回代時超越式代換和超越數代換并非通性通法，只是一些情況下的經驗積累.如果貿然將此經驗教給學生，必然會對學生產生一定的誤導，倘若學生在大考中遇到同類靈活難題，必然會束手無策，無計可施.因此教師在總結解題經驗時務必要謹慎推敲，反推斟酌，甚至努力證實，盡力確保總結經驗的合理性與正確性.

教師在將方法經驗教給學生時，不應上升為絕對的通性通法.

一方面，長期絕對的通性通法會養成學生的惰性，遇到“通性通法”不能解決的問題時容易直接放棄而不做絲毫掙扎，如此則會窄化學生的眼界，阻礙學生的思考，打擊學生的探究.掙扎才是突破能力束縛的最大力量，自主思考和探究才能形成自己的基本活動經驗，這就需要教師引領學生用辯證的眼光看待方法經驗，并努力抓住方法失效與認知矛盾的關鍵時機，適時引導學生開展深度學習與深入探究.“基于探究的數學教學能 創造自由呼吸的課堂，只有自由呼吸的課堂才能讓學生自由想像，使學生富有創新精神并能付諸實踐.”[1]

另一方面，解題本就沒有萬能之法，更沒有絕對優和絕對爛的方法，一切方法都要看適用性.在傳授方法經驗的同時，更應該強調方法的適用性和優劣性，引導學生關注一類問題共有哪些常見方法、各種方法的優劣利弊，以及各種方法可行與不可行的關鍵原因，甚至還要總結每種方法能夠解決哪些問題.如此辯證的視角才是理性的數學眼光，如此辯證的思考才是理性的數學思維.引導學生辯證地看待方法經驗，利于培養學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界.

“在解題教學中比告訴學生解題方法更重要的是指導學生自主探究解題思路，知道怎樣找到解題思路，如何尋找題眼(即解決問題的突破口)，如何比較各種解法的優劣以及適用范圍.教師不僅要展示正確的解題思路，還要暴露自己解題中的思維過程、錯誤與困惑，不僅要展示學生在解題過程中的優美解法和思維閃光點，更要鼓勵學生暴露解題過程中的錯誤，揭示形成錯誤的原因，還要善于從學生的錯誤中發現創新的萌芽.教師還必須重視對學生解題方法和學習方法的指導，揭示知識與方法、技能之間的內在聯系，把自己成功的學習經驗和失敗的教訓及其形成的原因和盤托出，供學生借鑒.”[2]