顆粒阻尼吸振器對軋機輥系減振特性的研究

王 明， 徐慧東， 和東平， 王 濤， 王義平， 任超然

(1. 太原理工大學 機械與運載工程學院，太原 030024； 2. 先進金屬復合材料成形技術與裝備教育部工程研究中心，太原 030024)

隨著綜合國力的提升，我國對高質量鋼材的需求量逐漸增加，板帶軋制生產作為目前主要的鋼鐵成材工藝，面臨著諸多關鍵性的技術難題。其中，板帶軋制過程中設備發生的多種形式的非線性振動制約著軋制生產高速化、高效化和連續化，成為亟需解決的關鍵性問題，越來越受到國內外學者的重視[1-3]。鐘掘等[4]分別對軋機振動中的界面耦合機理與機電耦合機理進行了分析，對軋機的穩定性控制具有一定的指導意義；王橋醫等[5]研究了連軋機多機架耦合振動系統的動力學特性，結果表明厚度不均勻的帶材會引起軋輥振動，通過降低拾取卷筒速度可以使連軋機更穩定；王鑫鑫等[6]提出利用擴張狀態觀測器抑制軋機振動的方法，該方法可以有效抑制多種情況下的軋機振動;孫韻韻等[7]研究了軋制界面的粗糙形貌對軋輥動力學特性的影響，為軋機抑振提供了有效的理論參考；Zheng等[8]采用Riccati傳遞矩陣法及有限元法分析了不同穩定性的四輥軋機的振動特性，認為穩定的四輥軋機中多種形式的振動能夠得到有效控制；米凱夫等[9]驗證了小波變換和分形技術都能有效識別軋機的振紋振動，為實現軋機振動的預測提供了理論保證;閆曉強[10]通過應用二階扭振抑制器并對自動輥縫控制(automatic gage control, AGC)參數進行優化，有效地抑制了軋機機電液耦合振動現象。

對于軋機振動的控制，目前主要有主動控制和被動控制兩種。主動控制是通過尋找振動原因，并提出相應的對策來控制軋機的振動；被動控制方法是通過改變某些構件的參數來增加系統的阻尼或在適當部位附加子系統以消耗主系統的振動能量[11]。動力吸振器則屬于被動控制的一種，它主要由質量、彈簧和阻尼元件組成。Hermann[12]最早提出了動力吸振器，為了抑制船體的搖擺，Frahm設計了一個能夠抑制主系統共振的水箱。經過百余年的發展，動力吸振裝置衍生出了多種形式，從單純的機械式動力吸振器(dynamic vibration absorber，DVA)發展為機、電、磁、液等耦合式吸振器[13]，整體上可分為主動式、半主動式、被動式三大類，并成功地應用于航空航天、機械、土木工程等領域。而由于被動式吸振器結構簡單、且成本較低，同時具有不錯的結構振動抑制效果，因此在實際工程中應用最為廣泛[14]。

傳統的單質量塊被動式動力吸振器只有在吸振器本身的固有頻率、外界激勵頻率以及受控對象的振動頻率三者相同時才能發揮較好的減振效果，且吸振器的各個參數一經設定就無法改變，然而在工程實際中，外界激振頻率大多都在一定范圍內往復變化，當三者頻率不同時，吸振器的減振效果就會嚴重降低[15]，因此，為了增加傳統的被動式動力吸振器的減振帶寬，一種新型的被動振動控制技術——顆粒阻尼(particle damping，PD)技術逐漸受到研究者們的關注。Meyer等[16]通過研究顆粒阻尼器在不同基本結構特征頻率下的阻尼特性，提出對于高本征頻率的系統，使用粒徑小的顆粒抑振效果比較好，且不同的特征頻率的最佳填充率也不同；Zhang等[17]采用離散單元法(discrete element method，DEM)模擬了封閉容器中顆粒在垂直振動作用下的阻尼行為，首次提出一種顆粒阻尼效果的可視化評價方法；Xiao等[18]將顆粒阻尼器應用于礦用自卸車駕駛座椅的減振，通過仿真分析以及試驗得出了最優的顆粒阻尼方案。

本文在目前專家學者對PD的研究基礎上，根據軋機的結構以及工作特點，提出一種應用于軋機輥系的新型多自由度顆粒阻尼吸振器，并對其減振性能展開研究。

1 振動控制目標與顆粒阻尼吸振器設計

1.1 振動控制對象及可行性分析

本文以圖1所示的二輥靜定軋機的上工作輥為振動控制對象，研究顆粒阻尼吸振器各參數對工作輥振動控制效果的影響。

圖1 二輥靜定軋機Fig.1 Two-high statically determinate rolling mill

PD技術一般也稱為非阻塞性顆粒阻尼技術(non-obstructive particle damping, NOPD),是在振動控制目標結構上加工出孔洞或者外附封閉空間的顆粒容器，并填充一定數量、尺寸的顆粒阻尼材料，當主結構在外界激勵下發生振動時，致使顆粒與顆粒、顆粒與容器壁之間產生碰撞與摩擦，從而轉移與耗散振動能量，達到抑制主振系統振動的目的[19]。

PD技術可在高溫、低溫、輻射等惡劣的環境中發揮作用，并且具有較寬的減振頻帶[20-21]，在0～5 000 Hz的頻率范圍內都有一定的減振效果[22]。而軋機輥系主要會出現兩種垂直振動現象：一類是三倍頻振動，其振動頻率主要集中在150～250 Hz[23]；另一類是五倍頻振動，其振動頻率主要集中在500～700 Hz[24]。因此將顆粒阻尼技術應用于軋機輥系振動的控制具有可行性。

1.2 顆粒阻尼吸振器設計

由于軋機上工作輥為軸類零件，因此吸振器主體定為環形結構，同時考慮到結構尺寸、空間位置、方便安裝、拆卸及調試等方面，設計了一種顆粒阻尼吸振器，其三維結構如圖2所示。在軋機上的安裝位置如圖3所示。

圖2 顆粒阻尼吸振器三維結構Fig.2 Three-dimensional structure of particle damping vibration absorber

圖3 吸振器在軋機上的安裝位置Fig.3 Installation position of vibration absorber

圖2中質量外環與內環均為可拆分結構，質量外環與內環通過剛柔耦合吸振組件連接，內環通過軸承安裝在上工作輥上。其中剛柔耦合吸振組件共有10組，每組包括4個完全相同的彈簧、4個完全相同的橡膠以及一個顆粒容器。通過改變顆粒容器內顆粒數量或剛柔耦合吸振組件的數量便可以調整顆粒阻尼的大小。

2 帶有顆粒阻尼吸振器的軋機輥系主共振特性分析

2.1 帶有顆粒阻尼吸振器的軋機上工作輥動力學建模

為了明確顆粒阻尼的抑振效果，建立如圖4所示的帶有顆粒阻尼吸振器的軋機上工作輥四自由度模型。圖4中：m1為軋機上工作輥、軸承及吸振器內環的等效質量；x1為等效質量m1的振動位移；m2為十組剛柔耦合元件中顆粒容器的等效總質量；ma為顆粒容器內顆粒群的等效總質量；mb為顆粒群中發生跳動并產生阻尼作用顆粒的等效總質量；mc為顆粒容器及顆粒群中未發生跳動顆粒的等效總質量；x2為等效總質量mc的等效振動位移(當系統發生顫振時，可能只有部分顆粒之間、顆粒與容器壁之間發生相對運動，從而形成顆粒阻尼)；x4為等效總質量mb的等效振動位移；m3為吸振器外環的質量；x3為質量m3的振動位移；c1為上工作輥與軋件之間的等效阻尼；k1和k′1為上工作輥與軋件之間的等效線性剛度和非線性剛度；k2為顆粒容器與內環之間所有彈簧的等效剛度；k3為顆粒容器與吸振器外環之間所有彈簧的等效剛度；c2為顆粒容器與內環之間所有橡膠的等效阻尼；c3為顆粒容器與吸振器外環之間所有橡膠的等效阻尼；k為十組剛柔耦合元件中所有發生跳動的顆粒所產生的等效剛度；c為所有發生跳動的顆粒所產生的等效阻尼；近似認為軋輥受到周期性的外部激勵Fcos(ωt)。建立系統的動力學方程為

圖4 裝顆粒阻尼吸振器的系統四自由度模型Fig.4 Four-degree-of-freedom model of the system with particle damping vibration absorbers

(1)

2.2 帶有吸振器的軋機上工作輥主共振響應分析

2.2.1 系統主共振響應求解

對于非線性振動方程，只有極少數的方程可以求得精確解，大多數情況下只能通過近似方法進行求解。常用的近似解法包括諧波平衡法、正規攝動法、林滋泰德-龐加萊法、平均法、多尺度法、漸進法等[25-26]。本文采用多尺度法對振動系統進行求解。

將式(1)進行化簡，得到

(2)

其中，

將式(2)右邊各項冠以小參數ε得

(3)

其中，

δ1=εδ10，δ2=εδ20，δ3=εδ30，δ4=εδ40，δ5=εδ50，
δ6=εδ60，γ1=εγ10，γ2=εγ20，γ3=εγ30，γ4=εγ40，
γ5=εγ50，γ6=εγ60，γ7=εγ70，k″1=εk10，F0=εF10

引入不同尺度的時間變量

T0=t，T1=εt

對時間t進行微分并忽略ε的高階小量有

(4)

式中，Dn=?/?Tn，(n=0,1)，令

(5)

將式(5)代入式(3)，分別令方程兩端小參數ε的0次冪及1次冪系數相等，得到各階近似的線性偏微分方程組

(6)

(7)

將零次近似方程式(6)的解表示為復指數形式

(8)

代入一次近似方程式(7)的右邊得到

(9)

考慮到系統主共振情況，ω10接近ω，ω10遠離ω20，假設ω=ω10+εσ，其中σ表示軋機上工作輥的頻率調諧因子。代入式(9)中，并消除系統中的永年項，得到

(10)

為了方便求解式(10)，將復函數A1，A2，A3，A4寫為指數形式

A1=0.5aeiφ1，A2=0.5beiφ2，
A3=0.5ceiφ3，A4=0.5deiφ4

式中，a，b，c，d，φ1，φ2，φ3，φ4為時間T1的函數，同時令θ=σT1-φ1。

將A1，A2，A3，A4，θ代入式(10)得

(11)

將式(11)的實部與虛部分離得到

(12)

(13)

2.2.2 仿真分析

將式(13)轉化為

z3+λz2+μz+ρ=0

(14)

式中：μ為分岔參數；λ，ρ為開折參數；z=a2。

其中，

(15)

根據奇異性理論[27]，式(15)為GS范式z3+μz的普適開折表達式，奇異點為余維2的叉形點,此時：

系統的分岔點集

B={ρ=0}

系統的滯后點集

系統的雙極限點集

D=?

系統的轉遷集

∑=B∪H∪D

在MATLAB環境下進行仿真分析，得到如圖5所示的轉遷集區域。圖5中,曲線將系統的開折平面分割成4個區域(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ)，仿真得到不同區域和臨界點的拓撲結構圖如圖6所示。

圖5 系統的轉遷集Fig.5 System transition set

通過分析圖6中的局部分岔性態，可以得到系統全局分岔性態，控制開折參數落在較穩定的區域，從而提高軋制過程的穩定性。當開折參數落在原點O及分岔集B+和B-時，系統不穩定區域較大(即一個分岔參數μ對應多個z的多值區域較大)；當開折參數落在滯后集H+和H-時，分岔參數處于1.2左右時系統將發生滯后現象；當開折參數落在區域Ⅰ和區域Ⅲ時，系統的穩定區域較大；當開折參數分別由區域Ⅰ和區域Ⅲ越過滯后集H+和H-進入區域Ⅱ和區域Ⅳ時，分岔參數處于1.3～1.9時系統將發生跳躍現象，導致系統產生明顯的振動。因此，在實際工程中需要盡量控制軋機各個參數使開折參數λ和ρ處于區域Ⅰ和區域Ⅲ內，進而提高軋制過程的穩定性。

圖6 系統拓撲結構圖Fig.6 System topology diagram

為了明確多自由度顆粒阻尼吸振器抑振效果，對未裝吸振器及裝了吸振器之后的軋機上工作輥振動的時域曲線、相圖以及頻譜曲線進行仿真分析。為了便于相互驗證，本文仿真與試驗中每個顆粒容器均填充500顆鋼珠，填充率約為30%。鋼珠各參數如表1所示。

表1 鋼珠參數Tab.1 Steel ball parameters

假設50%的顆粒產生阻尼作用，要對該部分顆粒群的整體等效剛度及等效阻尼進行精確分析是相當困難的，因此將跳動的多顆粒等效為單顆粒進行研究。本文根據文獻[28]中的等效簡化原則進行計算。等效后的單鋼珠顆粒半徑為13.59 mm。

顆粒碰撞(法向)和摩擦(切向)的等效剛度和阻尼系數計算公式如下：

法向剛度系數

切向剛度系數

法向阻尼系數

切向阻尼系數

式中：α為碰撞顆粒的法向疊合量，本文取1×10-7m；e為鋼珠的碰撞恢復系數，文獻[29]中通過試驗測得兩鋼珠的碰撞恢復系數值約為0.544。計算可得：

法向剛度系數

kn=1.5×107N/m

切向剛度系數

kt=2.3×107N/m

法向阻尼系數

cn=415.9 N·s/m

切向阻尼系數

ct=515.0 N·s/m

在顆粒群的實際工作過程中，碰撞和摩擦一般是同時存在的，取綜合剛度系數k=3.8×107N/m，綜合阻尼系數c=930.9 N·s/m。

則系統各參數的仿真取值如表2所示。

表2 帶有吸振器的振動系統仿真參數表Tab.2 Simulation parameter table of vibration system with vibration absorber

圖7為振動系統時域曲線，可以看到未裝顆粒阻尼吸振器時，系統在8 s左右達到穩定狀態，安裝顆粒阻尼吸振器后系統在5 s左右就達到了穩定狀態，且穩定后的振幅降低了23%左右。圖8為振動系統相圖響應曲線，可以看出，裝阻尼器之前系統的穩定狀態區域較寬，安裝了阻尼器之后系統的穩定狀態區域更為收斂，且振動位移及振動速度都相對減小。因此顆粒阻尼吸振器能夠抑制軋機上工作輥的垂直振動，提高軋制過程的穩定性。

圖7 安裝吸振器前后系統時域曲線Fig.7 System time domain curve before and after installation of vibration absorber

圖8 安裝吸振器前后系統相圖Fig.8 System phase diagram before and after installation of vibration absorber

圖9為振動系統的頻譜響應曲線，通過對比可以發現，振動系統包含兩個共振頻率，分別為280 Hz左右的主共振頻率及75 Hz左右的諧振頻率，安裝顆粒阻尼吸振器之后系統的主共振峰值及諧振峰值都有明顯降低。進一步證明了顆粒阻尼吸振器對軋機上工作輥具有良好的抑振效果。

圖9 安裝吸振器前后系統頻譜曲線Fig.9 System spectrum curve before and after installation of vibration absorber

通過改變軋機上工作輥非線性剛度參數k10、激勵力F、顆粒阻尼吸振器等效剛度系數k2、等效阻尼系數c2可以得到各參數對主共振幅頻響應的影響,如圖10所示。

圖10 各參數的主共振幅頻響應曲線Fig.10 Main common amplitude frequency response curve of each parameter

由圖10(a)可知，由于軋機非線性剛度的存在，會引起主共振峰偏移，隨著非線性剛度系數的增加，偏移量也逐漸增加；由圖10(b)可知，隨著激勵力的增加，系統的主共振峰峰值迅速增加，且共振域也明顯增加；由圖10(c)可知，當顆粒阻尼吸振器的等效剛度系數k2增加時，軋機上工作輥的振幅逐漸減小，共振域也隨之減小，共振峰也逐漸回偏；由圖10(d)可知，當顆粒阻尼吸振器的等效阻尼系數c2增加時，共振峰及共振域都迅速減小。因此，在實際軋制過程中應盡量避免產生過大的軋制力，設計顆粒阻尼吸振器時，應在合理范圍內選擇較大的等效剛度系數k2及等效阻尼系數c2，從而降低主共振的振動幅值。

3 帶有顆粒阻尼吸振器的軋機上工作輥內共振特性分析

3.1 系統內共振響應求解

考慮到帶有顆粒阻尼吸振器的軋機上工作輥系統的內共振情況，假設

ω=ω10+εσ，ω20=ω10+εσ1，
ω30=ω20+εσ2=ω10+ε(σ1+σ2)，
ω40=ω20+εσ3=ω10+ε(σ1+σ3)

式中：σ為軋機上工作輥的頻率調諧因子；σ1，σ2，σ3為多自由度顆粒阻尼吸振器各個部分的頻率調諧因子。代入式(9)，為避免出現永年項，要求函數A1，A2，A3，A4滿足

(16)

將復函數A1，A2，A3，A4寫為指數形式

A1=0.5aeiφ1，A2=0.5beiφ2，
A3=0.5ceiφ3，A4=0.5deiφ4

式中，a，b，c，d，φ1，φ2，φ3，φ4為時間T1的函數，令

θ=σT1-φ1,θ1=σ1T1+φ2-φ1,
θ2=σ2T1+φ3-φ2,θ3=σ3T1+φ4-φ2

將A1，A2，A3，A4，θ，θ1，θ2，θ3代入式(16)，令等式兩邊的虛部和實部相等，得

(17)

考慮靜定軋機上工作輥處于穩態周期運動時

(18)

式(19)中，量的表達式見附錄A。

3.2 帶有吸振器的軋機上工作輥內共振響應分析

內共振過程是系統各運動部分之間的能量交換過程，根據系統的內共振幅頻響應方程，仿真分析了顆粒阻尼吸振器各個參數對系統內共振的影響曲線。之后所有圖中曲線a，b，c，d分別代表等效質量m1的量綱幅值、等效質量mc的量綱幅值、等效質量m3的量綱幅值以及等效質量mb的量綱幅值。

圖11給出了不同等效剛度k2對應的系統內共振幅頻響應曲線。由圖11可知，隨著k2的增加，曲線a的峰值以及共振域減小，同時吸振器各部分對軋機上工作輥的振動響應加快，即能量耗散加快，有助于軋機上工作輥更快達到穩定狀態。因此在設計顆粒阻尼吸振器時，應盡量選擇較大的等效剛度系數k2。

圖11 等效剛度k2影響曲線Fig.11 Equivalent stiffness k2 influence curve

圖12給出了不同等效阻尼系數c2對應的系統內共振幅頻響應曲線。由圖12可知，隨著c2的增加，曲線a的峰值以及共振域減小，但是吸振器各部分對軋機上工作輥的振動響應逐漸滯后，考慮是阻尼c2增大使其本身耗能增加，當c2的能量耗散負荷達到飽和之后，吸振器的其他部分才成為耗能主體，所以隨著c2增大會出現響應滯后現象。因此在設計顆粒阻尼吸振器時，要盡量選擇較大的等效阻尼系數c2。

圖12 等效阻尼c2影響曲線Fig.12 Equivalent damping c2 influence curve

圖13給出了不同等效剛度系數k3對應的系統內共振幅頻響應曲線。由圖13可知，k3的增加對曲線c影響較大，對其余曲線影響不大，隨著k3增加，質量外環m3對上工作輥的振動響應逐漸滯后，因此在設計顆粒阻尼吸振器時，要盡量選擇較小的等效剛度系數k3。

圖13 等效剛度k3影響曲線Fig.13 Equivalent stiffness k3 influence curve

圖14給出了不同等效阻尼系數c3對應的系統內共振幅頻響應曲線。由圖14可知，c3的變化對曲線a，b，d影響不大。當c3較小時，質量外環m3對上工作輥的振動響應非?？?，但是當曲線a達到峰值時，其響應迅速降低，之后吸振器中僅有顆粒部分有較大的耗能效果。隨著c3的增加，m3又重新成為耗能主體，當c3繼續增大時，m3響應加快。因此在設計顆粒阻尼吸振器時，應盡量選擇較大的等效阻尼系數c3。

圖14 等效阻尼c3影響曲線Fig.14 Equivalent damping c3 influence curve

圖15為不同等效質量m2對應的系統內共振幅頻響應曲線。由圖15可知，m2的變化對系統的影響非常小。隨著m2的增加，mc及mb對上工作輥的振動響應稍有加快。因此在設計顆粒阻尼吸振器時，可以在合理范圍內選擇較大的等效質量m2。

圖15 顆粒容器質量m2影響曲線Fig.15 Particle container mass m2 influence curve

圖16為不同外環質量m3對應的系統內共振幅頻響應曲線。由圖16可知，隨著m3的增加，質量m3及mb在曲線a達到峰值前對上工作輥的振動響應逐漸增加，且當m3=2.55時，外環在曲線a的振動峰值前后都有很大響應，因此，在設計顆粒阻尼吸振器時，應盡量選擇較大的外環質量m3。

圖16 外環質量m3影響曲線Fig.16 Outer ring mass m3 influence curve

圖17為不同顆粒群質量ma對應的系統內共振幅頻響應曲線。由圖17可知，隨著ma的增加，曲線d對上工作輥的振動響應逐漸增加。因此較大的顆粒群質量對于耗散主振系統的能量是有利的。但是要考慮實際情況，顆粒群要有足夠的空間來進行跳動，因此不能一味的增加顆粒的數量。

圖17 顆粒質量ma影響曲線Fig.17 Particle quality ma influence curve

由于顆粒阻尼具有高度非線性的阻尼機理，當發生跳動的顆?？傎|量mb增加時，其等效阻尼c與等效剛度k也會呈現實時非線性變化。即隨著跳動顆粒數量的增加，顆粒間的碰撞與摩擦耗能必然增加，從而耗散主系統的振動能量，達到降低軋機上工作輥振幅的目的。

綜合以上分析可以發現，上工作輥的振動能量最后主要是由等效質量mb以及m3來進行耗散的，即本文設計的顆粒阻尼吸振器中，顆粒群及質量外環是主要耗能部件。

4 顆粒阻尼吸振器的試驗研究

4.1 試驗裝置

根據3.2節中分析的各參數對系統的影響，同時考慮振動控制目標結構、安裝位置、安裝空間等因素，加工顆粒阻尼吸振器如圖18所示。

圖18 顆粒阻尼吸振器Fig.18 Particle damping absorber

利用磁吸式三向加速度傳感器、東華DH5922D動態信號測試分析系統、東華DHDAS軟件平臺、靜定軋機、顆粒阻尼吸振器搭建試驗平臺，試驗平臺示意圖如圖19所示。

1.傳動側上軸承座；2.上工作輥；3.操作側上軸承座；4.磁吸式三向加速度傳感器；5.顆粒阻尼吸振器；6.操作側下軸承座；7.東華DH5922D動態信號測試分析系統；8.下工作輥；9.東華DHDAS軟件平臺；10.傳動側下軸承座。圖19 試驗平臺裝置示意圖Fig.19 Experimental platform device schematic diagram

4.2 試驗結果及分析

為了與仿真結果相互驗證，在每個顆粒容器中放500顆直徑2 mm的鐵珠進行試驗。圖20、圖21分別為安裝顆粒阻尼吸振器前后軋機上工作輥的時域曲線以及頻譜曲線。

圖20 安裝吸振器前后系統時域曲線Fig.20 System time domain curve before and after installation of vibration absorber

圖21 安裝吸振器前后系統頻譜曲線Fig.21 System spectrum curve before and after installation of vibration absorber

由圖20可以看出，安裝了吸振器之后，軋機上工作輥振幅降低25%左右，理論分析值為23%左右，結果基本吻合。存在的較小誤差考慮是顆粒阻尼的耗能機理比較復雜，其實際耗能比理論分析值更多。由圖21可以看出，上工作輥的振動信號主要由280 Hz左右的主共振頻率以及75 Hz左右的諧振頻率組成，與理論分析結果基本吻合。

綜上所述，本文設計的顆粒阻尼吸振器能有效降低軋機上工作輥的振動幅值，并使振動系統更加穩定。

5 結 論

本文設計了一種應用于軋機上工作輥的多自由度顆粒阻尼吸振器，通過模擬仿真及試驗研究了裝有吸振器的軋機上工作輥的動力學行為，結論如下：

(1) 考慮了軋機軋制界面的非線性剛度，建立了安裝顆粒阻尼吸振器的軋機上工作輥四自由度模型。采用多尺度法求解得到了系統主共振與內共振幅頻響應方程，根據奇異性理論得到了系統的轉遷集與相應臨界點和各區域的分岔拓撲結構，控制開折參數落入區域Ⅰ和區域Ⅲ有助于提高系統的穩定性。

(2) 通過MATLAB仿真分析得到系統的時域曲線、相圖以及頻譜曲線，找到了振動系統主共振頻率以及諧振頻率。通過搭建試驗平臺，對顆粒阻尼吸振器的減振效果進行試驗，結果與理論分析結果基本吻合。振幅抑制效果存在較小的誤差，考慮是顆粒復雜的耗能機理所導致的。

(3) 綜合主共振分析以及內共振分析，可以發現，本文設計的顆粒阻尼吸振器中質量外環及顆粒群是耗能主體部分。在設計顆粒阻尼吸振器時，應在合理范圍內選擇較大的等效剛度系數k2、較大的等效阻尼系數c2、較小的等效剛度系數k3、較大的等效阻尼系數c3、較大的等效質量m2、較大的外環質量m3以及較大的顆粒群質量ma。

由于顆粒阻尼具有強非線性特征，并且影響因素眾多，因此，建立起一個更合理、更全面的等效理論模型以及對其耗能機理進行深入分析是下一步的工作重點。

附錄A

式(18)中：

其中，

l=ac(ω30δ20γ40-ω10δ30γ30),

m=ac(δ20δ30+ω10ω30γ30γ40),

n=ad(ω40δ20γ50-ω10δ40γ30),

s=ad(δ20δ40+ω10ω40γ30γ50),

p=abω10ω20γ30(γ30+γ40+γ50),

q=2abω20δ20(σ-σ1),

w=2abω10ω20γ30(σ-σ1),

h=abδ20ω20(γ30+γ40+γ50),