計入箱體軸柔性的主減齒輪系統振動特性研究

周麗杰， 陳 凱， 范永琦， 柴召朋， 王義文

(1. 哈爾濱理工大學 機械動力工程學院，哈爾濱 150080; 2. 哈爾濱東安汽車發動機制造有限公司，哈爾濱 150060)

AT變速器是當前應用最廣泛的變速器之一，其噪聲、振動與聲振粗糙度(noise, vibration and harshness, NVH)性能是評價汽車行駛安全性和駕駛舒適性的重要指標。在高檔位AT變速器國產化的歷程中，大量研究表明，其內部主減齒輪系統的嚙合振動是變速器噪聲超標的主要原因之一[1]。高檔位AT變速器傳動系統的結構形式特殊，主減驅動齒輪直接與軸承連接，軸承靠箱體軸支撐，箱體軸的薄壁結構使輸入軸的剛度降低，進而引起額外的動態激勵。特別地，主減齒輪系統多設計成大重合度斜齒輪傳遞，以降低嚙合剛度激勵程度，但重合度的分配又會進一步影響系統的振動響應。因此，揭示箱體軸柔性以及內外激勵對主減齒輪系統動態響應特性的影響規律，對于提高國產變速器NVH性能具有重大意義。

當前，在齒輪傳動系統動力學特性研究方面，國內外學者均采用集中參數法或有限元法。根據齒輪傳動系統的特點，考慮將時變嚙合剛度激勵、誤差激勵、嚙合沖擊激勵等非線性和時變性因素，建立不同類型的系統模型，進而分析系統的動態響應[2-4]。如Omar等[5]通過集中參數法建立了多自由度齒輪系統模型，考慮了系統動能、勢能、內、外部激勵，得到了不同參數變化時的齒輪系統動態響應。Shiau等[6]結合有限元法與廣義多項式展開法，建立了扭轉-橫向耦合的混合動力學模型，研究了軸承剛度、阻尼、齒輪嚙合位置對系統動力學特性的影響。常樂浩等[7]基于有限單元法，提出了一種考慮嚙合剛度、齒輪誤差和箱體柔性等因素影響的齒輪-軸-軸承-箱體耦合動力學模型。Yang[8]基于Newmark算法建立了多齒輪嚙合傳動系統模型，在考慮非線性齒側間隙情況下，研究了傳動系統在確定性載荷和隨機載荷作用下的振動問題。

關于汽車變速器振動嘯叫，主要通過考慮內部激勵與外部激勵對系統振動特性的影響進行研究。Park等[9]基于Romax軟件建立了無級變速箱的整體系統模型，包括非線性嚙合剛度、以及齒輪組件載體、殼體的柔性，分析了不同齒面接觸形態對系統的影響。符升平等[10]通過集中參數法和有限元法，建立了汽車6AT變速箱齒輪軸與箱體的動力學耦合模型，通過分析齒輪軸系的動態響應測驗模型危險區域的振動加速度。梅亞[11]基于Romax軟件建立了4AT變速器模型，分析了齒輪與殼體柔性變形對齒輪傳遞誤差、嚙合錯位量等嚙合特性參數的影響。陳龍等[12]基于汽車發動機引起噪聲階次特征的特點，結合階次追蹤法，對汽車變速器加速工況振動信號進行階次分析。

綜上所述，現有文獻多關注傳統三軸式低檔位變速器的動力學建模與振動激勵研究。關于目前市場上主流產品——高檔位含行星輪系的AT變速器研究很少，因此，研究其振動產生和傳遞的關鍵部件并分析其動態響應規律及影響因素具有重要的實際工程意義。本文針對某型號6AT變速器的主減齒輪系統，采用有限單元離散化建模方法，計入箱體軸柔性、靜態傳遞誤差激勵以及不同重合度下斜齒輪時變嚙合剛度的影響，建立了主減齒輪系統的彎-扭-軸-擺全耦合動力學方程。值得注意的是：此處的軸不是實體軸，而是軸向的一個自由度，即軸線方向的移動。分析了主減齒輪系統的固有特性，采用數值解法，獲得不同工況和不同重合度下系統的振動響應特性，為變速器的減振降噪設計提供重要的理論支撐。

1 齒輪-軸承-轉子系統動力學模型

某型號6AT變速器的動力是由液力變矩器傳遞給兩排行星齒輪，然后由后排齒圈傳遞給一級主減齒輪系統。由于空間結構的特殊性，該齒輪系統也是引起自動變速器振動及噪聲的主要原因之一。圖1給出了齒輪系統結構示意圖，該系統主要包括輸入軸(輸入花鍵和驅動齒輪)、輸入軸軸承(角接觸球軸承1對)、箱體軸、輸出軸(從動齒輪、輸出齒輪)、輸出軸軸承(圓錐滾子軸承1對)。特別地，圖1中黑白網格的零件具有盤狀截面，并直接與箱體固接，為了與其他軸區分，將其命名為箱體軸。輸入軸外表面固接輸入花鍵和驅動齒輪，內表面與軸承外圈相配合，軸承內圈與箱體軸配合為靜止部件，驅動齒輪與從動齒輪嚙合后，動力經由輸出齒輪傳遞給下級減速系統。

圖1 主減齒輪系統結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of main reduction gear system

1.1 系統的有限單元法模型

上述齒輪傳動系統盡管機械連接方式具有其特殊性，但仍然具有齒輪傳動系統多自由度、質量連續分布、彈性單元組成的性質。因此，基于有限單元法，將齒輪傳動系統離散為不同種類的單元，根據各單元節點耦合關系對各單元動力學矩陣進行組裝，進而可求得各節點的動態響應。

圖2為主減齒輪傳動系統離散化結構有限單元模型。輸入軸n上分為5個軸端節點(n1,n2,n3,n4,n5)，輸入花鍵位于節點n1，驅動齒輪位于節點n3，輸入軸n與箱體軸m之間是軸承單元連接。鑒于箱體軸m剛性較差，考慮軸柔性對驅動齒輪動態特性的影響，箱體軸m上分為5個軸端節點(m1,m2,m3,m4,m5)，節點m5與箱體之間是彈性連接。輸出軸l上包括6個彈性軸段(l1,l2,l3,l4,l5,l6)，其中2個軸承單元(l2,l5)，從動齒輪節點l3與n3形成齒輪嚙合單元。綜上，整個輸入齒輪傳動系統共劃分為16個節點，每個節點由空間的3個平動和3個轉動自由度組成；考慮齒輪、軸承和轉子的耦合關系以及轉子的陀螺效應，該系統可由動力學矩陣進行耦合計算。

圖2 主減齒輪系統有限單元模型Fig.2 Finite element model of main reduction gear system

1.2 軸段單元

1.2.1 箱體軸與輸入軸連接處模型

如圖2所示，軸端節點n2與m2,n4與m4分別通過角接觸球軸承單元構成輸入軸-軸承、箱體軸-軸承耦合單元，各節點位移向量可以表示為qsi=[xni,yni,zni,θni,φni,ψni,xmi,ymi,zmi,θmi,φmi,ψmi]T(i=2,4),式中:x,y,z分別為該節點處三個方向的位移；θ,φ分別為該節點x,y方向的轉動角度;ψ為該節點z方向的扭轉角度。其運動微分方程可以表示為

(1)

(2)

1.2.2 軸段單元模型

考慮軸的彎曲變形與扭轉變形對齒輪系統動力學特性的影響，采用Timoshenko梁單元，建立彈性單元軸的12自由度運動微分方程。設第i個軸單元兩側的節點位移列向量qi=[xi,yi,zi,θi,φi,ψi,xi+1,yi+1,zi+1,θi+1,φi+1,ψi+1]T(i=m1,…,m5;n1,…,n5;l1,…,l5)，則軸段單元運動方程可以表示為

(3)

式中，Mi,Ki,Ci分別為第i個軸段單元的質量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣。采用經典的Rayleigh阻尼來計算Ci，其表達式為

Ci=uMi+wKi

(4)

式中:u為質量比例系數;w為剛度比例系數。

1.3 齒輪嚙合單元

1.3.1 嚙合單元運動微分方程

針對輸入端外嚙合斜齒輪副，建立其彎-扭-軸耦合的12自由度動力學模型，齒輪副嚙合狀態簡化為彈性彈簧與阻尼器耦合作用。如圖3所示，驅動齒輪和從動齒輪分別表示為p(即為圖2中n3)和g(即為圖2中l3)，其齒輪半徑分別表示為rp和rg;βpg為斜齒輪的螺旋角；φpg為系統y軸正方向與嚙合面的夾角。則斜齒輪副的位移列向量可表示為qsp=[xp,yp,zp,θp,φp,ψp,xg,yg,zg,θg,φg,ψg]T。

圖3 齒輪嚙合模型Fig.3 Gear meshing model

將兩齒輪各位移向量沿嚙合線方向投影，得出斜齒輪時變相對總變形為

σ(t)=Vqsp-e(t)

(5)

式中:e(t)為齒輪靜態傳遞誤差;V為兩齒輪的投影矢量，可表示為

V=[cosβpgsinφpg,cosβpgcosφpg，sinβpg，

-rpsinβpgsinφpg,-rpsinβpgcosφpg,rpcosβpg,

-cosβpgsinφpg,-cosβpgcosφpg,-sinβpg,

-rgsinβpgsinφpg,-rgsinβpgcosφpg,rgcosβpg](6)

根據牛頓第二定律，嚙合單元的時變運動微分方程為

式中:mp,mg分別為驅、從動齒輪質量；Iψp,Iψg分別為驅、從動齒輪的轉動慣量；wp,wg分別為驅、從動齒輪角速度；Tp,Tg分別為驅、從動齒輪轉矩(取順時針方向為正)；k(t)為時變嚙合剛度；c(t)為時變嚙合阻尼。

則上述微分方程的矩陣表達式為

(8)

式中:Mm,Cm,Km分別為齒輪嚙合單元的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Gm為陀螺矩陣；Fe為時變沖擊力；FT為載荷激勵力，且FT可由(9)給出。

FT=[0,-mpg,0,0,0,Tp,0,-mgg,0,0,0,-Tg]T

(9)

1.3.2 時變嚙合剛度分析

由于空間螺旋線的存在，斜齒輪的嚙合剛度不僅隨著齒廓嚙合位置的不同存在時變性，而且受端面重合度和軸面重合度的影響。

此處采用的圓柱斜齒輪其總重合度εγ為3.0，根據近似替代理論，當總重合度較大時，斜齒輪的理論嚙合剛度可近似表達為總的齒輪副接觸線長度和單位面積上輪齒嚙合剛度的乘積[13]。

k′(t)=ka·l(t)

(10)

式中:ka為在單位面積上輪齒嚙合剛度;l(t)為總的齒輪副接觸線長度。

圖4 三種齒輪接觸模型及嚙合區域的接觸線分布圖Fig.4 Three kinds of gear contact models and contact line distribution diagram of meshing area

以下分三種情況，分別求解l(t)的表達式：

當εα<εβ時，

(11)

當εα=εβ時，

當εα>εβ時，

(13)

上述理論嚙合剛度k′(t)的周期性函數可以展開為同周期的傅里葉函數，與其相對應的時變嚙合剛度k(t)表示為

(14)

式中，km為平均嚙合剛度，由ISO-6336求解。其中,an,bn與理論嚙合剛度的關系為

(15)

取傅里葉函數六階多項式進行對比，得到三種不同重合度組合((a)εα=1.44,εβ=1.56；(b)εα=1.50,εβ=1.50；(c)εα=1.56,εβ=1.44)的時變嚙合剛度擬合曲線，結果如圖5所示。從圖5中可以看出，(b)組合時變嚙合剛度的幅值變化區間最大，(a)組合和(c)組合幅值波動的區間較小。

圖5 三種時變嚙合剛度擬合曲線圖Fig.5 Fitting curves of three time-varying meshing stiffness

1.3.3 齒輪靜態傳遞誤差分析

齒輪在制造與安裝過程都會產生誤差，對齒輪動力傳遞有很大影響。傳遞誤差的大小為實際嚙合位置與理論嚙合位置在嚙合線上的差值，齒輪傳遞誤差可以按嚙合頻率進行傅里葉級數展開，表示為

(16)

式中，e0為平均傳遞誤差，取值為0。

圖6 齒輪靜態傳遞誤差曲線圖Fig.6 Static transmission error curve of gear

1.4 軸承-基礎單元

輸出軸上的圓錐滾子軸承與箱體直接相連，軸承的剛度和阻尼是系統建模須考慮的重要因素。由于箱體剛性較大，軸承的軸向剛度與徑向剛度可視為常數；軸承的相對質量較輕，固不考慮軸承質量對系統動態特性的影響。設軸l與軸承耦合的第j個節點位移列向量為qst=[xlj,ylj,zlj,θlj,φlj,ψlj](j=2,5)。則軸承-基礎單元的運動微分方程為

(17)

(18)

1.5 齒輪系統動力學模型

根據有限單元法理論，將軸段單元子陣、齒輪嚙合子陣與軸承支承子陣，式(1)、式(3)、式(8)、式(17)組裝到整體矩陣中，將主減齒輪系統的動力學模型表示為

(19)

式中:q為所有節點位移列向量;M,C,G,K分別為組合質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣；F為組合激勵力。主減齒輪系統劃分為16個節點，輸入軸與箱體軸通過軸承單元進行耦合，輸入軸與輸出軸通過齒輪嚙合單元進行耦合，依據系統整體節點編號與各單元局部節點編號對應關系將軸段單元、齒輪嚙合單元、軸承-基礎單元組裝到系統中，系統矩陣組裝規則如圖7所示。

圖7 主減齒輪系統矩陣組裝規則圖Fig.7 Main reduction gear system matrix assembly rule diagram

式(19)中的系數為時變的周期性函數，采用Newmark-β積分算法對其進行求解[15]。此算法對線性加速度算法進行了修正，在t+Δt時刻的位移列向量和速度列向量中引入控制參數γ1，β1，如下式

(20)

(21)

式中，Δt為積分步長，考慮方程穩定性令γ1=0.5，β1=0.25。根據式(20)和式(21)可得：

t+Δt時刻的主減齒輪系統動力學模型方程為

(22)

(23)

2 齒輪傳動系統振動特性分析

上述齒輪-軸承-轉子耦合系統在傳動過程中，斜齒輪嚙合剛度和嚙合誤差動態激勵將導致各節點的6自由度振動，其中齒輪節點的扭轉振動和相對位移振動尤為突出。在建模中，由于考慮了箱體軸柔性與輸入軸的耦合作用，系統的模態響應和動態響應均發生變化；同時齒輪重合度的變化與時變嚙合剛度直接相關，影響系統的振動響應幅值。將某型號6AT變速箱主減齒輪系統主要結構參數(表1)代入上述系統非線性耦合模型中，并進行求解。

表1 某型號6AT變速箱主減速齒輪系統結構參數Tab.1 Structural parameters of the main reduction gear system of a 6AT transmission

2.1 固有特性分析

不考慮系統阻尼和外部激勵，變速箱傳動系統的實際轉速范圍為500～6 500 r/min，分別計算出未考慮箱體軸的66自由度傳動系統和耦合了箱體軸后(考慮了箱體軸各節點30個自由度)的96自由度傳動系統前15階固有頻率和模態振型，結果如表2所示。對比結果發現，耦合箱體軸后系統的固有頻率在4階之后呈現明顯的減小趨勢。這主要是由于將輸入軸的軸承連接到箱體軸上，箱體軸的柔性增加了輸入軸的柔性，導致系統的部分固有頻率降低。對比不同階次下模型中相近的固有頻率，它們的振型比較接近，如未耦合箱體軸的第4階固有頻率與耦合箱體軸的第5階固有頻率，未耦合箱體軸的第7階固有頻率與耦合箱體軸的第9階固有頻率；但耦合箱體后出現了一些新的振型，如第8階的x,y向移動，第10階的x,y向彎擺振動。這是由于箱體軸代入的自由度使系統呈現更多的聯合共振振型。由此表明，將箱體軸計入系統模型更能反應主減齒輪的振動特性。

表2 固有頻率與振型Tab.2 Natural frequency and mode shape

2.2 不同工況下系統振動響應分析

對齒輪傳動系統的動態特性進行分析，當輸入轉速逐漸遞增，負載為150 N·m時，分別測量輸入軸上n2,n3,n4節點，輸出軸上l2,l3,l4節點的振動位移幅值，結果如圖8所示。從圖8中可以看出，各節點的振動幅值隨著轉速的增加而增加，且兩端軸承與嚙合齒輪具有相同的變化趨勢。當輸入轉速為2 910 r/min，3 290 r/min，3 920 r/min，4 910 r/min，5 760 r/min時，節點的振動幅值有凸起。當轉速為3 290 r/min和3 920 r/min時，激勵頻率成分為3/2fm和fm(fm為嚙合頻率)，與系統的第32階(4 222.9 Hz)和27階固有頻率(3 461.4 Hz)相接近，從而使系統節點的振動有所凸起。當轉速為2 910 r/min和5 760 r/min時，激勵頻率成分為2fm和fm，與齒輪系統的第36階固有頻率(5 001.9 Hz)接近，激起系統以y向的彎扭振動為主的振動形式，但其能量不大。當轉速為4 910 r/min時，驅動齒輪節點、輸出齒輪節點和輸出軸承節點振動的幅值明顯增加，系統出現凸起的共振峰，由于輸入軸承節點n2,n4與箱體軸直接相連，箱體軸的柔性弱化了該節點的振動強度，使其幅值降低。

圖8 輸入軸與輸出軸重要節點的速度-位移圖Fig.8 Velocity-displacement diagram of important nodes on input and output axes

進一步，保持傳動系統工況不變，仍采用升速的形式(間隔為250 r/min)，在不同轉速下獲取嚙合齒輪節點n3和l3在嚙合線方向相對振動幅值的頻譜，得出齒輪系統的階次分析圖，結果如圖9所示。從圖9中可以看出，齒輪系統階次幅值在fm和2fm處幅值高值明顯，并在3/2倍頻階次處也出現了較高幅值，但其能量較小；隨著轉速的增加各階次的幅值頻率隨之增加，最高峰值出現在5 000 r/min附近(與圖9的4 910 Hz)對應，激勵頻率fm對應系統的第32階固有頻率(4 222.9 Hz)，2fm對應系統的45階固有頻率，激起系統x,y向彎扭擺振動為主的振動形式，此時系統共振十分明顯。

圖9 齒輪嚙合處位移瀑布圖Fig.9 Displacement waterfall diagram of gear meshing

對輸出齒輪施加三種不同扭矩載荷80 N·m，150 N·m和220 N·m時，嚙合線方向相對振動位移幅值與轉速的關系，如圖10所示。當輸入轉速在500～2 200 r/min時，相對位移的幅值波動較小，其大小隨著載荷的增加成正比增加。這是由于隨著系統外部激勵增加，靜態傳遞誤差變大，引起時變沖擊力與載荷激勵力增大，導致振動加劇。當輸入轉速在2 200～6 500 r/min時，系統在共振點峰值處的相對位移幅值隨著載荷的增大而增大，但增幅較小。這主要是由于峰值的激增主要受固有頻率下的模態振型影響，系統載荷作為外部激勵影響占比相對減弱。綜上，對于主減齒輪系統的動態響應，隨著外加負載的增加而增強，但在共振點處增量值受共振頻率下的振型影響，增幅較小。

圖10 三種不同扭矩的速度-位移圖Fig.10 Speed-displacement diagram of three different torques

2.3 不同重合度下系統動態響應

進一步，當端面重合度不變時，研究主減齒輪不同軸向重合度對動態特性的影響規律。此處端面重合度(εα)取1.56，軸向重合度(εβ)分別取0.64, 1.04, 1.44，齒輪嚙合線方向相對振動位移幅值與轉速的關系,如圖11所示。隨著軸向重合度的增加，系統的相對位移幅值減小；這主要是由于重合度增加，時變嚙合剛度的平均值和波動幅值減小，使系統的動態響應減弱。特別地，在共振點4 910 r/min處，系統的振動能量隨著軸向重合度的增加明顯減弱，相對位移幅值降低幅度最大。

圖11 三種不同軸向重合度的速度-位移圖，端面重合度1.56Fig.11 Velocity-displacement diagram of three different coaxial coincidence degrees with end face coincidence degrees of 1.56

考慮主減齒輪系統總重合度為3.0，針對圖5所示的三種不同的端面重合度和軸向重合度組合，研究系統的動態響應規律，結果如圖12所示。當輸入轉速在500～6 500 r/min時，可以看出三組嚙合線方向相對位移幅值變化趨勢一致，(b)組合位移幅值最大，(a)組合次之，(c)組合最小。在共振轉速處，隨著重合度組合的改變其相對位移幅值增幅變大；這主要是由于(b)組合的時變嚙合剛度波動幅值較其他兩組更大，導致所有振區間的振動均加劇，且共振區間振動更加劇烈；(c)組合的時變嚙合剛度波動幅值較小，且其平均嚙合剛度較大，所以在各轉速下的振動能量相對較弱。

圖12 三種不同重合度組合的速度-位移圖Fig.12 Velocity-displacement diagram of three combinations with different coincidence degrees

進一步，固定輸入轉速為2 000 r/min進行頻域分析，通過傅里葉變換，將三種不同重合度組合的振動位移時域信號轉化為頻域信號，結果如圖13所示。可以看出，三種不同重合度組合除了在主頻處存在振動幅值，還在2倍頻、3倍頻以及在1/2倍頻處(僅(b)組合)存在較大的振動幅值。其中主頻和2倍頻處的振動幅值能量較大，特別在2倍頻處(b)組合振動幅值較(a)和(c)組合凸出明顯。(c)組合在1倍頻和2倍頻處的振動幅值較小，這與圖5的時變嚙合剛度變化規律相吻合。

圖13 三種不同重合度組合的位移頻域圖Fig.13 Displacement frequency domain diagram of three combinations of different coincidence degrees

3 結 論

本文計入了箱體軸柔性、大重合度下斜齒輪時變嚙合剛度影響，采用有限單元離散化建模方法，建立了某型6AT變速器主減齒輪系統的齒輪-軸-軸承全耦合動力學模型，通過數值算法對系統的固有特性與動態特性進行分析，得出以下結論：

(1)計入箱體軸柔性后系統的低階固有頻率略微降低，但系統增加了新的模態與振動形式。

(2)輸入轉速在500～6 500 r/min內，主減齒輪嚙合頻率的1倍頻和2倍頻處出現了明顯的階次幅值，隨著倍次的增加，系振動能量變小，但當轉速在4 900 r/min附近時系統出現明顯的共振；而外界載荷的增大導致系統振動幅值的增加，但在共振點處主要受到固有頻率下的模態振型影響。

(3)不同重合度比值影響系統時變嚙合剛度的平均值與波動幅值，當端面重合度大于法向重合度時減弱了系統相對振動位移處幅值，在2倍頻處體現的效果最為明顯。