培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的策略*

張慧榮

（黃岡師范學(xué)院 湖北黃岡 438000)

一、問題提出

肯尼思·H·胡佛：“整個(gè)教學(xué)的最終目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生正確提出問題和回答問題的能力，任何時(shí)候都應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生提問。”[1]中國頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確強(qiáng)調(diào)，培養(yǎng)學(xué)生提出問題能力的重要性。2017年，頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出六大核心素養(yǎng)，要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度提出有價(jià)值的問題。研究發(fā)現(xiàn)，“問題提出”直接影響學(xué)生的創(chuàng)造力、非認(rèn)知能力、溝通表達(dá)能力和解決問題能力等。

近年來，問題提出受到許多研究者的關(guān)注，但在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，問題提出教學(xué)并未受到足夠的重視，課堂中的落實(shí)情況相較于問題解決仍有很大差距。[2]從現(xiàn)有研究總結(jié)出，影響學(xué)生問題提出能力的因素有：學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力、非智力因素、逆向思維、自我反思、元認(rèn)知訓(xùn)練、教師課堂提問、設(shè)置問題情境等。學(xué)生問題提出能力的發(fā)展既要依靠自身，又要依賴教師的引導(dǎo)。結(jié)合以上影響因素，提出以下教學(xué)策略：創(chuàng)設(shè)情境、引領(lǐng)提問，整合信息、有效提問，變式教學(xué)、引發(fā)重問，回顧梳理、反思自問。本文立足等差數(shù)列內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的主體意識，培養(yǎng)學(xué)生批判質(zhì)疑與勇于探究的精神，培養(yǎng)學(xué)生問題提出能力和創(chuàng)新能力的協(xié)調(diào)發(fā)展。

二、問題提出的教學(xué)原則

啟發(fā)性原則要求教師了解學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，把握學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考問題。例如，一牧羊人趕著一群羊過關(guān)口，第一個(gè)關(guān)口留下1只，第二個(gè)關(guān)口留下3只，第三個(gè)關(guān)口留下5只，第四個(gè)關(guān)口留下7只……學(xué)生們可能會(huì)提出“第八個(gè)關(guān)口留下幾只羊”“前十個(gè)關(guān)口總共留下幾只羊”“每個(gè)關(guān)口之間留下的羊的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系”的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生經(jīng)過一系列相應(yīng)的思維活動(dòng)，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)主動(dòng)性，提供學(xué)生更多思維的空間與可能性，從而更好地探索問題。

循序漸進(jìn)原則是指教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該按照從易到難，從簡到繁的順序安排。教師在問題提出教學(xué)過程中，不能設(shè)置難度梯度與學(xué)生認(rèn)知不匹配的內(nèi)容。例如，教師依據(jù)上述例題，可以提出一系列漸進(jìn)性的問題：學(xué)生們能否得出一個(gè)數(shù)列并表示出來；觀察該數(shù)列有什么特征；什么是等差數(shù)列；怎么推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式等。教師確保提問步驟與學(xué)生認(rèn)知水平相一致，以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使學(xué)生更好地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識。

互動(dòng)性原則要求教師營造出師生交流、生生互動(dòng)的輕松、民主的課堂氛圍。例如，學(xué)生可能會(huì)問任意數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？等差數(shù)列的公差必須是正數(shù)嗎？已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，通項(xiàng)公式怎么表示呢？該數(shù)列的任意一項(xiàng)能表示出來嗎？教師采取邊教學(xué)邊反饋的方式，迅速地明了學(xué)生理解新知識的程度，給予適時(shí)引導(dǎo)，以便學(xué)生能比較、想象、推理、質(zhì)疑、爭論、論證問題，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)造問題的能力。

合理性原則要求教師在教學(xué)中設(shè)置具體明確的教學(xué)目標(biāo)；創(chuàng)設(shè)學(xué)生易接受的問題情境，在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”啟發(fā)誘導(dǎo)；例題選取要把握好一定梯度，控制問題的數(shù)量，引導(dǎo)學(xué)生抓住重難點(diǎn)；教師提問時(shí)機(jī)要恰當(dāng)，當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，教師應(yīng)合理地運(yùn)用語言和肢體動(dòng)作暗示學(xué)生；學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)提出問題，教師需要思考哪些問題無意義、哪些問題需要分析、哪些問題需要優(yōu)化再處理，如何合理地引導(dǎo)學(xué)生解決自己提出的問題。

三、培養(yǎng)策略

從曾小平、王逸卿、張丹、吳正憲等學(xué)者的研究來看，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ɑ虿呗詠硪龑?dǎo)學(xué)生提問，對學(xué)生問題提出能力的培養(yǎng)有直接的影響。[3-5]因此，教師在備課時(shí)，提前準(zhǔn)備好提問內(nèi)容，預(yù)先假設(shè)學(xué)生可能會(huì)問的問題。課堂教學(xué)引入環(huán)節(jié)，教師可以借助問題情境或類比引入。例如，在概念形成過程中，誘導(dǎo)學(xué)生通過連續(xù)提問來獲得概念，鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，引領(lǐng)學(xué)生對問題變式；教學(xué)反思環(huán)節(jié)，不斷改進(jìn)教學(xué)方法和提問方法。

1.創(chuàng)設(shè)情境、引領(lǐng)提問

問題源于情境，沒有情境就沒有問題，創(chuàng)設(shè)問題情境是引領(lǐng)學(xué)生提問的重要策略之一。創(chuàng)設(shè)的問題情境應(yīng)立足于現(xiàn)實(shí)生活、符合學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，要富有趣味性、能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲，要喚醒學(xué)生的問題意識，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地挖掘知識，培養(yǎng)主體意識，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，多角度、多層次地提出問題。

例1，學(xué)術(shù)報(bào)告廳有 8排座位，第一排的座位數(shù)是 12，從第二排起，后一排比前一排多3個(gè)座位，每一排座位數(shù)分別是多少？容易得出各排的座位數(shù)依次為12、15、18、21、24、27、30、33。

例2，小王在支付寶存了10000元，七日年化利率為2.01%，將10000元分別存1天，2天，3天，…，365天，你能提出什么問題？能夠解決嗎？學(xué)生可能會(huì)提出：①每天得到的本利和分別是多少？②每天的本利和之間有關(guān)系嗎？③100天后能得到多少錢？對于問題①學(xué)生寫出1000+0.55，1000+0.55×2，1000+0.55×3，…，1000+0.55×365。對 于問題②，學(xué)生通過觀察得出每個(gè)月本利和之間都差一個(gè)相同的常數(shù)0.55。學(xué)生發(fā)現(xiàn)例1、例2兩個(gè)數(shù)列有共同的特征即數(shù)列都是數(shù)字組成的且有一定的順序性，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出：從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)間的差值是相同常數(shù)的數(shù)列就是等差數(shù)列，常數(shù)叫做公差。對于問題③，師生共同探討，引出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的課題。教師引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成多觀察、勤思考、多存疑、多質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣，才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的問題提出能力。

2.整合信息、有效提問

教師提出的問題要有價(jià)值、有深度、符合學(xué)生的認(rèn)知水平。有效的提問可以激發(fā)學(xué)生的興趣，幫助他們形成正確的觀念，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己存在的不足。為了有效地培養(yǎng)學(xué)生的問題提出能力，教師要在課堂教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，逐步提高學(xué)生的語言表達(dá)能力和觀察分析能力，使得學(xué)生提取和組合相關(guān)信息，找出信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，以便合理地提出問題。

高斯在10歲時(shí)快速算出了：1+2+3+…+100=？教師發(fā)問：這是什么類型的問題？高斯是怎樣快速算出答案的？學(xué)生獨(dú)立思考后與同伴交流，發(fā)現(xiàn)該問題是求等差數(shù)列前100項(xiàng)和，他通過配湊成50組101算出答案的。學(xué)生可能會(huì)問：若總共99項(xiàng)應(yīng)該如何配對？若是有n項(xiàng)怎么配對？能用“首尾配對法”求等差數(shù)列1、2、3…n的前n項(xiàng)和嗎？

教師給予學(xué)生充分的思考時(shí)間，學(xué)生與同伴探討后，可以發(fā)現(xiàn)99項(xiàng)在配對成49組100后余下一個(gè)等差中項(xiàng)50，那么對于有n項(xiàng)的數(shù)列，學(xué)生會(huì)想到分類討論。

當(dāng)n為偶數(shù)，

當(dāng)n為奇數(shù)，

教師追問：分類討論比較麻煩，能用其他方法解決嗎？引導(dǎo)學(xué)生逐步得出“倒序相加法”，將其轉(zhuǎn)化為求n組（n+1）的和。教師提問：上述方法具有一般性嗎？能否將其推廣到求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和嗎？等差數(shù)列{an}公式有什么特點(diǎn)嗎？等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)公式和還有其他表示形式嗎？你還有其他方法嗎？教師通過設(shè)計(jì)問題串，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度自然而然地推導(dǎo)出等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式，從而進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生再次審視和認(rèn)識公式，加深對于相關(guān)知識的理解。

3.變式教學(xué)，引發(fā)重問

“一題多變”是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中經(jīng)常用到的變式形式。教師改變原題目的條件或結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生反思并提出新的數(shù)學(xué)問題。變式教學(xué)能夠有效地鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促使學(xué)生理解和掌握知識點(diǎn)，有利于學(xué)生多角度、多層次地分析問題。這也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題能力的有效措施。

等差數(shù)列{ an} 中，3 (a1+a3)+2 (a6+a8+a10)=108，該數(shù)列的前9項(xiàng)和為？學(xué)生用常規(guī)方法解決：3 (a1+a3)+2(a6+a8+a10)=108，∴ 6a2+6a8=108，∴ a2+a8=18，∴ S9=9(a1+a9)/2=9(a2+a8)/2=81.教師帶領(lǐng)學(xué)生探究第二種解法，∵3×(1+3)+2×(6+8 +10)=60=12×5，∴ 3 (a1+a3)+2 (a6+a8+a10)=12×a5=108，∴ a5=9，∴ S9=9a5=81.生：為什么是“12×5”，不能是“10×6”或“20×3”嗎？學(xué)生經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)后兩種都是不成立的，但仍不知其所以然。教師對該題變式：①等差數(shù)列{ an}中，a2+2（a5+a9）=10，該數(shù)列的前11項(xiàng)和為？∵2+2×（5+9）=30=5×6，∴a2+2（a5+a9）=5×a6=10，∴ a6=2，S11=11a6=22.學(xué)生發(fā)現(xiàn)這里是“5×6”，心中隱隱有些猜想“12”“5”可能與等式左邊的項(xiàng)數(shù)保持一致。教師繼續(xù)變式：②等差數(shù)列{ an}中，4（a3+a4）+3（a4+a6+a9）=51，該數(shù)列前9項(xiàng)和為？學(xué)生用此方法解決了問題，驗(yàn)證了猜想，得出推論：在等差數(shù)列{ an} 中，p，q，r，s∈N*，若有 p+q+r=3s，則 ap+aq+ar=3as.追問道這種方法能解決其他問題嗎？具有一般性嗎，能繼續(xù)推廣嗎？學(xué)生提出變式題：③等差數(shù)列{ an} 中，a2+a5+a7+a8=22，則a8+a3=？④等差數(shù)列{ an} 中，S6=21，則a2+a5+a8為？學(xué)生經(jīng)過計(jì)算可知推論是適用的，因此，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出，在等差數(shù)列{ an} 中，Xi∈N*，i=1，2，3，…，n，若有 X1+X2+X3+…+Xn=nXm(m∈N* 且 1≤m≤n)，則 aX1+aX2+aX3+…+aXn=naXm.教師通過變式題引導(dǎo)學(xué)生從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變的本質(zhì)”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究其規(guī)律，領(lǐng)悟問題的實(shí)質(zhì)。

4.回顧梳理，反思自問

在上完一節(jié)課后，教師需要不斷地反思創(chuàng)設(shè)的問題情境是否合理，是否能激發(fā)學(xué)生的好奇心，是否給學(xué)生充分的思考和實(shí)踐的空間，如何讓學(xué)生自由地分享他們的好奇與困惑，如何使學(xué)生成為提問的主體，如何鼓勵(lì)學(xué)生提出有價(jià)值的問題，如何讓學(xué)生準(zhǔn)確地表達(dá)問題，如何引領(lǐng)學(xué)生自主解決問題。學(xué)生在教師的鼓勵(lì)下反思自己的學(xué)習(xí)過程：自己是怎么想到提出這個(gè)問題的？從哪個(gè)點(diǎn)提出的問題？怎么提出的問題？提出的問題有意義嗎？提出的問題明確嗎？誰的問題比自己的好？好在哪里？經(jīng)過這樣的梳理反思過程，學(xué)生方可提出更多新的數(shù)學(xué)問題。例如，在學(xué)完等差數(shù)列定義后，學(xué)生問若數(shù)列 {an} 是等差數(shù)列，公差為 d，則數(shù)列 {a2n}，{a3n}，{5an}是不是等差數(shù)列？如果是，首項(xiàng)和公差分別是多少？通過回想反思，學(xué)生會(huì)對數(shù)學(xué)知識有更深刻的理解和感悟，從而能夠提出更具有探索性和拓展性的數(shù)學(xué)問題。教師需要不斷地改進(jìn)教學(xué)方法，注重教學(xué)形式多樣化，營造輕松的課堂氛圍，尊重和肯定勇敢提問的學(xué)生，才能達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

四、建議

教師必須要轉(zhuǎn)變教育觀念，改變傳統(tǒng)的“一言堂”的教學(xué)形式，以學(xué)生為主體展開教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，開拓學(xué)生思維的廣度，引導(dǎo)學(xué)生敢于質(zhì)疑。其次，教師要做到讀懂和理解教材中教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，透徹地掌握教材中的重難點(diǎn)，指引學(xué)生走出教材、拓展思維。最后，教師要給予學(xué)生充分的信任和重視，對于學(xué)生所提出的每個(gè)問題都要及時(shí)、耐心解答，對于超出自身能力范圍的問題，可以與學(xué)生一起探討解決。

學(xué)生首先要樹立正確的學(xué)習(xí)觀念，勤思考，多提問。其次，學(xué)生應(yīng)該樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的堅(jiān)強(qiáng)意志，細(xì)致而耐心地鉆研難題，對不懂的、有疑問的知識，在獨(dú)立思考后，可以提出自己的問題，尋求教師幫助。最后，學(xué)生應(yīng)具備良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣：課前預(yù)習(xí)找出疑惑，課中答疑，課后復(fù)習(xí)時(shí)不斷對所學(xué)內(nèi)容再思考并產(chǎn)生新問題，練習(xí)作業(yè)題時(shí)不要只求得到正確答案，而是嘗試一題多解，尋找最簡便的方法，甚至改變已知條件做到一題多變。學(xué)生只有不斷地進(jìn)行多維度的思考、分析和質(zhì)疑的訓(xùn)練，才能提升自己的問題提出能力。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力，不是只依靠一節(jié)課就能完成的，而應(yīng)該貫穿于整個(gè)教學(xué)進(jìn)程；不是一科老師的孤軍奮戰(zhàn)，而是需要每個(gè)學(xué)科老師的同心協(xié)力；不是只要教師引導(dǎo)就能實(shí)現(xiàn)，而是需要學(xué)生積極配合，主動(dòng)鍛煉自己的問題提出能力。