心中有“數(shù)”：“童化”視域下學(xué)材資源重組建議

單廣紅

（江蘇省淮安市白鷺湖小學(xué)）

數(shù)學(xué)知識(shí)有著嚴(yán)密的結(jié)構(gòu)體系，數(shù)學(xué)教師必須要做到心中有“數(shù)”，即對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)能夠正確地理解和把握，必須具備扎實(shí)的專業(yè)素養(yǎng)。北京師范大學(xué)郭華教授認(rèn)為，課堂教學(xué)其實(shí)是實(shí)現(xiàn)“兩次倒轉(zhuǎn)”的過(guò)程。筆者認(rèn)為，第一次倒轉(zhuǎn)是“教師理解教材內(nèi)容”，第二次倒轉(zhuǎn)是“引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程”。基于“童化”視域的結(jié)構(gòu)化課堂，教師要靈活地對(duì)教材資源進(jìn)行重組，需要前后溝通，領(lǐng)悟教材變化意向；需要靈活變通，梳理內(nèi)容重組學(xué)材；需要對(duì)比融通，構(gòu)建聯(lián)系編織網(wǎng)絡(luò)。

一、前后溝通，領(lǐng)悟教材變化意向

教材研讀是教師的一項(xiàng)基本功，即實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的第一次倒轉(zhuǎn)——教師理解教材內(nèi)容。在實(shí)際教學(xué)中，有很多教師對(duì)教材編寫(xiě)意圖的解讀能力比較欠缺，而教材承載著編寫(xiě)專家組賦予的特殊使命，所以，領(lǐng)悟教材中提供的信息內(nèi)容才能最大化地發(fā)揮教材的學(xué)科育人價(jià)值。

（一）領(lǐng)會(huì)術(shù)語(yǔ)更換的思想根源

對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精準(zhǔn)解讀是數(shù)學(xué)教師的一項(xiàng)重要基本功，往往教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容理解到什么高度，基本上就決定了學(xué)生所能達(dá)到的最高水平。如“解決問(wèn)題策略—替換”內(nèi)容，教材修訂后變更為“解決問(wèn)題的策略—假設(shè)”。此單元編排了如下的兩個(gè)例題。

例1：小明把720 毫升果汁倒入6 個(gè)小杯和1 個(gè)大杯，正好倒?jié)M。已知小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

例2：在1個(gè)大盒和5個(gè)同樣的小盒里裝滿球，正好是60個(gè)。每個(gè)大盒比每個(gè)小盒多裝8個(gè)。每個(gè)大盒里裝了多少個(gè)球？每個(gè)小盒呢？

編者修訂的意圖是什么呢？筆者以為，應(yīng)該不是簡(jiǎn)單的變換名詞。通過(guò)用心研讀與領(lǐng)悟我們不難發(fā)現(xiàn)，“假設(shè)”比“替換”更加準(zhǔn)確和有創(chuàng)造性，無(wú)論是“倍比關(guān)系”，還是“相差關(guān)系”，替換的目的是統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，即“假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)一樣”。這樣，教材中的例題就由“二元問(wèn)題”轉(zhuǎn)化成了“一元問(wèn)題”。如此來(lái)看，“假設(shè)”是一種解題策略，“替換”是解題的具體方法。教學(xué)中，很多教師“穿著新鞋走著老路”，強(qiáng)調(diào)“替換”，關(guān)注解題，卻忽略了“假設(shè)”數(shù)學(xué)思想的滲透。

（二）感悟內(nèi)容刪減的結(jié)構(gòu)統(tǒng)整

在日常教學(xué)中，很多中學(xué)教師不了解小學(xué)已學(xué)了什么，學(xué)到什么程度，很多小學(xué)教師更不會(huì)過(guò)問(wèn)中學(xué)將要學(xué)什么，是基于什么基礎(chǔ)去學(xué)習(xí)的，這樣就形成了“各自為營(yíng)”的現(xiàn)象。最后，就形成了小學(xué)教的內(nèi)容和方法，中學(xué)教師又重新教學(xué)，或者用大量時(shí)間去返工糾正，缺少“結(jié)構(gòu)化統(tǒng)整”。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，用π表示計(jì)算的結(jié)果，讓小學(xué)生從繁雜的3.14代替π計(jì)算中解放出來(lái)。這樣，就讓中學(xué)教師不再為糾正圓周率應(yīng)用字母“π”表示而惱火。新課標(biāo)中有一條非常重要的內(nèi)容調(diào)整：把方程從第三學(xué)段六年級(jí)調(diào)整到第四學(xué)段七年級(jí)，這無(wú)疑是對(duì)小學(xué)教師的又一利好。自從上一輪課改后，解方程的思路由原來(lái)的“數(shù)量關(guān)系式”為主思路，變成“等式的基本性質(zhì)”為主思路，很多教師以為這下終于可以和中學(xué)接軌，花了很大的力氣引導(dǎo)學(xué)生用“等式的基本性質(zhì)”解方程。但是，小學(xué)生由于受到知識(shí)結(jié)構(gòu)的局限，在解決減數(shù)或除數(shù)作未知數(shù)時(shí)就遇到了障礙。據(jù)了解，中學(xué)也并不是用“等式的基本性質(zhì)”解方程，而是用移項(xiàng)的方法。把中小學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化安排，既減少了無(wú)效重復(fù)的勞動(dòng)，也為中小銜接工作作出了重要貢獻(xiàn)。

（三）關(guān)注內(nèi)容增加的現(xiàn)實(shí)價(jià)值

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的新一輪課改，除了更改或刪去原教材中不合時(shí)宜的內(nèi)容，還新增了一項(xiàng)核心素養(yǎng)內(nèi)容——量感。新課標(biāo)制定專家有一雙“慧眼”，已發(fā)現(xiàn)“量感”問(wèn)題是生活中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但教師對(duì)此內(nèi)容教學(xué)比較弱化，導(dǎo)致學(xué)生“量感”的嚴(yán)重缺失。這是教師今后需要研究的一個(gè)重要課題，需要教師團(tuán)隊(duì)形成合力，對(duì)基本的“量與計(jì)量”問(wèn)題，如“厘米”“分米”“米”等長(zhǎng)度單位，“平方厘米”“平方分米”“平方米”等面積單位，以及“千克”“克”的質(zhì)量單位，凡能夠親歷體驗(yàn)的內(nèi)容，一定要?jiǎng)?chuàng)設(shè)條件讓學(xué)生經(jīng)歷，積累準(zhǔn)確真實(shí)的“表象”經(jīng)驗(yàn)。而如“千米”“噸”“公頃”等這樣大的計(jì)量單位，教師就要引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)生活，找到具體的例子，再進(jìn)行類(lèi)比、推理，形成自己的間接經(jīng)驗(yàn)。

二、靈活變通，梳理內(nèi)容重組學(xué)材

“變通”一詞出自《周易·系辭》“變通莫大乎四時(shí)”。所謂變通，就是依據(jù)不同情況，作非原則性的變動(dòng)。實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的第二次倒轉(zhuǎn)——學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，教師要遵循學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維水平以及數(shù)學(xué)本身的邏輯結(jié)構(gòu)，根據(jù)需要，靈活地對(duì)學(xué)材進(jìn)行變通重組。

（一）圖例呈現(xiàn)形式的微調(diào)

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要載體，但教材中個(gè)別圖例相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)，是編者理解和想要表達(dá)的思維結(jié)構(gòu)，而教師教學(xué)時(shí)需要分析學(xué)情，結(jié)合自己的教學(xué)思考，進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁Y源重組。

在教學(xué)“萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，教材主題例題選用的是大寫(xiě)的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)——一組農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量的主題圖（如圖1）。

圖1

編寫(xiě)思路是從文字符號(hào)到數(shù)字符號(hào)。筆者認(rèn)為，認(rèn)識(shí)大數(shù)，學(xué)生通過(guò)“讀”文字?jǐn)?shù)字是讀不出什么數(shù)感的，幼兒園的孩子只要識(shí)字也可以讀出文字來(lái)，但只是讀文字，對(duì)數(shù)的大小仍無(wú)法識(shí)別，而且農(nóng)業(yè)生產(chǎn)離城區(qū)的學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)又比較遠(yuǎn)。所以，筆者對(duì)學(xué)材進(jìn)行了重組。重組后，把圖例變成了2021年全國(guó)第七次人口普查的相關(guān)數(shù)據(jù)（如下頁(yè)圖2），收集了學(xué)生比較熟悉的區(qū)、市、省人口的近似數(shù)，讓學(xué)生從地域的大小和數(shù)位的多少來(lái)初步感知人口數(shù)的多少。從中學(xué)生還能很快調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)一長(zhǎng)串阿拉伯?dāng)?shù)字組成的多位數(shù)產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突和學(xué)習(xí)需求，想去嘗試、去挑戰(zhàn)，激發(fā)了學(xué)習(xí)的興趣。學(xué)生在讀數(shù)、認(rèn)數(shù)中，了解掌握人口數(shù)據(jù)，為進(jìn)行當(dāng)?shù)氐纳钜?guī)劃提供了第一手參考數(shù)據(jù)，體會(huì)到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義。

圖2

（二）內(nèi)容先后順序的調(diào)換

學(xué)習(xí)內(nèi)容的先后順序并不是一成不變的，教師可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，理順關(guān)系，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化重組。

例如，“三角形”的教材單元內(nèi)容安排順序依次是：三角形的初步認(rèn)識(shí)、三邊關(guān)系、內(nèi)角和、分類(lèi)。教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”驗(yàn)證猜想是否是“180°”時(shí)，為了有說(shuō)服力，應(yīng)涉及所有類(lèi)型的三角形，而不應(yīng)是特殊的少數(shù)幾個(gè)。因此在教學(xué)時(shí)，筆者調(diào)整了教學(xué)順序，將“三角形的分類(lèi)”調(diào)到“三角形內(nèi)角和”的前一課時(shí)。后面在查閱各種版本的教材時(shí)發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)教材教學(xué)內(nèi)容安排與筆者的觀點(diǎn)不謀而合。

（三）課時(shí)板塊結(jié)構(gòu)的重組

課時(shí)內(nèi)容也需要教師認(rèn)真、精準(zhǔn)地分析，板塊要進(jìn)行結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，要把關(guān)聯(lián)性大的內(nèi)容劃分到一個(gè)課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比遷移，這樣可以達(dá)到事半功倍的效果。

例如，在劃分“運(yùn)算律”單元主題內(nèi)容課時(shí)的時(shí)候，個(gè)別教師把“加法運(yùn)算律”劃分在一個(gè)板塊，即加法交換律、加法結(jié)合律；把“乘法運(yùn)算律”劃分在一個(gè)板塊，即乘法交換律、乘法結(jié)合律；把乘加混合的單獨(dú)劃分為一個(gè)板塊，即乘法分配律。這樣劃分看上去很好，退一步思考，卻是不太科學(xué)的?！斑\(yùn)算律”屬于“規(guī)律探究”課型，在一節(jié)課中，應(yīng)把規(guī)律相似的放在一節(jié)課，通過(guò)“教結(jié)構(gòu)”“用結(jié)構(gòu)”，通過(guò)類(lèi)比推理，進(jìn)行“類(lèi)結(jié)構(gòu)”學(xué)習(xí)。所以筆者認(rèn)為，這樣設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)板塊更合理一些：把“加法交換律”和“乘法交換律”劃分在一板塊，引導(dǎo)學(xué)生由“a+b=b+a”類(lèi)推到“a×b=b×a”，并且通過(guò)舉例使學(xué)生發(fā)現(xiàn)減法和除法不存在交換律。

同樣的道理，教師可把“加法結(jié)合律”和“乘法結(jié)合律”劃分在一個(gè)板塊，由“（a+b）+c=a+（b+c）”類(lèi)推到“（a×b）×c=a×（b×c）”；而“乘法分配律”含有兩級(jí)不同運(yùn)算，因此可仍然單獨(dú)設(shè)立一個(gè)板塊。具體單元重組如表1。

表1 運(yùn)算律：課時(shí)板塊結(jié)構(gòu)重組

三、對(duì)比融通，構(gòu)建聯(lián)系編織網(wǎng)絡(luò)

醫(yī)學(xué)上有句話叫“痛則不通，通則不痛”。學(xué)習(xí)中的道理也一樣，教師的主要教學(xué)任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生打通困惑點(diǎn)、領(lǐng)悟關(guān)鍵點(diǎn)、捕捉鏈接點(diǎn)。

（一）對(duì)比分析，打通困惑點(diǎn)

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，常會(huì)受到知識(shí)“負(fù)遷移”的干擾，會(huì)產(chǎn)生一些困惑的、糾結(jié)不清的問(wèn)題。這時(shí)，教師要在第一時(shí)間去指點(diǎn)迷津，幫助學(xué)生掃清學(xué)習(xí)障礙，這樣利于學(xué)生積累更豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

例如，在學(xué)習(xí)了“運(yùn)算律”后，學(xué)生基本能理解五大運(yùn)算律的意義，并能熟練、正確地選擇相應(yīng)的方法進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。學(xué)生從“加法交換律”聯(lián)想到“乘法交換律”，又從“加法結(jié)合律”聯(lián)想到“乘法結(jié)合律”，構(gòu)建了加法運(yùn)算律的知識(shí)結(jié)構(gòu)及方法結(jié)構(gòu)，形成了正遷移。由此，學(xué)生又從“乘法分配律”想到：是否會(huì)存在“除法分配律”呢？在后續(xù)的計(jì)算中，學(xué)生容易“跟著感覺(jué)走”，而不小心“入坑”。發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象后，教師自己先要搞明白——“為什么除法用分配律有時(shí)靈，有時(shí)不靈呢？”再耐心引導(dǎo)學(xué)生理解道理。

例如，“（360+42）÷6”就可以用所謂的“除法分配律”來(lái)完成計(jì)算：（360+42）÷6=360÷6+42÷6=60+7=67，但“100÷（20+5）”就不能寫(xiě)成“100÷20+100÷5”。這是為什么呢？原來(lái)，類(lèi)似“（a+b）÷c=a÷c+b÷c”，等號(hào)左右兩邊的分配標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有變，可以變式為乘法來(lái)理解；而反過(guò)來(lái)“a÷（b+c）≠a÷b+a÷c”，因?yàn)榍昂蟮姆峙錁?biāo)準(zhǔn)被改變了。這樣，學(xué)生理解了數(shù)學(xué)道理，就會(huì)避開(kāi)“負(fù)遷移”的干擾。

（二）異中求同，領(lǐng)悟關(guān)鍵點(diǎn)

數(shù)學(xué)問(wèn)題看似千變?nèi)f化，但其間好多道理是相通的。教師要引導(dǎo)學(xué)生去歸納、發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)行“類(lèi)結(jié)構(gòu)”學(xué)習(xí)。

例如，“行程問(wèn)題”需要把握三要素：出發(fā)點(diǎn)、速度和方向。如圖3 所示，教師可先從學(xué)生熟悉的兩地“相向”而行的典型問(wèn)題，然后再類(lèi)推到同時(shí)、同地“相背”而行問(wèn)題和只是方向不同，但都是求路程和問(wèn)題；從開(kāi)放路線到封閉路線，把環(huán)形跑道沿出發(fā)點(diǎn)或相遇點(diǎn)剪開(kāi)，化曲為直，正好對(duì)應(yīng)著直線的“相向而行”或“相背而行”；從“一次相遇”一個(gè)全程，到“二次相遇”行三個(gè)全程。這樣異中求同，循序漸進(jìn)，借助線段圖或動(dòng)態(tài)演示幫助學(xué)生理解領(lǐng)悟。

圖3

（三）同中求異，捕捉鏈接點(diǎn)

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題看似相同，但是其中一些細(xì)微的變化學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)，這時(shí)就需要教師引導(dǎo)學(xué)生斟詞酌句，同中求異，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

例如，“植樹(shù)問(wèn)題”可分為三種情況：兩頭都不植、兩頭都植、一頭植一頭不植。教學(xué)時(shí)，教師要整體引入，讓學(xué)生既見(jiàn)“樹(shù)木”，又見(jiàn)“森林”。有位教師這樣設(shè)計(jì)了兩個(gè)活動(dòng)。

活動(dòng)一：五（1）班每隔5 米植一棵，植了20 米，從頭開(kāi)始栽。五（1）班植了多少棵樹(shù)？

活動(dòng)二：五（2）班接著五（1）班繼續(xù)每隔5 米栽一棵樹(shù)，植了20 米。五（3）班接著五（2）班繼續(xù)每隔5 米植一棵樹(shù)，植了20 米，盡頭安裝路燈。五（2）班和五（3）班分別植了幾棵樹(shù)呢？

同樣是20 米距離，通過(guò)畫(huà)圖學(xué)生發(fā)現(xiàn)（如圖4），植的棵數(shù)卻不一樣。但學(xué)生三年級(jí)已有了“間隔排列”的知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，通過(guò)“一一對(duì)應(yīng)”他們不難發(fā)現(xiàn)：五（1）班屬于“兩頭都植”的情況，棵數(shù)=間隔數(shù)+1；五（2）班屬于“ 一頭植一頭不植”的情況，棵數(shù)=間隔數(shù)；五（3）班屬于“兩頭都不植”的情況，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

圖4

總之，教師不僅要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系了然于心，還要靈活地結(jié)合學(xué)情和教材編寫(xiě)情況進(jìn)行變通，因材施教，因?qū)W制宜，有效地提升學(xué)生的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維，使他們獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力。