芬斯勒流形上的兩個重要不等式①

程新躍，張希濱

重慶師范大學 數學科學學院， 重慶 401331

芬斯勒幾何是黎曼幾何的一種自然推廣， 是沒有二次型限制的黎曼幾何. 與黎曼幾何的情形相似， 在Ricci曲率有下界的條件下， 芬斯勒流形上有著非常豐富的幾何與分析性質[1-2]. 文獻[3]定義了芬斯勒幾何中的加權Ricci曲率. 文獻[4]建立了Bochner公式及相應的不等式. Bochner公式及相應的不等式在芬斯勒流形上的幾何與分析問題的研究中有著極為深刻的影響. 利用逐點Bochner-Weitzenbock公式和積分型Bochner-Weitzenbock公式， 文獻[5]在芬斯勒流形的加權Ricci曲率RicN有下界的條件下， 得到了Poincare-Lichnerowicz不等式. 文獻[6]給出了芬斯勒流形上的p(>1)-Bochner-Weitzenbock公式和p-Reilly型公式， 并且在加權Ricci曲率RicN有下界的n維芬斯勒流形上， 得到了無邊或帶有凸邊界的緊致芬斯勒流形上的p-Poincare不等式. 文獻[7]在芬斯勒流形的加權Ricci曲率RicN有下界的條件下， 得到了芬斯勒Laplacian第一非零Neumann特征值的下界估計. 文獻[8]則在加權Ricci曲率Ric∞有下界的完備芬斯勒測度空間中得到了芬斯勒Laplacian第一特征值的下界估計.

本文的主要目的是在加權Ricci曲率RicN有正下界的芬斯勒流形上導出重要的泛函不等式和幾何不等式. 主要研究結果由兩部分組成： 首先， 我們給出了芬斯勒流形上優化的Poincare-Lichnerowicz不等式； 其次， 我們得到了芬斯勒流形上Laplacian第一特征值的一個優化的下界估計.

定義

這里，F(x，y)為給定的芬斯勒度量，S(x，y)為S-曲率.

本文的主要結論如下：

定理1設(M，F，m)是一個可測的緊致無邊的芬斯勒流形， 且滿足RicN≥K>0， 其中N∈(n， ∞).對任意的f∈H1(M)， 設(ut)t≥0是滿足u0=f的熱方程的整體解， 則

(1)

其中Varm(f)表示f的方差，g(t)=g?ut(??utF(?ut)， ??utF(?ut)).

(2)

我們稱λ1是(M，F，m)的第一特征值.一個很自然的問題就是研究芬斯勒流形上Laplacian第一特征值的下界估計.我們在RicN有下界的緊致芬斯勒流形上得到了芬斯勒Laplacian第一特征值的一個新的下界估計.

定理2設(M，F，m)是一個可測的緊致無邊的芬斯勒流形， 且滿足RicN≥K>0， 其中N∈(n， ∞).則當第一特征值λ1>0時， 有

(3)

(1)式和(3)式分別給出了緊致芬斯勒流形上的Poincare-Lichnerowicz不等式和芬斯勒Laplacian第一特征值的下界估計， 分別改進了文獻[5，9]中的相關不等式.

1 預備知識

給定一個n維C∞流形M，F是流形M上的芬斯勒度量， 記F的Busemaun-Hausdorff體積形式為

dm=σ(x)dx1∧…∧dxn

其中體積系數σ(x)定義為[10]

這里， Vol表示歐氏體積，Bn(1)表示Rn上的標準單位球. (M，F，m)的S-曲率可以表示成

其中Gi是F的測地系數.

(4)

當N→∞和N↓n時， 可定義如下的加權Ricci曲率：

Ric∞(v)=Ric(v)+ψ″η(0)

(5)

事實上， 容易得到ψ′η(0)=S(x，v)就是芬斯勒幾何中關于測度m的S-曲率， 且

其中“|”表示關于Chern聯絡的水平協變導數[11].因此， 可以進一步把RicN(v)寫成[12]

一般地， 若對任意的x∈M和切向量v∈TxM， 總有RicN(v)≥KF2(x，v)(這里K為實常數)， 則RicN≥K.

?u(x)=L-1(du(x))∈TxM

因此， 在局部坐標下， ?u可以寫成[12]

(6)

其中

Mu={x∈M|du(x)≠0}

g*ij(x， du)為F的對偶芬斯勒度量F*的基本張量， 且

g*ij(x， du)=gij(x， ?u)

給定流形M上的一個光滑測度m， 對應的體積形式為

dm=σ(x)dx1∧…∧dxn

Δu=divm(?u)

(7)

等價地， 我們在弱的意義下定義函數u的Laplacian為滿足以下條件的Δu： 對所有的

(?u)dm

由Laplacian及散度定義， 對流形M上任意的光滑函數φ， 有

divm(φ?u)=φΔu+dφ(?u)

(8)

gV(X，Y)=gij(x，V)XiYj

特別地，gV(V，V)=F2(x，V).在加權黎曼流形(M，gV，m)上， 可定義線性梯度向量場與線性Laplacian分別為

ΔVu=divm(?Vu)

(9)

其中λ=E(u).根據Laplacian弱定義， 上式等價于

Δu+λu=0

我們分別稱λ和u是(M，F，m)的一個特征值和特征函數.

接下來介紹非線性熱方程

(i) 若c≤u0≤C幾乎處處成立， 則當t>0時，c≤ut≤C幾乎處處成立；

本文中， 我們總假定ΛF<∞.

2 若干重要的引理

設(M，F，m)是測度可測的芬斯勒流形. 為了證明定理1， 我們需要一些必要的引理.

引理2[4]給定u∈C∞(M)， 則在Mu={x∈M|du≠0}上， 有

當Ric∞≥K時， 有

其中‖·‖HS(?u)表示關于度量g?u的Hilbert-Schmidt范數， ?u表示u的梯度向量場， Δu表示u的Laplacian.

根據引理2及(4)，(5)式， 可以得到以下結果：

命題1給定u∈C∞(M)及N∈(n， ∞)， 則在Mu={x∈M|du≠0}上有

(10)

及

(11)

易見， (11)式比文獻[4]中相應的不等式更優.進一步， 類似于文獻[4]的討論， 我們可以用同樣的方法得到下面的積分型不等式：

(12)

這里， 我們用到了

d[F(?u)](??u[F(?u)])=g?u(??uF(?u)， ??uF(?u))

根據引理1， 取測試函數φ=1， 可以得到以下引理：

引理3若(M，F，m)是緊致無邊的芬斯勒流形， 且滿足RicN≥K， 其中N∈(n， ∞)且K∈R.給定u∈H2(M)∩C1(M)， 使得Δu∈H1(M)， 則有

(13)

由于(M，F，m)是緊致的芬斯勒流形， 我們可以將m標準化使得m(M)=1.定義f∈L2(M)的方差為

此外， (ut)t≥0是滿足u0=f的熱方程?tut=Δut的整體解， 則對任何f∈H1(M)， 根據線性化熱半群的性質， 在L2(M)中有質量守恒[4]

和遍歷性[6]

引理4[4]設(ut)t≥0是熱方程的整體解.則對所有t>0， 有

幾乎處處成立.

3 主要定理的證明

定理1的證明設(ut)t≥0是滿足u0=f的熱方程的整體解.令

那么根據遍歷性可得

且

(14)

根據Φ(t)的定義， 我們知道

(15)

由引理4， 對t>0， 我們有

由定義，S(?u)2≥ω2F2(?u). 根據引理3， 有

從而有

最后，

其中

g(t)=g?ut(??utF(?ut)， ??utF(?ut))

由(15)式得

(16)

這就完成了定理1的證明.

作為引理3的應用， 定理2的結果是自然的.

定理2的證明通過假設和引理3， 我們得到

因為Δu=-λu， 我們有

進一步， 有

這表明

從而， 我們有

因此， 由(2)式我們得到

這就完成了定理2的證明.