以“三維五步”促進小學計算深度學習
——基于思維可視化的計算學習模式探究

文∣張慧

劉月霞、郭華等人在《深度學習：走向核心素養(理論普及本)》中提出：所謂深度學習，就是指在教師引領下學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程。[1]深度學習強調學生參與學習過程，要在學習過程中掌握學科核心知識，理解學習過程，把握學科本質及思想方法。小學計算深度學習教學過程中，教師要把握學生現階段的學習情況，在重視學生對于算法的掌握和對算理理解的基礎上，有針對性地引導學生以計數單位為主線構建計算的知識結構體系，引導學生從更深層次的角度理解和掌握計算。

一、小學計算學習的現狀

當前小學計算學習仍然存在重法輕理的現狀，教師、學生都過于重視計算的準確度和速度，卻忽視對計算的深度理解，不注重計算思維能力的提升。

(一)由法到理，思維層次需提升

計算是小學數學的學習重點，在小學計算的學習中，大部分教師重視計算方法的學習，而忽視了算理的學習，更加沒有關注到計算思維。這就導致學生的數學學習不夠深入，對計算的理解不夠深刻，只會算卻不懂為什么這樣計算。因此在計算學習中，學生要在掌握算法的基礎上深入算理，提升計算思維層次。

(二)由淺入深，學習深度需加強

小學數學學習要講求有一定的深度。目前，在小學數學學習中，教師常常過于關注學生對知識的淺層理解、掌握和運用，而忽視了知識的深層次結構與關聯。小學數學計算學習中學生不僅要掌握外顯的計算本領，還要加深對數學知識的深層次思考、內化，提升思維能力。

(三)由算至能，運算能力需培養

《義務教育數學課程標準(2022年版)》中指出，“運算能力”是學生數學核心素養之一，強調學生對于算理的理解，體驗計算的合理性。在計算的學習中，教師大多重視學生的計算是否準確，認為算對了就是運算能力的體現，實際上卻忽視了學生真正的運算能力，不能夠促進學生理解算理和算法之間的關系，缺乏對數學推理能力的發展。

綜上所述，促進小學計算學習深度發生的教學活動一定不能缺少學生數學思維能力的提升。在思維能力提升的過程中，教師可以借助思維可視化策略，引導學生經歷具體的、表象的計算思維和抽象的計算思維，逐步提升學生的計算思維品質，促進學生計算能力的提升。

圖1

二、計算思維可視化的三個維度

從認知過程角度出發，對于計算思維的可視化可以分為三個層次：動作思維可視化、形象思維可視化和抽象思維可視化(如圖1)。這三個維度不僅是對學生計算思維的三種體現，也體現了思維層次的提升。在動作思維可視化的階段中，學生計算思維的體現較為具體和直觀，而形象思維階段的體現稍有抽象，最后在抽象思維中完成計算思維的抽象過程。

(一)動作思維可視化

動作思維是直觀思維，是指學生通過肢體動作、動手操作以及畫圖等直觀手段來進行思考。在動作思維的過程中，學生動手操作的活動與思維活動是相聯系的。

動作思維的最初階段是借助肢體來表征計算。小學二年級的學生初步認識乘法，學習“5的乘法口訣”，教師經常借助的表象是手指，這是最自然、最容易想到的5的原型。

動作思維還體現在操作幾何直觀來表征計算。學生在計算學習中經歷的動手操作主要集中于操作實物、小棒、點子圖、格子圖和計數器等。從實物到小棒是幾何直觀的第一次抽象，通過10根一捆小棒的捆與拆，清晰表征“湊十法”“破十法”等計算方法的道理。點子圖和格子圖是更加結構化的幾何直觀，而計數器的抽象程度最高。

稍復雜的動作思維不容易借助肢體或者操作等形式來體現，教師可以借助多媒體課件來演示，以演示過程替代學生操作思考的過程。

(二)形象思維可視化

形象思維是運用已有表象進行的思維活動，它要解決的問題是把問題形象化，或者建立一個新的形象體系。從學生的認知過程來看，形象思維是指學生在學習過程中對計算的描述、舉例和分類過程。在計算學習過程中，學生經歷了用直觀手段表征計算的學習過程后要借助語言來描述和解釋計算。如“兩位數乘兩位數”教學中，學生借助點子圖理解乘法豎式中的“拆分”過程，在頭腦中形成了乘法豎式的表象。但是仍然不能夠脫離直觀講道理，因此學生還需要用語言歸納出拆分后的兩步乘法分別表示多少個“1”與多少個“10”。解釋計算的過程是學生深入理解新知的過程，學生在解釋計算的過程中形成計算的形象，分析每一步計算的意義，從而理解計算就是計算計數單位的個數。

圖2

除解釋計算外，學生學習計算的過程還要根據計算的特點進行舉例，或根據計算的特點對計算進行分類。解釋、舉例和分類是學生對計算的形象表征，本階段的計算思維比動作思維更加深刻，但是還沒有到達最后抽象的階段。

(三)抽象思維可視化

數學教育的最終結果，必須使認識和運算脫離實際背景，這就是數學抽象的本質，也是數學具有一般性的具體體現。[2]小學計算學習包含整數、分數和小數的加、減、乘、除運算，小學數學教材編排中，這四種運算呈螺旋式上升。學生在學習中要經歷對計算算理的深入分析，比較同種或不同計算，通過類比來進行計算推理，概括計算方法的學習過程。如在二年級下冊的“除法豎式”中，教師就設計了多次對比，讓學生在對比中構建除法豎式的模型，進一步理解除法的意義。除法豎式與加、減、乘法的豎式形式不同，包含了加、減、乘三種運算，因此除法計算較難。在“除法豎式”中，教師共設計了四處對比來突破難點：橫式和豎式的對比，遷移原有知識理解豎式；豎式和圖形的對比，明晰豎式算理；有無余數的對比，理解余數含義；正誤豎式形式的對比，深化豎式模型。抽象思維層次較高，難度較大，教師要在學生的計算學習中給予學生充分時間來思考、辨析、交流和總結。

動作思維、形象思維與抽象思維可視化是思維可視化的三種方式。這三種可視化的方式在學生學習的過程中常常不能清晰地分開，學生在動作思維的過程中也能夠逐漸形成形象思維和抽象思維，而形象思維可視化的過程中也是在逐漸建立抽象思維，三者之間無法完全割裂。

三、促進小學計算深度學習的五步驟

從思維可視化的三個維度出發，計算學習要經歷五個步驟來理解計算(如圖3)。其中“動作思維表征計算”屬于動作思維可視化的范疇；“形象思維表達算法”是初步建立計算表象，是形象思維可視化的過程；“橫向對比概括計算”“縱向對比深化計算”“構建知識結構體系”屬于抽象思維可視化的過程。

圖3

(一)動作思維表征計算

數學是研究數量關系與空間形式的科學，對于小學生來說脫離了生活原型的數量關系和空間形式是十分抽象的，教師可以引導學生借助肢體動作來表征。低年級的小學生學數學大多處于具象思維階段，通過肢體動作來理解抽象的數學知識。例如在學習數數的過程中，學生要通過點數、數手指等肢體動作與抽象的數一一對應起來；學習用“湊十法”計算加法時，學生要借助圓片、小棒來理解“滿十進一”；學習“平均分”，學生在分草莓中感悟平均分。在具象思維過程中，學生經歷了通過肢體動作進行計算的過程，積累了豐富的計算活動經驗。

(二)形象思維表達算法

小學生思維大多處于具體運算階段，對他們來說，計算是十分抽象的，他們通常要硬性記憶計算方法。記住方法的學生看似會算，實則只是記住了程序，稍有變換就無法做到遷移算法。在計算學習中，教師要借助直觀表象來促進學生對計算的理解，建立形象思維掌握算法。如在教學“兩位數乘兩位數”中，學生難于理解乘法豎式的“先分后和”的分乘計算過程，對“個位上的數與第一個因數的乘積寫在第一層，末尾與個位對齊；十位上的數與第一個因數的乘積寫在第二層，末尾與十位對齊”的方法難于掌握。教師需要為學生提供直觀“點子圖”“方格圖”(如圖4)來幫助學生經歷分步乘的過程。借助直觀圖象，學生描述計算的過程，將抽象的計算過程具體化、形象化，讓計算過程可視化，從而突破難點。

圖4

(三)橫向對比概括計算

對比是一種很常見的數學學習方法，在小學數學計算學習中包括新舊計算的對比，同種計算的不同形式對比等。小學稍復雜的計算通常都要寫成橫式和豎式兩種形式，如上述的“兩位數乘兩位數”學習中，學生不僅要寫出13×12的豎式，也要寫出橫式(如圖5)，豎式記錄了計算方法，而橫式表達計算道理。

學生遷移已有的學習經驗能夠列橫式來計算13×12，將13×12分解為13×2和13×10，采用先分后合的辦法來計算，其實也就是豎式計算的算理。而豎式計算清晰呈現了計算的過程，即把個位上的數與第一個因數的乘積寫在第一行，末尾與個位對齊；十位上的數與第一個因數的乘積寫在第二行，末尾與十位對齊，體現出兩位數乘兩位數的計算方法。學生要經歷同一題目的不同解答方法的對比，借助橫式將抽象的豎式道理可視化，從而深入理解計算的原理。

圖5

(四)縱向對比深化計算

遷移和保持是教學的重要目標，任何的計算學習中，學生都要遷移生活和學習中的原有經驗來構建新的計算，從而改變原有計算知識結構。《義務教育數學課程標準(2022年版)》在課程理念中指出：課程內容的組織重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑。因此，數學教師不僅要讓學生掌握各種數學知識，還要引導學生對不同的知識進行結構化的整合，建立前后知識之間的關聯。如在“三位數乘兩位數”一課的學習中，學生要遷移多位數乘一位數、兩位數乘兩位數的算理和算法來學習多位數乘兩位數，再總結乘法豎式的通法，并遷移至更多位數的乘法，進行乘法知識的縱向延伸。此外，加、減和除法的學習也仍然需要在縱向對比中關聯知識。例如在“除數是一位數的除法”中，學生要在對比被除數數位不同的豎式中發現除法就是平均分計數單位，對比整數、小數和分數的加減運算外在形式不同，在對比中發現相同計數單位才能相加減。

(五)構建知識結構體系

2022年版課標提到，同類數學知識之間存在非常緊密的關聯，在教學中重視對教學內容的整體分析，能幫助學生建立體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化數學知識體系。教師要把握知識之間的關聯，引導學生總結和概括這一類知識的經驗，形成知識結構體系。小學計算內容是以“計數單位”為核心主線，加法、減法、乘法是計數單位的累加和減少，除法是計數單位的等分；因此，把握小學計算的意義要理解整數、小數、分數基于計數單位表達的一致性。在小學計算學習過程中，借助計數單位描述計算是學生從具體形象思維走向抽象思維的標志。

四、計算深度學習五步驟的特征

三維五步是實現計算思維可視化的有效策略和途徑，其從認知角度提出了動作思維、形象思維和抽象思維的可視化。教師根據具體的教學內容從五步驟中選擇部分或全部步驟，設計教學流程。這五步驟之間應具有層次性、反復性和交互性。

(一)層次性

計算課堂學習過程中，學生大體經歷“動作思維表征計算”“形象思維理解計算”“橫向對比概括計算”“縱向對比深化計算”“構建知識結構體系”五個步驟。從抽象程度思考，這五個步驟有一定的層次性，動作思維和形象思維可視化的抽象程度較低，橫縱對比與構建體系的抽象程度較高，因此在低年級學生計算學習中，具體的思維可視化手段使用偏多，例如數手指、擺小棒、畫圖等。而高年級的學生抽象能力較強，能夠更加抽象地從數意義的角度來理解計算、關聯計算，完成更高層次的思維活動，例如辨析、對比、關聯等。一般情況下，一節計算課中，學生能夠經歷“直觀—抽象—直觀”或“抽象—直觀—抽象”的思維過程，前者適用于低年級學生計算學習，而后者多用于中高年級學生計算學習。如二年級“有余數的除法”教學中，教師一般先讓學生動手分一分，建立除法的直觀表象，而后再抽象出有余數的除法算式，最后又將除法算式應用到具體情境——分小棒，解決問題，讓學生經歷“直觀—抽象—直觀”的計算學習過程。而中高年級學生計算學習中，教師可以讓其遷移已有計算經驗嘗試計算，而后結合直觀來驗證和解析計算，最后總結出計算的通理、通法，讓學生經歷“抽象—直觀—抽象”的計算過程。

(二)反復性

根據學生的年齡特點和學習內容，有些年級的課例包含全部五個步驟，而有些年級的課例只涉及其中幾個步驟。如在小學低年級計算教學中，一定要讓學生有動作思維的過程，不能夠脫離直觀理解抽象計算。但到了高年級計算教學中，直觀內容越來越少，很多新知學習跨過了動作思維，只保留形象和抽象思維的可視化。

根據不同課例和學生的前概念水平，新知的學習起點有所不同。有些課例是從直觀手段開始，而有些課例則是從抽象的計算開始，算出得數才借助直觀方式進行驗證。無論采用何種方式，深度計算的五個步驟是可以反復的，如在教學進行到第四步時，還可以回到第一步。在“除數是一位數的除法”教學中，教師在新知教學部分可以設計表1幾個環節。

表1 “兩位數除以一位數”學習環節

(續表)

在表1教學環節中，學生連續兩次經歷從形象思維到動作思維，而后借助動作思維表征計算，最后將兩次計算進行對比，發現異同，建立除法豎式的同類經驗，從而初步形成除法豎式的知識結構體系。

(三)交互性

動作思維、形象思維和抽象思維無法分開，它們之間是相融的。在教學一種計算的過程中，教師可借助形象思維來將抽象計算具體化，為學生解釋計算、舉例和分類提供腳手架，輔助學生從數的意義的角度對計算進行抽象。隨著課程改革的不斷深入，越來越多的測試中，單純考查計算越來越少，而關于計算思維的考查越來越多，考查深度逐漸提升。部分計算測試是在具體的情境中考查學生對計算的理解，也有部分測試是在動作思維過程中考查學生對計算的理解。基于以上觀念的變革，教師的計算教學要關注學生計算思維的培養。例如在“兩位數乘兩位數”中，教師首先讓學生嘗試計算13×12，學生給出的答案如圖6所示，由此引發學生認知沖突。而后，教師引導學生借助操作結合點子圖(如圖7)，在驗證得數過程中理解算理。

圖6

圖7

在13×12的計算過程中，學生將形象思維與抽象思維相結合，在正誤對比中理解計算，深入乘法計算的意義，明晰乘法就是計算“幾個幾”的運算。在計算學習中，根據內容與學習程度不同，學生要將動作思維、形象思維、橫縱向對比和構建知識結構中的兩種或兩種以上過程相結合，例如可以借助動作思維建立形象思維，解析算理；在橫向對比中概括計算，深入以理馭法過程；橫向或縱向對比中建立遷移知識結構體系，推理同類計算的通理、通法。

總之，計算思維是計算學習的魂，學生計算思維的發展是計算深度學習的核心。借助思維可視化，讓教師真正從促進學生思維發展的角度出發設計教學，讓學生將抽象的計算思維可視化、具體化。計算方法易掌握，計算道理難理解，借助思維可視化手段來學習計算，能夠幫助學生克服理解抽象計算的困難，使得抽象的計算更容易被理解，提升學生的學習興趣，讓學生愛上原本枯燥的計算，學會思考，從而提升思維品質，促進其深度學習。