消費者參考質量影響下廠商產品和工藝創新的動態最優控制研究

李壽德

(上海交通大學 安泰經濟與管理學院,上海 200030)

產品創新的目的是為了提高產品的質量[1]以及差異化程度[2],而工藝創新的目的是為了降低邊際生產成本。近年來,國內外研究者對企業的產品與工藝創新進行了大量卓有成效的研究。Lambertini等[3]研究了生產單一產品的壟斷廠商關于產品和工藝創新的最優研發組合,發現企業對兩種投入的相對激勵取決于消費者對質量的支付意愿。Zhong等[4]提出了一個考慮知識積累下產品和工藝創新的動態模型,研究了壟斷企業的最優投入水平和兩種投入之間的關系。Li[5]建立了一個多產品壟斷企業在“干中學”下產品和工藝創新的動態控制模型并研究了最優條件和特點。Zhong等[6]研究了從單一價格制度到二級價格歧視對廠商產品和創新投入以及定價策略的影響。這一系列研究主要集中于討論生產端即廠商行為對其創新投入策略的影響,而忽視了消費者行為因素(消費者參考質量)在廠商運營策略制定過程中的重要作用。參考質量通常是消費者利用過往的消費經驗以及對過去產品質量的觀察等信息形成的心理預期質量,消費者以此為基準與真實質量進行比較,從而對需求產生的影響稱為參考質量影響[7]。尤其是對于線上購物的消費者,他們的購買決定主要受品牌商譽、購物評價和過往經驗等的影響,而這在現有關于廠商創新行為和投入決策的研究中常常被忽略。事實上,消費者的參考質量影響消費者的需求,進而影響企業的創新行為。Chenavaz[8]分析了需求受參考質量影響下企業的動態產品質量策略問題,并討論了參考質量對企業的管理意義。Liu等[9]研究了考慮參考質量下企業的短視行為對產品質量、定價策略和整個供應鏈利潤的影響。Xue等[10]研究了存在質量通貨膨脹時參考質量對聯合定價和動態產品質量投入的影響。孫曉明[11]研究了參考質量影響下的雙渠道供應鏈最優決策問題,比較分析了參考質量對質量和定價策略、制造商和零售商利潤帶來的不同影響。本文將參考質量影響引入到企業創新投入決策的控制問題中,運用動態最優控制理論方法分析廠商實現利潤最大化以及政府實現社會福利最大化兩種情形下消費者的參考質量對企業創新行為的影響,以期提高企業決策的有效性。

1 基本模型

本文的模型可以看作是Li等[12]研究模型的延續和發展。假定在連續時間t∈[0,∞),生產單一產品的廠商以價格p(t)銷售產品,同時進行產品和工藝創新活動(提高產品質量和降低邊際生產成本)。根據Lambertini等[3]的研究,產品質量q(t)和邊際生產成本c(t)隨時間的變化分別服從如下動態過程:

式中:k(t)和h(t)分別為廠商在產品和工藝創新方面的瞬時投入水平;δ>0為產品質量的衰減率,σ>0為生產技術老化等原因導致的折舊率。相應地,根據Li等[12]的研究,產品和工藝創新投入的瞬時成本函數分別為這里,狀態方程式(1)和式(2)是非線性的,而在Li等的研究中采用的是線性狀態方程,即:

下面考慮參考質量問題,參考質量是消費者與現有質量進行比較的基準。根據文獻[13-14]中的研究,在[0,t]時期內,消費者的參考質量可以使用基于歷史經驗質量的指數平滑過程進行模擬,具有衰減的記憶效應,即

其中:r0是初始參考質量;μ>0為記憶參數,μ值越大,意味著消費者越短期的記憶和越低的產品忠誠度[9]。將r(t)的表達式對時間t求微分,可得

式(3)表明,當產品質量超過預期參考質量時,消費者的參考質量將增加,且μ越大,調整速度越快。在穩態時參考質量與產品質量相等。

由于參考質量將對市場需求產生影響,若當前產品質量高于參考質量會促進需求量,反之則抑制需求量。本文假定產品沒有庫存。根據Gavious等[14]的研究,需求函數D(t)受產品價格、產品質量以及參考質量的共同影響,可表示為如下線性形式:

式中:a>0為基本市場潛力;a1>0和a2>0分別是產品價格和產品質量對需求的影響系數;a3>0是參考質量影響系數,衡量消費者對當前產品質量與參考質量差距的敏感程度。

得到消費者的需求函數后,可考慮廠商的瞬時成本函數,根據文獻[3,12]中的研究,廠商的瞬時成本函數為

式中:υq2(t)是使用機器和熟練勞動力生產質量為q(t)的產品的瞬時質量成本;α,θ,υ>0分別是相應的成本系數。

進一步,在連續時間t∈[0,∞),廠商的瞬時利潤函數為

本文假定企業是理性的,即p(t)-c(t)≥0。下面將分別研究在廠商決策和政府調控兩種情形下廠商產品和過程創新投入的穩態均衡及系統的穩定性問題。

2 廠商決策

2.1 最優條件和性質

給定折現率ρ,則在連續時間t∈[0,∞),廠商的目標是尋求價格p(t)以及投入h(t)和k(t),使凈收益折現流Π最大化,即

式中,產品價格p(t)、產品創新投入k(t)和工藝創新投入h(t)是控制變量,產品質量q(t)、邊際生產成本c(t)和參考質量r(t)是狀態變量。初始條件為:q(0)=q0,c(0)=c0,r(0)=r0。這里假定ρ>σ,否則廠商的邊際成本將持續增加,系統不可能存在穩態均衡。式(7)的現值漢密爾頓函數為

式中,λ1(t)、λ2(t)和λ3(t)分別是與狀態變量q(t)、c(t)和r(t)相關聯的共態變量(影子價格)。

根據漢密爾頓函數式(8)可得如下一階條件和共態方程:

相應的一組橫截條件分別為:

由方程式(9)可得廠商的定價條件為

由方程式(14)可得參考質量的共態變量穩定條件下的影子價格,即

進一步,應用定價條件式(15)有

根據一階條件和共態方程,并運用式(16),可以得出廠商產品和工藝創新投入變化的運動方程:

由上式可知參考質量r(t)對兩種創新投入變化率均有影響,而記憶參數μ僅對產品創新投入變化率有影響,將式(17)、(18)對r(t)求導,式(17)對μ求導,可得結論1(證明過程見附錄A):

結論1①意味著在廠商決策情形下,其他條件不變,在連續時間t∈[0,+∞)有:兩種創新投入的變化率隨參考質量的增加而增加;結論1②意味著當=0時,在參考質量的穩態影子價格的鄰域內,隨著記憶參數μ的增大,產品創新瞬時投入的變化率增大,投入變化越快。

2.2 穩態均衡

將上式對μ求導可得:

在其他條件不變的情況下,隨著記憶參數μ的減小、消費者對產品的忠誠度越高時,廠商將增加對產品創新的穩態投入k m。

接下來研究在穩態投入附近當狀態變量q(t)、c(t)和r(t)有微小變動時產生的影響,結果歸納為結論2。

結論2廠商最優情形下,有:

結論2①說明,當Λm(μ)≥0時,產品創新上的穩態投入k m將隨產品質量q(t)的增大而增大,而隨邊際生產成本c(t)和參考質量r(t)的增大而減小。當μ越小、消費者的產品忠誠度越高時,廠商會更加注重產品質量的提高,加大對產品質量的投入從而吸引客戶長期消費。結論2②意味著工藝創新上的穩態投入h m隨著產品質量q(t)的增大而增大,隨著參考質量r(t)的增大而減小,當p(t)≥時,h m隨著邊際生產成本c(t)的增大而增大(減小)。當產品定價較高時,廠商會更加注重生產流程的優化以降低產品的邊際生產成本。

由于狀態變量q(t)、c(t)和r(t)都出現在微分方程式(19)、(20)中,說明廠商的兩種投入是相關的,可以通過微分法找出一種投入對另一種投入的影響。接下來將討論在穩態均衡k m(q,c,r)和h m(q,c,r)附近,兩種投入之間是否存在互補或替代關系,結果如結論3所示。

結論3廠商決策情形下,有:

由于結論3②和3③的解釋與結論3①類似,故在此主要對結論3①進行解釋。當Λm(μ)≥0時,在穩態投入附近,兩者會相互促進。由于Λm(μ)是μ的減函數,當μ越小、消費者的產品忠誠度越高時,產品質量q(t)的增加以及邊際成本c(t)的下降將更有可能增加廠商收益,邊際成本下降時企業的邊際收益增加是顯然的;當產品質量增加時,一方面將促進現有購買者的需求量,另一方面將吸引更多偏好高質量的消費者;消費者愿意為更高質量的產品付出高價格。因此,廠商的總利潤水平將增加。而當μ較大時,消費者的產品忠誠度較低,兩者更可能會相互抑制,產品質量q(t)的增加以及邊際成本c(t)的下降將降低廠商收益。這是由于盡管降低邊際成本將提高邊際收益,但產品質量增加將提高產品的總成本,且消費者此時對于產品質量并不敏感,需求量降低,廠商的利潤水平隨之下降。

接下來將研究在廠商決策情形下廠商創新行為的動態模型是否存在一個穩定的穩態均衡。結合狀態變量運動方程式(1)～(3)以及控制方程式(17)和式(18),可以得到如下控制系統:

通常具有復雜特征值的系統的穩定性取決于雅可比矩陣特征值實部的符號:當所有特征值都有正的實部時,系統是不穩定的;當所有特征值都有負的實部時,系統是穩定的;若至少存在一個特征值具有負實部而其他特征值具有正實部時,該控制系統具有鞍點穩定性。本模型中雅可比矩陣J有5個特征值,無法直接判斷特征值的符號,也很難通過矩陣的跡和行列式進行判斷,因此,按照文獻[3,12]中的處理方法,采用數值模擬以及數值計算的方法進行求解。相應的參數為:①ρ=0.15,δ=0.1,μ=0.2,α=2.5,θ=2,υ=0.15,σ=0.1,a=5,a1=0.25,a2=0.35,a3=0.3;②ρ=0.25,δ=0.2,μ=0.15,α=1.6,θ=1.5,υ=0.15,σ=0.1,a=10,a1=0.2,a2=0.3,a3=0.25。

令ζτ為矩陣J的特征值,τ=1,2,…,5,使用參數①中的數據求解得到

用同樣的方法使用參數②中的數據進行求解,可得

對于可行的參數進行重復操作,發現特征值ζ1、ζ2和ζ3具有正實部,而ζ4和ζ5具有負實部。因此,控制系統的穩態均衡解具有唯一的鞍點穩定性(分析過程見附錄B)。據此得到結論4。

結論4在廠商決策條件下,控制系統式(21)的穩態均衡解{k m,h m,q m,c m,r m}具有唯一的鞍點穩定。

3 政府調控

3.1 最優條件和性質

在政府最優化模型中,給定折現率ρ(ρ>0),假定產品價格p(t)由廠商決定(見式(15)),政府的目標是尋求創新投入h(t)和k(t),使社會福利折現流SW最大化。消費者剩余可以通過下式求得:

政府的瞬時社會福利函數為:sw(t)=π(t)+cs(t),因此,社會福利水平最大化問題為:

式中,初始條件為:q(0)=q0,c(0)=c0,r(0)=r0。

式(23)的現值漢密爾頓函數為

式中,ω1(t)、ω2(t)和ω3(t)分別是與狀態變量q(t)、c(t)和r(t)相關聯的共態變量(影子價格)。根據漢密爾頓函數式(24),一階條件和共態方程為:

相應的橫截條件為:

由方程式(29)可得參考質量的共態變量穩定條件下的影子價格,即

根據上述一階條件和共態方程即式(25)～(29),可得如下兩種投入變化的運動方程:

式中,ω3(t)是與r(t)相關聯的共態變量(影子價格),將式(31)、(32)對r(t)求導,式(31)對μ求導,結果可總結結論5中。

3.2 穩態均衡

與上節的處理相似,將對應的結果總結如下,對各結論的解釋及分析與前文一致:

隨著記憶參數的增加而其他條件不變,有:

結論6政府調控條件下,有:①當

接下來將研究在政府調控情形下廠商創新行為的動態模型是否存在一個穩定的穩態均衡。根據狀態變量運動方程式(1)～(3)和控制方程式(31)和式(32),可得如下控制系統:

結論8政府調控條件下,動態控制系統式(35)的穩態均衡解{k s,h s,q s,c s,r s}具有唯一鞍點穩定性。

4 數據模擬

為了比較分析在廠商決策和政府調控兩種情形下均衡解的大小,利用2.2節中的參數②給出在廠商利潤最大化及社會福利最大化條件下穩態均衡附近的一般解(見附錄D)。圖1分別反映了兩種情形下創新投入和產品價格的時間路徑,實線和虛線分別表示廠商決策和政府調控情形下的一般解。

由圖1可知,廠商與政府相比存在投入不足的問題,即在廠商決策情形下,產品創新和工藝創新的投入都低于政府調控下的對應投入。將結果總結為結論9。

圖1 產品創新、工藝創新和產品價格隨時間變化的路徑

結論9政府調控情形下的企業產品和工藝創新投入均高于廠商決策情形下的相應投入,而價格幾乎沒有變化。

5 結論

本文考察了考慮消費者行為下廠商產品創新和工藝創新的動態控制模型,分別研究了廠商決策和政府實現調控兩種情形下參考質量對廠商創新投入決策的影響,并通過數據模擬比較分析了控制系統在穩態均衡附近創新投入和產品價格的一般解隨時間變化的路徑。

結論表明:

(1) 在廠商決策和政府調控情形下分別存在一個唯一的穩定態,即鞍點穩態均衡。

(2) 產品和工藝創新投入的變化率隨參考質量的增加而增加,而穩態創新投入則隨參考質量的增加而下降。

(3) 在其他參數不變的情況下,隨著消費者記憶參數的減小,消費者對產品忠誠度較高時,廠商將增加對產品創新的穩態投入,且在穩態投入附近兩種投入更可能是互補品。

(4) 廠商對兩種創新投入的社會激勵均高于私人激勵,而價格幾乎沒有變化。

附錄A

附錄B

其中:

根據2.2節中參數①和參數②給出的參數,可得

附錄C

其中:

相應地,根據2.2節中參數①和參數②給出的參數,發現

其中:

利用2.2節中參數①的數據進行數值計算得到J的5 個特征值,分別為:ζ1=0.057 8+15.097 3i,ζ2=0.057 8-15.0973i,ζ3=7.1935,ζ4=-7.0090,ζ5=-0.2000。使用2.2節中參數②的數據求得:ζ1=0.125 0+0.185 4i,ζ2=0.1250-0.1854i,ζ3=0.3266,ζ4=-0.1500,ζ5=-0.0766。對可行的參數進行重復操作,發現特征值ζ1、ζ2 和ζ3 具有正實部,而ζ4 和ζ5 具有負實部。

附錄D