展現思維過程 促進概念理解
——對“弧度制”教學的思考*

商再金 (江蘇省灌云縣教師發展中心 222200)

翟洪亮 (江蘇省太湖高級中學 214125)

1 問題提出

在“弧度制”的一次研討課中，教師以生活中物理量具有多種度量制為情境，指出角度制的度量值不是十進制的實數，不便于三角函數的運算，需建立一種以十進制實數為度量值的單位制，引導學生回憶初中的弧長公式，獲得“用弧長和半徑的比值表示圓心角”的認識后，直接指出以弧長等于半徑的圓心角為單位建立度量制就能實現簡化計算；隨即給出1弧度角、弧度制的概念，分析弧度制的本質，建立起角的集合與實數集R之間的一一對應關系，訓練兩制互化，并介紹弧度制下扇形的面積公式.教學中存在諸多不足，分析如下.

2 問題分析

2.1 創設的情境與弧度制無邏輯關聯

教學情境的創設既要符合學生的認知基礎，也要體現知識的邏輯關聯，便于突破理解障礙.同一個物理量具有多種度量制，雖然符合學生的認知，但與弧度制沒有邏輯關聯，不能為引入弧度制提供思維指向，也無法為理解弧度制提供認知基礎.筆者調查發現，學生對弧度制的理解處在“知其然”的層面，而“不知其所以然”，不理解引入弧度制的根源和1弧度角的“規定”.因此，確定1弧度角的思維過程是教學中必須解決的問題.

2.2 沒有暴露形成單位角的思維過程

弧度制概念的形成需經歷兩個認知過程:一要實現角的比值表示，即建立弧長與半徑的比值與圓心角之間的一一對應關系，這是弧度制的邏輯基礎；二要把比值表示轉化為度量刻畫，這需要確定單位約定的方式.確定度量單位是建立度量制的關鍵，過程有兩類：一類是通過抽象得到的，是思維的結果；另一類是借助工具得到的，是實踐的結果，不同的形成過程必然蘊含不同的思維形式[2].授課教師在學生經歷第一個認知過程后就直接給出1弧度角的規定，沒有揭示規定的緣由，也沒有暴露形成單位角的過程，學生只能觀察弧度制的外在形式，沒有體驗到1弧度角的形成過程，弄不清1弧度角與1度角在形成過程中的差異，也就認識不到兩者的區別和聯系，自然感受不到弧度制蘊含的思想性和創造性.因此，在給出1弧度角的規定之前，應以恰當的問題作為鋪墊；在建立1弧度角的概念后，要設置恰當的活動讓學生體驗1弧度角與1度角在形成方式上的差異，感受弧度制的思想性，認識到兩種度量制的區別與聯系.

2.3 沒有在概念理解中實現創生意義

認知心理學認為，理解一個主題要建立與之有關的心智模式或圖式，要求學習者運用已有知識在新的信息中創生意義、在事實與觀點間建立聯系.這樣才能使知識成為數學發展中的結點，才是具有活性的可應用的知識.兩種度量制的互化是顯性的、自然的，不會導致理解障礙，互化技能的訓練也是必要的.但還應設置促進概念理解的教學活動，促使學生運用弧度制的知識構建網絡、實現具有創生意義的學習，并認識到引入弧度制的必要性、合理性和優越性.

3 問題解決

3.1 明確差異，在統一度量中引入弧度制

在初中，三角函數的自變量是角度，這與冪、指數、對數等初等函數的自變量為實數是不同的，啟發學生思考如何解決兩者的差異.引導學生回顧角度制，指出由于地域或功能的差異導致等分圓周的數目不同，如用于天文學的12等分、中亞兩河流域的360等分、歐洲的400等分和軍事上的6 000等分.目的是讓學生看到建立角度制的動力源自數學外部的實際需求，意識到等分圓周時具有一定的偶然性和隨意性.隨著數學的發展，三角學的重點從強調計算變成強調函數方法，角與長度的單位制不統一帶來諸多不便，建立統一的度量制是數學自身發展的必然，而初等函數中自變量的單位為實數1，從而想到能否統一用單位長度去度量角.

圓的兩要素為圓心和半徑，故只能用半徑去度量角.而同圓中兩條長度不同的弦的長度之比不等于其對應角度之比，故只能用半徑去度量角所對的弧，這樣引入弧度制就顯得自然.如圖1，“自變量的單位為實數1”是促使用半徑去度量弧長的出發點，也是弧度制教學的切入點，更是優化弧度制計算促使單位圓產生的導火索，還為三角函數的概念、誘導公式學習奠定基礎，體現數學知識之間的連貫性與整體性，規避了碎片化教學，促進知識體系的構建.

圖1

3.2 仿圓周率，通過類比實現概念再創造

圖2

3.3 建立具象，在沖突中促進概念的理解

弧度制單位角是人類抽象思維的結晶，具有較高的抽象性，需要直觀的具象來促進理解.筆者的做法是在引出兩種度量制的換算關系前，指示學生先畫出弦長等于半徑的圓心角，讓他們先獲得1 rad角比60°角略小的感性認知，再用弧度制視角研究整個圓周角，易得圓周角360°=2π rad，從而進行角度制與弧度制之間的互化，獲得1 rad精確的角度數，建立1 rad的圖形.目的是把建立具象的過程轉變成促進概念理解的過程，完善學生的認知結構.

3.4 借助圖形，發現不等式中的創生意義

圖3

圖4

4 教學反思

4.1 要注重弧度制概念的生成過程

弧度制教學要注重概念的生成過程.許多教師在概念教學中，往往不注重概念的形成過程，僅注重概念的運用，出現“斬頭去尾燒中段”現象，忽視學生的主體地位，阻礙了學生思維能力的發展.弧度制概念教學應注意引入背景的選擇，認清根源是由于數學自身發展的需要，實現從幾何到代數的跨越是統一度量的必然，然后從確定圓的要素中尋找切入點，聯想圓周率，通過整體與部分進行類比，還原出知識產生、發展的原貌，引導學生對1弧度角的“再創造”，激發興趣，啟迪思維，把數學“冰冷的美麗”轉化為學生“火熱的思考”，展現思維過程，促進概念內化，構建知識體系，發展學生能力，提升學生素養.

4.2 要適度運用措施防止誤導學生

弧度制教學要注意強化措施運用的適度性.弧度制與角度制除了“單位”不同外，“沒有本質上的差別，而且還關系密切”[3]，它們沒有優劣之分，只是角度制更適用于幾何的方法，而弧度制更適用于代數的方法.但是，弧度制單位角創立形式的抽象性、省略弧度制單位的記法、角的比值表示等客觀因素容易放大弧度制的特殊性.教學中的一些強化措施，如過分強調角的比值表示，無形中傳遞出“約去單位”的信息；過分強調弧度制度量值集合與實數集R之間的一一對應關系，會帶來“角度制不能建立一一對應關系”的負遷移.因此，在促進學生深化理解的同時，不掩蓋共性也不放大差異，不能貶此褒彼.

4.3 要充分發揮數學學科育人功能

弧度制的教學是體驗創造和感悟數學理性的載體，也是培育科學創造觀的良好契機.弧度制的創立是數學發展的歷史必然，弧度制萌芽于古希臘時代，但直到18世紀才成為度量單位制，由于這期間三角函數主要是運用于天文學、圓或解三角形的工具，而角度制恰好適合幾何研究.到了近代，微積分的迅猛發展使數學研究轉向到代數分析，三角函數成為刻畫周期現象的模型，需要更高層次的抽象概括，從數學內部抽象而來的弧度制也就應運而生，從這個意義上講，弧度制的建立是縱向數學化的結果，而角度制則是水平數學化的結果.因此，弧度制的概念教學既要展示數學思維的力量和數學的理性光芒，也要揭示數學發展的背景趨勢和知識的生成過程，培育學生科學的創造觀，發揮數學學科的育人功能.