新課標指引下小學低年級圖象表征促進數學理解力探究

周冰嫻

（蘇州市勞動路實驗小學校，江蘇 蘇州 215000）

“雙減”政策，對于低年級教師來說是充滿挑戰的，一二年級不允許布置家庭書面作業，如何做才能“提質增效”成為教師們的難題。首先就要摒棄之前“刷題”制勝的方法，把課堂40 分鐘有效利用起來。精講例題，注重教學方法的講解，從提高學生的理解力入手，減負增效提高教學質量。說起來容易做起來難，那到底怎么提高教學質量呢？教師可以借助圖像表征讓抽象的數學可視化，使學生理解數學的本質，在畫圖的過程中促進數學理解力的發展，從而達到抽象、推理、建模的過程。

一、定義

表征是認知心理學的概念之一，指信息或知識在心理活動中的表現和記載的方式，是外部事物在心理活動中的內部再現。為了交流研究數學概念，必須對數學的概念作出表征，表征是用某種形式表達數學概念或關系的行為，也指形式本身。

二、小學低年段圖像表征的現狀

在探索低年段圖像表征現狀時，筆者采用了調查問卷、訪談等方法，從學生、教師、教材分析，有以下幾點現狀。

（一）教學忽略本質

小學低年級的數學知識看似是簡單的，有的孩子幼小銜接已經學過了一二年級的內容，導致現在的孩子們到了小學已經是“不教就會”的狀態。教師發現學生已經會做題了，就不研究教學方式，更多的是把教學內容放在拓展提高上，讓學生發展更高階的思維。孰不知，這些看似簡單的知識他們并非完全掌握，學生對知識理解只是浮于表面，對于其邏輯根據、思想方法和價值意義卻不一定知曉。如，在一二年級的教學內容中，很多需要擺一擺、畫一畫的活動如果不讓學生操作后思考，學生就缺少了活動經驗的積累，對數學沒有從本質上理解。

在2022 版課標中，明確提出要重視知識本質的教學。只有注重知識的本質才能讓學生的思維走得更高、更遠。因此，教師不能因為知識簡單就忽略了本質的教學。

（二）畫圖意識淡薄

筆者對一年級兩個班進行了前測，布置了一些需要用畫圖的策略解決的問題，發現個別學生已經有了一些用畫圖的方法解決問題的能力，這幾個學生平時成績都比較優秀，但大部分學生還沒有用畫圖解決問題的意識，看到題目就不知道從何下手，就寫下了一個錯誤答案，下面留白區域一片空白。后來筆者問這個學生：“這道題你是怎么想的？”他說：“我不知道怎么做，也就是他不知道可以用畫圖的策略解決。”還有個學生想到要畫圖解決問題，但是他畫出來的和題中描述的條件完全不同。筆者認為用畫圖策略解決問題的能力需要教師有意識地進行培養，并隨著教學進度設計一系列畫圖練習，才能讓學生掌握把數學語言和圖像表征互相轉化的能力。

（三）思考模式受限

低年級學生的思維特點是以形象為主。而教材多以文字和數字編排，即使有情境圖的支撐，也不足以在抽象的數學知識與學生的形象思維之間建立聯系。比如，在低年級學習解決實際問題時，課本上都是幾段話描述怎么想的，但是對學生來說還是過于抽象了。如果能在書本上有表示數量關系的線段圖，更有利于學生理解數量關系，解決實際問題。而運用圖像表征分析問題、解決問題、表達概念、表達個人思考、輔助數學學習，本質上就是把思維可視化。

圖像表征，正是一個好的數學學習工具，在低年級學生擅長的形象思維與數學課本抽象的數學知識之間，建立起一座橋梁。

三、提效小學低段學生數學理解力的路徑

基于現狀，結合實踐，筆者認為利用圖像表征促進小學低段學生理解力的實施中可以采用以下策略：

（一）活用畫圖策略，促進教學并軌

1.畫圖，理清數量關系

在解決問題時，理清數量關系是關鍵步驟，用畫圖的方法理清數量關系是一個好方法。筆者以廓線圖和線段圖為例，除了這兩種圖，還可以用其他圖表示數量關系。

（1）畫廓線圖

低年級的數量關系是解決問題的基礎，其中一年級的數量關系以：部分數+部分數=總數，總數-部分數=部分數為主。那么怎么幫助學生理清這種數量關系呢？從上學期的一圖四式，到后來的看圖列式，最后看文字列算式，都是把總數分成了兩個部分。

求總數就只要把兩個部分的數合起來，要求其中的一部分只要用總數去掉另外一部分。都是用了這兩個數量關系式。

在解決問題時難點是分析數量關系。如，一共領走44 袋牛奶，還剩20 袋，原來有多少袋牛奶？這是典型的求被減數的實際問題。很多小學生都會用減法來做。因為看到了“領走”“還剩”等詞語，在他們印象里這都是和減法相關的詞。但是如果把它畫成廓線圖就會發現，原來有的牛奶被分成了兩個部分，一個部分是被領走的44 袋，還有一個部分是還剩的20 袋，要求原來有多少袋牛奶？其實是求一個總數，也就是要用加法解決。

如果學生學會畫廓線圖，只要把已知條件和問題找到，把它們填進去，就能很快分析出數量關系了。然而會用廓線圖的小學生寥寥無幾，于是筆者專門在課后增設了一次廓線圖畫法的教學，讓學生先畫出廓線，然后找到題中的條件和問題，再把條件問題填進廓線圖中，在問題上標注問號。畫好后讓學生互相討論自己是怎么畫的。有的學生說，只要先找到總數的量，然后再找其他兩個部分就好找了。課后筆者還讓學生自己選擇兩道加減法解決問題并畫出它的廓線圖，鞏固廓線圖理解數量關系。

包括易錯題中的常客“買東西”題也可以用廓線圖理解。如，小紅付了30 元，找回2 元，她買了什么？經過教學，學生對于“付出的錢”“找回的錢”“物品的價錢”這三者的數量關系很難理清，因為電子支付的普及，學生對人民幣的認知少之又少，更沒有買東西的經驗，脫離了他們的生活。于是筆者根據一次買東西的實例，把這三者畫成了廓線圖，讓他們知道，付出的錢是總數，被分成了兩個部分，一個部分是找回的錢，另一個部分是物品的價錢。

經過這樣的分析以后，學生就知道了要求物品的價錢就是求一個部分數，只要用付出的錢減找回的錢就行了。這個廓線圖是最基本的數量關系建構模型，需要學生學會畫，因此在指導學生做題時，把它對應的廓線圖畫在旁邊，讓他們練習畫圖的同時，理清數量關系。

（2）畫線段圖

雖然從三年級開始才接觸用畫線段圖的策略解決實際問題，但是一二年級已經出現了可以用畫線段圖解決的問題了。在二年級上冊學習“求比一個數多或少幾的數”時，就出現了線段圖，學生能找到已知條件和問題：楊樹有39 棵，松樹比楊樹多16 棵，松樹有多少棵？能通過觀察線段圖發現數量關系，楊樹有39棵+比楊樹多的16 棵=松樹的數量。為了讓學生掌握簡單的線段圖，筆者在課后編寫一道類似的數學題，并畫出它的線段圖。有的學生以自己和同學的“智慧星”數量出題，也有學生以自己和父母的年齡出題。學生在畫的時候因為是自己感興趣的問題，所以積極性很高。

因此在二年級就讓學生接觸簡單的線段圖畫法，這樣到了三年級就不會出現斷崖式教學了。畫線段圖的策略應該盡早讓學生熟悉。一年級就出現的廓線圖其實是線段圖的前身，所以之前說的讓學生會畫廓線圖也是為之后畫線段圖做準備的。廓線圖——簡單的線段圖——線段圖，這樣鋪墊一下教學效果更佳。

2.畫圖，理解數學概念

數學概念往往抽象難理解，比如認識時間，1 時=60 分，1 分=60 秒。為什么它們之間的進率是60？為什么1 天24 時。這些概念對二年級學生來說太難理解了。因為他們現在看到的都是電子鐘，沒有鐘面，因此對于認識時間的學習他們沒有生活經驗。然后筆者想出了一個可以試著自己畫鐘面的方法。學生對“畫鐘”很感興趣，他們用了各色彩筆畫了1 到12 的數字，用紅色表示1 大格，知道了一圈有12 大格。用綠色表示1 小格，知道了1 大格里有5 小格，1 圈里有60 小格，也就是1 時=60 分。用長長的紙條表示分針、短短的紙條表示時針，知道了分針長時針短。他們在“畫鐘”時，對時間的概念有了更深刻的理解。畫好以后，還能撥一撥，對時間的概念掌握得更牢固。

再比如，怎么理解“余數比除數小”呢？在學習有余數的除法時，學生計算經常出現余數比除數大的情況。如：16÷4=3……4 這為什么是不對的呢？這是因為二年級學生以形象思維為主，對抽象概念的理解是困難的。因此在教學例題時，讓學生畫一畫圈一圈，15÷4，把15 根小棒每4 根一份，可以圈出3 份多3 根，如果再多1 根小棒，16÷4，發現3 份多了4 根，4 根又可以圈出一份，這時候就是4 份。在圈畫的過程中，學生理解了為什么16÷4=3……4 是不對的，也就是因為余數要比除數小，達到通過圖像表征促進學生理解數學的抽象概念的目的。

3.畫圖，整理知識體系

學生的知識是不成整體的，碎片化的知識有容易被遺忘的特點。就像一根筷子容易被折斷，而一捆筷子不容易被折斷是一樣的道理。數學知識是系統的一個整體，知識與知識是有聯系的。筆者認為現在要做的是把他們的知識點串聯起來，不能拘泥于知識本身的教學，要多關心知識的來源、類型差異、共同屬性以及知識之間的組織結構。低年級學生的思維發展還在具體運算階段，要讓他們獨立完成一張思維導圖是比較困難的。在單元復習時，教師可以在課上進行思維導圖生成，一邊引導學生回憶知識，一邊利用希沃白板的思維導圖功能簡單生成一個思維導圖，或者直接在黑板上書寫導圖。如果每個單元都這樣堅持下去，到了中年級，學生就能自己整理知識體系。運用思維導圖有利于促進學生形成知識之間的組織結構，促進學生理解力的提高，讓學生的思維變得更廣闊。

（二）創設畫圖練習，貫穿數學理解

認識圖形，圖形雖然是形象的，但是學生的空間想象能力還沒有發展到一定程度。這就需要教師不斷地創設畫圖練習，加深對數學概念的理解。

1.巧畫，重視教材習題

如三年級學的《認識周長》，一直是學生們的重災區。經常聽見教師對學生說“你們畫圖”，但是學生就是不畫。為什么會這樣呢？還是追根溯源到一二年級的認識圖形，是不是也存在斷崖式教學呢？從一年級下認識長方形、正方形開始就要求學生在方格圖上畫圖形了。但是在課本上并沒有重視畫法，只是讓學生認圖形數圖形。到了二年級上開始畫線段和在點子圖里畫平行四邊形，認識了“七巧板”并運用七巧板拼出不同的圖形。

2.常畫，積累畫圖經驗

只要功夫深，鐵杵磨成針。只有不斷地練習，才能讓學生獲得畫圖這一能力。要把數學語言表征轉化成圖像表征是需要建立在理解的基礎上的，需要教師在平時就讓學生畫一畫，這樣學生才能真正地理解。教師在抱怨學生沒有按照教師規定的要求做之前，是不是要反省一下，有沒有把方法教給他們呢？經過畫圖練習，才能讓圖像表征促進學生理解力的發展。

（三）設計特色作業，提升學習內驅

為了給學生創造一個多元的評價平臺，教師可以把圖像表征和特色作業結合起來，既能提高學生學習數學的興趣，又能在圖像表征中促進學生的理解力，一石二鳥何樂不為呢？

1.平時作業：數字開花

本學期是特殊的，因為疫情，學生有兩個月時間在家里線上學習。因此，學習《認識100 以內的數》時，筆者很擔心能不能把數的組成學好，又擔心學生會不會因為在家沒有學習氛圍所以沒有學習動力。于是筆者設計了《數字開花》這個作業，先畫一朵花，在花蕊中寫上自己喜歡的數字，然后在花瓣上可以寫上這個數字的組成，或者一句話。比如，47,4 個十和7 個一合起來是47，或者畫上47 的計數器圖，或者寫上比46 大，比48小的數，或者個位上是7，十位比個位小3 的數等。只要寫上一句是這個數字的話就可以了。讓畫和數相結合，能讓學生更好地理解數的組成，也提高了學習興趣。

這份作業是比較容易完成的，可以利用雙休日完成，不占用太多時間，也讓孩子體會到畫數學的樂趣。

2.假期作業：快樂的一天

學生對時間的概念是模糊的，在寒假里讓學生將鐘面的繪制與一天的生活結合起來，為自己的一天畫一張圖。學生通過觀察鐘面時針、分針的變化，無形中對時間有了更深刻的理解。因為要畫一天中的時間，讓學生對時間產生了濃厚的興趣，既鍛煉了學生的觀察能力，同時也鍛煉了學生的畫圖能力。下次再遇到鐘面馬上能聯想到這次作業。

這份作業可以在假期里完成，假期相對而言時間較多，可以利用假期讓學生鞏固學期中學習比較困難的內容。

四、結語

學生在解決實際問題時常常找不到數量關系，其實只要通過畫線段圖這些問題就迎刃而解了。學生在認識圖形時常常不能理解其概念，其實只要常畫、巧畫，定能幫助學生進一步理解圖形的概念。數學理解力和圖像表征是互相促進的關系，只有理解了數學概念才能把它轉化成圖像表征，相反通過圖像表征的方式才能促進學生理解數學概念，實現表征之間的轉化和建立表征之間的聯系。通過圖像表征促進低年級學生的理解力，是當前“雙減”背景下提質增效不可或缺的關鍵。