天基光學空間目標監測的初軌確定

趙柯昕，甘慶波，*，劉靜

1．中國科學院 國家天文臺，北京 100101

2．國家航天局 空間碎片監測與應用中心，北京 100101

3．中國科學院大學，北京 100049

天基空間目標監測相比于傳統地基監測具有全天時、全天候、靈活機動等優勢，受到了國內外極大的關注。20世紀90年代到21世紀初，美國實施了多個空間目標監測技術試驗項目，包括中段空間試驗衛星（Midcourse Space Experimen， MSX）［1］、試 驗 衛 星 系 統10/11（Experimental Satellite System 10/11， XSS-10/11）、微衛星技術試驗A/B等（Microsatellite Technology Experiment A/B， MiTex-A/B），演示驗證了低、高軌天基空間目標監視任務，囊括普查和精測技術，極大地推動了天基空間態勢感知技術的發展進程［2-3］。

2009年太空跟蹤與監視系統先進技術風險降低衛星（Space Tracking and Surveillance System Advanced Technology Risk Reduction satellite， STSS-ATRR）發射入軌，是典型的特定目標監視衛星，用于驗證跟蹤導彈能力［4］。2010年天基監視系統-1（Space-Based Surveillance System-1， SBSS-1）衛星成功發射，標志著空間目標監測正式進入天基時代［5］。預計將美國的空間目標監測能力提高50%，可以覆蓋高中低軌道的各類衛星或導彈目標，并具有對特定目標的探測能力。2014年2顆地球同步軌道空間態勢感知計劃（Geosynchronous Space Situational Awareness Program， GSSAP）衛 星和評估局部空間自主守衛納衛星（ARGOS Neo on a Generic Economical and Light Satellite，ANGELS）發射入軌。2016年剩余2顆GSSAP衛星以及第2顆ANGELS發射升空。由此GSSAP衛星正式完成組網，該星座大幅提高了美國對GEO目標的持續監測和抵近偵察能力［6-7］。ANGELS是位于同步軌道具有較強機動能力的微衛星，可實現對地球同步軌道（Geostationary Orbit， GEO）目 標 抵 近 偵 察［8］。2014年投用的藍寶石（Sapphire）衛星專門用于對高軌空間目標進行跟蹤監測，并為空間態勢感知提 供 數 據 服 務［9］。操 作 響 應 空 間-5（Operationally Responsive Space-5， ORS-5）衛星于2017年發射入軌，能夠從低地球軌道（Low Earth Orbit， LEO）掃描GEO帶，協助跟蹤GEO上衛星與空間碎片［10］。此外商業衛星公司和研究機構也積極參與空間目標監測任務。2013和2014年Livermore實驗室發射了2顆天基空間目標星歷改進（Space-based Telescopes for the Actionable Refinement of Ephemeris A/B，STARE A/B）衛星，通過對危險交會目標近距離監測以降低危險交會的虛警率［11］。

從以往項目看，空間目標監測任務以光學設備為主要載荷，以獲得更多更精確的空間編目數據為首要指標。天基自主空間目標的軌道和信息確定是實現天基空間目標監測的基礎，其中初軌確定是一切監測活動的前提。

天基空間目標初軌確定具有2個基本特征：觀測弧段短和數學奇點（平凡解）問題。針對這些特征國內外近些年都有相關研究，提出了多種求解方法。2007年筆者等［12］指出了Laplace定軌方法在天基監測中收斂到觀測平臺本身的現象，并給出了一類求解方法，但是文中對一些描述并不清晰，定軌方法的適用范圍和精度存在局限。2009年南京大學劉林和張?。?3］確認了改進Laplace方法收斂到觀測平臺這一現象。之后國防科技大學劉光明等［14-16］給出了一些基于最優化方法的解法，這類方法較難以應用于普適的天基初軌確定中，計算效率、穩定性以及置信程度在工程應用中具有局限性。2014年武漢大學桑吉章等［17］給出了一種類似Gooding方法的基于距離搜索初軌確定方法，而Gooding類型方法都要面臨距離初值選取問題。從測試結果上看，如果初值選擇不合理該類型方法也會收斂到平臺自身軌道。

針對天基光學平臺監測空間目標的初軌確定問題進行了深入研究。通過構建Laplace法的八次方程，分析了空間目標、觀測平臺和地心的相對位置與方程系數和根的性質之間的關系。對天基初軌確定收斂到平凡解的問題給出了數學表征和解決方法。對Gooding法進行了改進，提出了一種可適用于天基空間目標監測的初軌確定方法和流程。利用低軌目標監測實測數據和高軌目標監測的仿真數據對方法進行了校驗。最后對未來天基空間目標監測的發展提出了長遠建議。

1 初軌確定的平凡解問題及解法

1.1 Laplace八次方程

典型的空間目標監測問題指的是在一個時間序列ti(i=1，2，…，n）下，具有地心位置矢量Ri的地基或天基平臺觀測到目標，并提取出目標相對平臺的方向矢量Li，由此來確定空間目標的軌道參數。單次觀測時刻的空間目標、地基或天基觀測平臺和地心構成了三角幾何，如圖1所示。

圖1 地基與天基目標監測幾何構型Fig. 1 Geometrical configuration of ground-based and space-based space surveillance

空間目標單次觀測的幾何構型為

其一階、二階的導數分別為

空間目標的短弧運動方程遵循Kepler運動：

式中：μ為地球引力常數；r為目標的地心距離。將式（5）代入式（3）中，經過化簡可得中間觀測時刻斜距ρ2為

式中：

其中：R2為中間觀測時刻觀測平臺的地心距離、μ為地球引力常數，其他符號定義如下：

Laplace法利用式（8）獲得空間目標在定軌時刻的位置與速度矢量初值即r0與r?0，求解斜距和斜距變率ρ0與ρ?0，最終求解出軌道根數。

1.2 天基目標監測初軌確定的平凡解及消去

1.2.1 八次方程根的性質

八次方程包含了空間目標和觀測平臺的位置、速度和加速度等信息。方程中的系數取決于地心、觀測平臺和空間目標的相對位置。因此，方程根的性質也取決于三者的相對位置關系。方程（6）系數與根的性質可以總結為：①系數A和C是恒負的；②系數B可能是正的也可能是負的；③系數B<0時，方程存在1個正實根、1個負實根和6個虛根；④系數B>0時，方程存在至多3個正實根、1個負實根和虛根。

地基初軌確定過程中，可以證明該情況下系數B<0，八次方程只會存在1個正實根。而在天基初軌過程中，八次方程往往會存在3個正實根，其中一個根為代表觀測平臺軌道的平凡解，可以利用1.2.2節的方法去除，但還會存在至多2個使得斜距量有意義的根，即非偽解。由Charlier提出的非偽解個數條件方程［18-19］，將距離量使用測站的地心距進行歸一化后，進一步可以得到空間目標在不同相對位置時對應八次方程擁有不同非偽解數量的示意圖，如圖2所示。圖中分界線ρ2=r2+2 3r3?5 3和以地心為圓心以觀測時刻觀測平臺地心距R為半徑的圓可以將空域分為A、B、C和D 4個區域。當空間目標位于區域A和C時，求解方程會得到2個非偽解?？臻g目標位于區域B和D時，方程僅會得到1個非偽解。

圖2 非偽解個數與地心、觀測平臺和空間目標三者相對位置的關系Fig. 2 Relationship between number of non-spurious so?lutions and geometrical configuration of geocen?ter， observation platform and space target

1.2.2 天基定軌中的平凡解問題

從觀測幾何構型來看，天基和地基定軌不存在本質區別，即式（1）是一致的，而在利用類Laplace法進行定軌時，總會出現結果收斂到觀測平臺軌道的情況。這其中主要是因為式（3），空間目標的短弧運動方程基本遵循Kepler運動（以下公式中使用下標0表示定軌歷元時刻）：

式（3）右邊的R?代表觀測平臺的運動，當觀測平臺位于地面上時，R?遵循的是地球表面測站的運動［18］：

而當觀測平臺被發射入軌后，R?則遵循與空間目標一樣的Kepler運動：

式中：R0為觀測平臺的地心距離。

由此進行歸一化后，原八次方程出現一個公因子(r0?R0)，則式（7）可表示為

因此迭代計算時會收斂到如下平凡解：

將式（15）代入式（1），得到的解是觀測平臺自身的軌道參數，這就是天基定軌中出現收斂到觀測平臺軌道的本因。所以在天基初軌確定中，首先要提前消去平凡解消去。

1.2.3 消去平凡解的七次方程及求解

經過消除平凡解操作后，原八次方程降階為七次方程為式（14），可利用牛頓迭代法進行求解：

式中：r0k為r0迭代第k次的值，經過迭代計算得到初值r0，從而可以得到空間目標的斜距與斜距變率的估計值：

由此利用式（1）與式（2）就可以獲得定軌時刻空間目標的位置和速度。

1.2.4 方法的適用性和精度

1.2.1~1.2.3節所述的方法本質上還是Laplace型的，其特點是對平凡解進行了消除，對初值的敏感度不高。從仿真結果來看，對高中低軌目標，初值設置為1倍地球半徑時，都會收斂到真解附近。但是該方法也存在局限性：①面對超短弧段，定軌結果并不理想，在低軌觀測弧段不足1 min，高軌弧段低于10 min的情況，定軌精度都很差；②如果觀測資料稀疏，造成對方向矢量的擬合精度太差，也會使得方法得到不理想的解［12］。

2 適合稀疏點資料天基定軌方法

1975年 及1993年，Gooding［20］在 基 于 其 對Lambert問題求解方法研究，并受到Escobal［21］提出的雙r迭代算法的影響，提出了一類基于距離搜索的初軌確定方法。Gooding法適用于各種軌道，具有很好的收斂特性，近年來應用較多。著名的衛星工具包軟件STK的定軌模塊ODTK和法國Orekit軟件包也使用了該方法。Vallado［22］對Gooding法應用于天基監測的效果也做了數值仿真。

2.1 Gooding方法原理

求解Lambert問題確定人造衛星的初始軌道非常適用于雷達觀測數據。雷達觀測數據一般可以直接獲得方位角、俯仰角和相對偽距。通過坐標轉換可以獲得空間目標在觀測時刻的地心位置矢量，從而建立Lambert方程直接求解觀測首末時刻的位置與速度。然而利用光學望遠鏡觀測時獲得的是測角資料，缺少相對距離信息，因此需要進行大量迭代計算求解。以三次方向觀測為定軌最小原型，詳述基于Lambert問題的測角資料的初軌確定方法。

首先定義三次方向觀測量：

3個量分別是觀測時刻t、赤經α和赤緯δ，下標為觀測次序。算法的基本流程是：利用第1次和第3次觀測數據構建Lambert方程，以第2次觀測為外復合判斷標準。因此在第1次和第3次觀測之間建立Kepler無攝運動，進行迭代計算，直到搜索到的軌道能和第2次觀測量最佳逼近。將該問題轉變為第1和第3觀測時刻相對斜距變量的尋優問題。

可以采用微分改進法構建具體算法。定義微分改進量為第1和第3次觀測時刻的相對斜距變量(ρ1，ρ3)。目標函數為第2次觀測時刻由計算得到的位置矢量r2o和實測的位置矢量r2c重合，即

式中：f、g是以(ρ1，ρ3)為變量的，即

(f，g)為r2c在垂直r2o相平面上的2個分量。顯然當(f，g)=(0，0)時，計算得到的位置矢量與觀測矢量為最佳逼近狀態。由于法向沒有距離觀測信息，因此不做第3個條件方程。

一個簡單的方式是利用牛頓迭代法求解，具體推導過程如下：

從而得到改正量：

顯然這是一個線性迭代過程，如果需要提高精度也可以采用高階進行改進。即由牛頓線性迭代拓展為二階泰勒展開：

進行迭代計算直到滿足收斂條件。其中fx、gx、fx、gx分別 為f、g對變 量x或g的一階偏導數；fxx、fxy、fyy、gxx、gxy、gyy分別為f、g對變量x或g的二階偏導數。

常規Gooding法中得到目標地心距后再通過Lambert方程可以獲得中間時刻的速度矢量，由此直接求解出6個軌道根數。而實際上，在迭代過程中已經獲得了3個時刻地心位置矢量，由于隨著微分階數上升而計算精度下降，之后獲得的速度矢量精度并不高，且初軌確定又是短弧段定軌問題，因此可以使用三矢量定軌算法，也就是Gibbs方法或Herrick-Gibbs方法［22］。

2.2 利用三矢量定軌算法方法改進

經過以上過程，可以相對精確地獲得3個觀測時刻的位置矢量(t1；r1)、(t2；r2)和(t3；r3)。下一步采用Gibbs方法或Herrick-Gibbs方法確定目標速度矢量。

Gibbs方法是直接由3個位置矢量經過變換得到第2觀測時刻速度矢量的分析解［22］：

式中：

而Herrick-Gibbs方法采用了以時間展開的方法［22］：

當觀測弧段的地心張角超過1°，采用Gibbs方法，如果小于1°，則采用Herrick-Gibbs方法。

該方法的特點是收斂性好，適用于各種類型的軌道。但是該方法依然存在距離搜索初值選擇的問題，在初值提供不準確以及弧段超短的情況下，定軌依然會出現收斂到平臺軌道或者不收斂的情況，這從Lambert問題的定義不難理解，從Vallado［22］的仿真計算結果也說明了這個問題。因此可以采用第1節中介紹的消去平凡解的方法求出初值，再利用第2節提出的流程進行迭代求解。

3 實測與仿真數值驗證

3.1 低軌天基平臺觀測定軌

采集某光學衛星對某空間目標的觀測圖像，3次采樣的中心時刻點、觀測平臺地心位置矢量和觀測數據平滑結果如表1所示，角度測量精度為10?。觀測時刻使用簡約儒略日（Modified Julian Date， MJD）表示。距離量的單位為地球半徑REarth=6 378.14 km。測角數據和觀測平臺位置矢量都位于J2000地心天球坐標系下。

由表1中數據以式（7）形式構建八次方程，方程系數分別為A=?35.882 525，B=88.510 190，C=?56.428 083。求解該方程所得8個根：1.083 742 08，1.093 472 53，5.955 225 33，?6.024 001 75，?0.588 654 67+0.874 109 39i，?0.588 654 67?0.874 109 39i，?0.465 564 43+0.989 148 32i，?0.465 564 43?0.989 148 32i。

共有3個正實根，1個負實根和4個虛根。Vallado［22］指出代表目標真實軌道的根是3個正實根中的一個，而該方程存在多個使得斜距有意義的根，真解的選擇較為困難。經過進一步計算，3個正實根對應3個觀測時刻的斜距量如表2所示。

利用1.2節的方法構建七次方程求解，可以去除代表觀測平臺軌道的根，即第1個正實根。而在低軌觀測平臺觀測低軌目標時，斜距不應過大，可以去除第3個正實根。因此，可以得到真解為r0=1.903 472 53。

為了直觀的觀察原八次方程和降階后七次方程根的情況，分別繪制了f(r)和隨r的變化趨勢，如圖3所示。圖3（a）為r/REarth從?10變化到10的情況，圖3（b）為f(r)和在0附近放大的情況。實線和虛線分別為八次方程f(r)和七次方程的變化趨勢，點劃線為f(r)=0的直線。

表1 低軌平臺觀測低軌目標的實測數據Table 1 Actual measurements from LEO observation platform to LEO target

表2 正實根所對應的觀測時刻斜距值Table 2 Slant-ranges corresponding to positive real roots at observed times

圖3 LEO f(r)和隨r/REarth變化趨勢Fig. 3 Trend off(r) andwithr/REarthof LEO

由此可以直觀的發現，原八次方程在r=1附近存在2個十分接近的根，而七次方程則可以消去平凡解，在r=1附近僅有1個根，避免后續計算收斂到觀測平臺軌道。

使用求解出的斜距作為Gooding法的初值，并使用Gibbs法可以求得空間目標在中間觀測時刻的Kepler軌道根數為

式中：a、e、i、Ω、ω、M分別為軌道半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點赤經、近地點幅角和平近點角。

為進一步分析本方法的性能，選取不同的斜距作為Gooding法的初值，考察迭代次數和最終收斂到的斜距值，計算結果如表3所示。

表3 LEO目標不同斜距的迭代次數和收斂結果Table 3 Iterations and convergence results of LEO target corresponding to different slant-ranges

由此可以看出，當初值選擇與真實情況偏差較大時，計算結果會收斂到觀測平臺自身軌道或錯解。當選擇初值在真實軌道附近時，則會收斂到相同的軌道，但與真實軌道相差越遠所需要迭代的次數越多。從低軌觀測平臺觀測低軌目標的情況來看，使用消去平凡解方程計算出的初值可以有效的避免Gooding法收斂到觀測平臺自身軌道和偽解的情況，同時可以使用最少的迭代次數收斂到正確軌道。

3.2 高軌天基平臺觀測定軌

利用同步軌道平臺觀測空間目標，特別是觀測同步軌道衛星，近些年越來越受到關注。由于沒有實測資料，采用仿真光學觀測數據。觀測平臺和空間目標軌道外推考慮了J2攝動、太陽和月球引力攝動的影響。截取了仿真數據中間隔10 min的3個采樣點，對角度量增加了5?的隨機誤差，使用的仿真數據如表4所示。

使用表4數據構建八次方程，方程系數分別為A=?5 105.372，B=2 727 175.455，C=?367 101 221.891。求解該方程所得8個根分別為：6.427 777 89，6.499 000 30，71.399 459 37，?71.399 459 37，?3.384 905 13+5.404 027 43i，?3.384 905 13?5.404 027 43i，?3.026 168 26+5.759 754 17i，?3.026 168 26?5.759 754 17i。同樣共有3個正實根，1個負實根和4個虛根。3個正實根所對應的3個觀測時刻的斜距量如表5所示。

表4 GEO平臺觀測GEO目標的仿真數據Table 4 Simulation measurements from GEO observation platform to GEO target

表5 正實根所對應的觀測時刻斜距值Table 5 Slant-ranges corresponding to positive real roots at observed times

利用1.2節操作可以去除第1個正實根，而第3個正實根對應的斜距太大不符合條件，由此可以選擇出第2個正實根為所需要的代表目標真實情況的根。

同樣分別繪制了f(r)和隨r變化的趨勢，如圖4所示。圖4（a）為r從?10變化 到10的情況，圖4（b）為f(r)和在0附近放大的情況。實線和虛線分別為八次方程f(r)和七次方程的變化趨勢，點劃線為f(r)=0的直線。

由此可以直觀的發現，原八次方程在r=6.5附近存在2個根，而七次方程則可以消去平凡解，使得在此附近僅存在1個根，避免了后續計算收斂到觀測平臺軌道。且由八次方程和七次方程所得的真解差別很小，也保證了計算精度。

使用求解出的斜距作為Gooding法的初值，并使用Gibbs法可以求得空間目標在中間觀測時刻的Kepler軌道根數為

圖4 GEOf(r)和隨r/REarth變化趨勢Fig. 4 Trend off(r) andwithr/REarthof GEO

選取不同的斜距作為Gooding法的初值，考察迭代次數和最終收斂的結果，計算結果如表6所示。

由此可以看出，當初值比真實情況差別較大時，同樣會導致結果收斂到觀測平臺本身，而使用本文的初值選擇方法，不僅可以避免此類情況的發生，還可以將迭代次數降至最小。

表6 GEO目標不同斜距的迭代次數和收斂結果Table 6 Iterations and convergence results of GEO target corresponding to different slant-ranges

從總體定軌情況來看，結果是較滿意的。低軌平臺天基監測定案例雖然使用的弧段較長，但是采用了實測數據，定軌結果較有說服力。高軌監測平臺仿真案例采用了10 min弧段，高軌對高軌的監視依然能快速收斂到標稱軌道參數附近，說明本文方法具有良好的性能。

4 天基定軌流程

從實測數據和仿真數據校驗的結果上看，平凡解去除方法和Gooding方法可以做到互補。在短弧資料情況下，可以利用消去平凡解的方法獲得第1和第3時刻斜距，作為Gooding法的初值進行計算，最后利用Gibbs法或Herrick-Gibbs法得到軌道參數。具體流程如下：

步驟1 基于光學望遠鏡拍攝的空間目標圖像，經過平滑和擬合等操作，提取出預處理后的角度測量值。

步驟2 以時間跨度長和圖像成像質量好為標準，優選出首末觀測時刻和中間觀測時刻的角度測量值。

步驟3 利用觀測值構建消去平凡解的七次方程，求解該方程并選擇出正確的解，經計算得到選取的觀測時刻目標斜距值。

步驟4 將計算得到的目標斜距值作為Gooding方法的初值進行迭代，求解得到3個觀測時刻空間目標的地心距離。

步驟5 根據觀測弧段長度選擇Gibbs或Herrick-Gibbs方法進行改進，得到定軌時刻目標速度，最后計算目標的軌道根數。

5 天基空間目標監測發展建議

天基空間目標監測在具備良好初軌算法的基礎上可以實現自主的空間目標編目，并能獲得更實時、更高精度、更高維度信息的能力?，F對天基空間目標監測提出幾點展望與建議：

1）泛在組網監測

在近地軌道上廣泛分布著光學衛星，這些衛星中相當一部分衛星具有對空間目標成像的能力，如果能提前規劃，將自動構成一張泛在的空間目標監視網絡。

2） 基于軟件定義網絡的彈性空間目標監測

軟 件 定 義 網 絡（Software Definition Network，SDN）近年來在信息科學領域逐漸興起并應用。同樣，對于天基泛在網絡，也可采用SDN技術，按需重構天基監測功能與任務，得到定制的產品，如軌道、特征以及行為意圖等。

3） 人工智能優化調度與信息關聯

天基監視無論是個體還是泛在網絡，都將獲得大量的觀測數據，人工智能算法對觀測數據關聯、發現新目標或異常目標、對任務的規劃調度都將發揮重要的作用。

4） 面向更實時更高精度更高維度信息邊緣計算

空間目標監測不滿足于目標軌道參數的認知以及編目庫的定期維護與更新，必將追求更實時、更高維度特征信息（姿態、材質、來源、輻射）等，而天基監測龐大的信息量必將給下行鏈路帶來負荷，因此，可以利用邊緣計算等新計算新概念，在傳感器端或在區域小網絡端獲得產品，極大地減少鏈路和中心的負擔。

6 結 論

通過構建Laplace法的八次方程分析了方程系數和根的性質，討論了空間目標與地心、觀測平臺處于不同的相對位置時所得到的非偽解的個數情況。針對天基空間目標監測時遇到計算過程中收斂到平凡解的情況，給出了數學表征和消去方法。通過對平凡解的消除，可獲得相對距離初值。

對Gooding方法應用于空間目標監測流程進行了改進，提出了一種可適用于天基空間目標監測的初軌確定方法和流程。該方法能有效解決收斂到平凡解的問題，降低了距離初值在定軌過程中的敏感度。針對低軌天基監測和高軌天基監測進行了數值驗證，結果表明，本文所提方法性能優良。

最后給出了對未來天基空間目標監測發展的建議，認為隨著高速互聯的大型星座開始部署運行，天基空間目標監視將會構成泛在的網絡，能自主、智能地監測編目，并基于先進的天基網絡技術以及信息技術，使天基空間目標監測成為空間態勢感知的主要手段。