構造函數法證明不等式的若干策略

浙江省奉化中學 (315503) 張 園

運用對相關函數求導證明不等式是近年來高考命題的一類熱點題型，由于涉及許多導數問題中的解題技法，降低了解題的成功率，我們有不少同學都望而卻步.此類問題的破題關鍵就是找一個與待證不等式緊密聯系的函數，然后運用導數運算的方法，研究該函數的單調性、極值、值域等性質，進而達到證明不等式的目的.本文以近幾年高考題或模擬題為例，通過探索不同類型不等式的證明，闡述構造函數證明不等式的六種方法，供參考.

一、移項作差構造函數

點評：移項作差法是證明不等式的最常用的方法，而構造新函數是利用導數解決問題的重要手段，本題中，在導函數式大小時根據解題需要又采用了放縮的辦法，并且再一次構造函數，最后才確定了大小關系，是一個難度較大的題目.

二、增添項后構造函數

點評：通過將待證的結論式變形整理，揭露了待證式的實質，也就是需要證明不等式f(x)

三、及時換元后構造函數

點評：在本題中，由于是證明兩個變量的大小關系問題，通過換元，將兩元變換成一元，這樣降低了問題的難度，使之變成我們熟悉的、容易解決的問題了.

四、等價轉化后構造函數

點評：在充分挖掘題目內涵的基礎上，將待證的不等式進行轉化、變形，使之等價變形為另一個大小關系證明的問題，然后再通過建立新函數輕松地解決了問題.

五、挖出同構關系后構造函數

點評：由于待證的不等式比較復雜，在分析、化簡、變形的基礎上，再經過換元處理，成功的找到了同構關系，然后通過設新函數，這樣，成功地解決問題就是很容易了.

六、選擇關鍵部位構造函數

點評：在解題過程中，根據大小比較的需要，對表達式中的一部分采用構造函數處理，也是一個重要的解題思路，這種求解方法的關鍵是精確替換，以起作用、易解決為替換原則.