基于GeoGebra的深度學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)與思考
——以蘇科版八年級(jí)上冊(cè)“一次函數(shù)的圖象(1)”為例*

蔣余希 李明樹 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215021)

1 緣起

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2022年版)(以下簡稱《課標(biāo)2022年版》)指出要促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的融合：合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，提供豐富的學(xué)習(xí)資源，設(shè)計(jì)生動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方式方法的變革[1].而蘇科版八年級(jí)上冊(cè)“一次函數(shù)的圖象(1)”[2]教材中“燒香”實(shí)驗(yàn)操作性不強(qiáng)且脫離實(shí)際，很難引起學(xué)生對(duì)新知的感悟.故基于課標(biāo)及學(xué)生認(rèn)知需要，選取新素材用“做”數(shù)學(xué)的策略，有效使用信息技術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生思維層次，涵育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.1 GeoGebra與數(shù)學(xué)教學(xué)

信息技術(shù)的融合是基于課堂需要來選擇功能切實(shí)的軟件，使其各展所長[3].近年來，免費(fèi)且實(shí)用的數(shù)學(xué)軟件GeoGebra越來越多地出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，其以強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)幾何、代數(shù)運(yùn)算和概率統(tǒng)計(jì)功能為數(shù)學(xué)課堂提供更多元的可能.而本課依托GeoGebra代數(shù)區(qū)和繪圖區(qū)功能完成了一次函數(shù)圖象的可視化，使“數(shù)”與“形”完美融合.

1.2 深度學(xué)習(xí)與核心素養(yǎng)

學(xué)習(xí)是把信息和經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成知識(shí)、技能、行為和態(tài)度的終身過程.而深度學(xué)習(xí)是在教師指導(dǎo)之下，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，積極地探究實(shí)踐，深刻地掌握學(xué)科的核心知識(shí)，并運(yùn)用知識(shí)解決問題，形成積極的內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、高級(jí)的社會(huì)性情感、積極的態(tài)度、正確的價(jià)值觀[4].這與《課標(biāo)2022年版》提倡的核心素養(yǎng)導(dǎo)向高度吻合，故深度學(xué)習(xí)是全面深化課程改革、落實(shí)核心素養(yǎng)的重要路徑.

2 教學(xué)過程

2.1 回顧·整理

回顧小組交流并完成知識(shí)框架圖.(師生合作圖1)

圖1

設(shè)計(jì)意圖以活動(dòng)驅(qū)動(dòng)，復(fù)習(xí)整合，喚醒舊知，為本課作鋪墊.

2.2 生活·數(shù)學(xué)

情境 用60 cm的繩子圍長方形OABC，如圖2，設(shè)OC=xcm，OA=ycm，觀察y隨x的變化而變化的情況.

圖2

填入表格中y的值，并觀察思考：

x/cm510152025y/cm252015105

(1)y隨x的變化是如何變化的？

(2)x和y有什么不變的關(guān)系？用數(shù)學(xué)式子表示.

發(fā)現(xiàn)y是x的一次函數(shù)，表格里是x+y=30的5組解.這5組值滿足一次函數(shù)y=-x+30，是函數(shù)圖象上的5個(gè)點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖由熟悉的長寬問題引入，在變與不變的關(guān)系中引發(fā)思考，感知規(guī)律的“式”、表格的“數(shù)”以及一次函數(shù)“圖象”上點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)及一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.在實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想.

2.3 操作·發(fā)現(xiàn)

活動(dòng)1釘板圍長方形

規(guī)則借助表格和素材(一塊含磁吸的透明釘板及若干等長彩色皮筋)，圍周長為60的長方形，使得：

(1)長方形的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)(釘板左下角的釘)重合；

(2)OC落在x軸上，OA落在y軸上；

(3)釘板相鄰兩釘?shù)木嚯x和平面直角坐標(biāo)系單位長度均為5.

要求：安全、合作、思考.

圖3 圖4

圖5

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過“做”數(shù)學(xué)觀察一次函數(shù)圖象上有限個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系.用直尺靠，用眼睛看，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性和研究力，拓展思維深度，培養(yǎng)合作精神.

猜想：滿足一次函數(shù)y=-x+30的點(diǎn)B,B1,B2,B3,B4在同一直線上.

師：你能證實(shí)此猜想嗎？

生：拿尺子靠，這5個(gè)點(diǎn)在一條直線上；過兩點(diǎn)畫直線，看另外三點(diǎn)在不在這條直線上；證全等.

師：再給出周長60但長未知的矩形(圖4)，思考頂點(diǎn)B5是否滿足上述猜想.

師：(引導(dǎo))B5坐標(biāo)滿足y=-x+30嗎？(生：滿足)所以它是函數(shù)圖象上的點(diǎn).拋開實(shí)際問題，y=-x+30中x可以取哪些值？(生：任意實(shí)數(shù))

設(shè)計(jì)意圖初步形成“一次函數(shù)圖象上有限個(gè)點(diǎn)好像在同一條直線上”的認(rèn)知后，提出問題“無限個(gè)點(diǎn)的位置如何”，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，大膽猜想并嚴(yán)謹(jǐn)求證.

2.4 探究·感受

有限點(diǎn)不能確定一次函數(shù)圖象，需繼續(xù)描點(diǎn)觀察，GeoGebra可以輔助實(shí)現(xiàn)[5].

操作過程：

(1)將坐標(biāo)調(diào)整到單位長度為1，列表動(dòng)畫按鈕，描點(diǎn)動(dòng)畫按鈕，學(xué)生觀察這一系列點(diǎn)的位置關(guān)系.問學(xué)生0～1之間還有距離嗎？能不能繼續(xù)取值？得到肯定回答，繼續(xù)操作；

(2)將坐標(biāo)縮小到單位長度為0.1，同上操作.問0～0.1之間還有距離嗎？學(xué)生猜測(cè)，繼續(xù)操作；

(3)將坐標(biāo)縮小到單位長度為0.01，同上操作.

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

結(jié)論若持續(xù)操作，圖象將逐漸清晰，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在同一條直線上.

操作過程：

(4)將坐標(biāo)逐漸放大時(shí)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與點(diǎn)“緊密地挨在一起”；

(5)通過繪制點(diǎn)A(x，30-x)的軌跡，深化學(xué)生認(rèn)識(shí)：一次函數(shù)的圖象是一條直線.

(6)連線按鈕，繪制圖象.

師：根據(jù)研究y=-x+30圖象的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)如何得到一次函數(shù)的圖象？

生：一列表，二描點(diǎn)，三連線.

師：這個(gè)作圖方法叫作——描點(diǎn)法.(提醒要寫上函數(shù)名)

設(shè)計(jì)意圖GeoGebra縮小坐標(biāo)軸的單位長度至作圖需要的x范圍后，描點(diǎn)觀察位置；再放大坐標(biāo)軸的單位長度，動(dòng)態(tài)過程中點(diǎn)慢慢地緊密地挨在一起.把抽象的加密取點(diǎn)過程可視化，使學(xué)生能夠完全理解并參與，研究過程更充分，知識(shí)生成更自然，真正以學(xué)生為主體，使課堂“動(dòng)”起來，使學(xué)生學(xué)“活”的知識(shí).

2.5 實(shí)踐·歸納

圖11

活動(dòng)單：畫y=2x+1的圖象.(投屏討論)

預(yù)設(shè)師：表格里…是什么含義？

生：省略，畫不完所有的點(diǎn).

生：沒有兩邊延伸.

師：數(shù)學(xué)是講究美的學(xué)科，對(duì)稱取點(diǎn)可避免圖象只有一邊的問題.

生：沒有標(biāo)函數(shù)名；描點(diǎn)沒有描.

師：標(biāo)上表達(dá)式更清晰；過x=1，y=5作垂線交于一點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)由學(xué)生獨(dú)立嘗試，發(fā)現(xiàn)問題再集中糾偏，基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)建立作圖規(guī)范.

2.6 交流·思考

繼續(xù)討論函數(shù)圖象畫法，通過思考直線特征得到更簡便的“兩點(diǎn)法”.

活動(dòng)2 合作繪圖

圖12 KT板尺寸35 mm×50 mm

提前制作好輕便、展示性強(qiáng)的KT板，小組合作再畫y=2x+1的圖象及一個(gè)組內(nèi)自選函數(shù).

教學(xué)預(yù)設(shè)為了兼顧分布狀態(tài)，大多取便于計(jì)算的坐標(biāo)軸交點(diǎn).

師：對(duì)一般形式y(tǒng)=kx+b，你能說出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)嗎？

師：那y=-6x+1如何取點(diǎn)？

生：不好畫.

師：如果坐標(biāo)軸交點(diǎn)不好畫，可取整數(shù)格點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖基于深度學(xué)習(xí)理解與批判特征，繼續(xù)深化討論取點(diǎn)的技巧.在自選函數(shù)過程中作出正比例函數(shù)和與原函數(shù)平行的函數(shù)時(shí)，可對(duì)圖象性質(zhì)稍作拓展.KT板小組作圖強(qiáng)化學(xué)習(xí)的獲得感和成就感.

圖13

2.7 鞏固·內(nèi)化

學(xué)生展示并總結(jié)：正比例函數(shù)一定過原點(diǎn)，作圖時(shí)另取一點(diǎn)即可.一次函數(shù)表達(dá)式中k和b不同，函數(shù)圖象不同.變化紛繁復(fù)雜，但不變的是它的形狀是一條直線.

設(shè)計(jì)意圖GeoGebra的滑動(dòng)桿動(dòng)態(tài)功能讓學(xué)生直觀“看”到圖象的變與不變，為學(xué)生提供課后思考的空間.

2.8 應(yīng)用·生活

研究了任意實(shí)數(shù)為自變量的一次函數(shù)圖象后，回到初始問題：長寬關(guān)系的圖象是一條直線嗎？

設(shè)計(jì)意圖經(jīng)歷實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的探究后回到生活中，明確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，為后續(xù)一次函數(shù)解決實(shí)際問題作鋪墊.

2.9 小結(jié)·收獲

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

設(shè)計(jì)意圖以知識(shí)框架圖為載體，梳理數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中知識(shí)、方法、思想相輔相成的作用.

3 教后反思

《課標(biāo)2022年版》讓教師更加清晰地認(rèn)識(shí)到教好數(shù)學(xué)是落實(shí)核心素養(yǎng)的前提.本節(jié)課利用數(shù)學(xué)釘板實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)開放式情境，在“做”數(shù)學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程.通過信息技術(shù)融合突破抽象難點(diǎn)，讓學(xué)生理解學(xué)科知識(shí)本質(zhì)，在深度學(xué)習(xí)的助推下發(fā)展深層思維，培養(yǎng)理性精神和創(chuàng)新能力，逐漸形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.1 深度學(xué)習(xí)是理解知識(shí)的重要方式

學(xué)習(xí)是基于新舊知識(shí)的聯(lián)系將新知識(shí)整合到原有結(jié)構(gòu)的過程.而深度學(xué)習(xí)“深”在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)里，“深”在教學(xué)規(guī)律里，“深”在人的精神境界里，“深”在人的心靈里，是一種有意義的知覺模式.[4]本課借助釘板和皮筋圍長方形，構(gòu)建真實(shí)的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生帶著原有的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)操作、思考、感受，構(gòu)建新的知識(shí)體系.開放式的情境給予學(xué)生大膽想、多角度思、充分交流的機(jī)會(huì)，在操作中提出問題、解決問題.若按常規(guī)讓學(xué)生通過作不同函數(shù)圖象來發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)圖象是一條直線，只是淺層的體驗(yàn)，學(xué)生經(jīng)歷的是模仿和記憶.而深度教學(xué)助力學(xué)生深度學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生的興趣和創(chuàng)造性思維.在強(qiáng)化作圖范式時(shí)，先由學(xué)生自主嘗試，再集體糾偏，歸納方法后繼續(xù)批判反思，得到兩點(diǎn)作圖法及點(diǎn)的恰當(dāng)取法，讓學(xué)生充分感受知識(shí)的關(guān)聯(lián)和自然生長，做到以生為本、讓學(xué)引思.在達(dá)到預(yù)期教學(xué)效果的同時(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)深度學(xué)習(xí)自主理性、批判理解、聯(lián)系整合、遷移運(yùn)用的完整過程[6]，促進(jìn)高層次思維和能力的發(fā)展，體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的意義，培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng).

3.2 技術(shù)融合是深度學(xué)習(xí)的應(yīng)然選擇

強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)，將“說”和“寫”的功能延伸，使每一個(gè)命題清楚明確.先是清楚明確，然后才是深刻生動(dòng)；才是追求遷移應(yīng)用、智慧生成；才是創(chuàng)新發(fā)展、生命活力.[4]本課難點(diǎn)之一在于教師無法將抽象知識(shí)“一次函數(shù)的圖象是一條直線”直接“言傳”，學(xué)生又很難“意會(huì)”.所以在學(xué)習(xí)一次函數(shù)作圖的初期常常出現(xiàn)很多“腦洞大開”的奇圖.因此，借助信息技術(shù)的表征優(yōu)勢(shì)，利用GeoGebra對(duì)一次函數(shù)圖象進(jìn)行可視化呈現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)與生動(dòng)現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系通道.通過GeoGebra對(duì)坐標(biāo)軸進(jìn)行放大縮小演示一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的加密過程，從有限個(gè)點(diǎn)拓展到無限個(gè)點(diǎn)，觀察其位置關(guān)系是“緊密地挨在一起”，而構(gòu)成的圖形是直線，真正解決理解難關(guān)，為后續(xù)學(xué)習(xí)“反比例函數(shù)圖象是曲線而不是一系列折線”打下基礎(chǔ).GeoGebra的操作直觀清晰，讓學(xué)生沉浸在探究過程中，自主感知探索目的、理解探索方法，讓思維進(jìn)入一個(gè)密集、深入且長遠(yuǎn)的深度學(xué)習(xí)中.能夠流暢歸納出研究函數(shù)圖象的一般方法，在深刻領(lǐng)悟中得到厚實(shí)的思維發(fā)展.技術(shù)融合的可視化呈現(xiàn)彌補(bǔ)了數(shù)學(xué)抽象給學(xué)生帶來的陌生感和迷茫感，讓學(xué)生能夠有“看透”數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注入活力，構(gòu)建起抽象與現(xiàn)實(shí)之間的橋梁，使本課核心知識(shí)生長在最恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間.