綜合大質(zhì)量偏心與彈簧橫向剛度超靜主動隔振平臺動力學(xué)解耦控制研究

楊鴻杰，代 鋒，劉 磊，李新國

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072；2.陜西省空天飛行器設(shè)計重點實驗室，西安 710072;3.中國空間技術(shù)研究院西安分院，西安 710000)

高精密儀器設(shè)備如空間光鐘、空間望遠(yuǎn)鏡等對微振動環(huán)境的要求愈發(fā)苛刻[1-4]。微振動的特點在于振動幅值小，一般在mg量級，但振動頻率范圍寬[5-6]。從傳遞路徑上區(qū)分，微振動隔離方式可分為擾源處隔離、傳遞路徑隔離以及有效載荷處隔離[7-8]。針對擾源和有效載荷的微振動隔振手段有正、負(fù)剛度并聯(lián)的低頻隔振器[9]，磁懸浮式多自由度主動隔振器[10]，將星上擾源和超靜載荷從物理上隔離的分離式隔振平臺等[11-12]。六支腿或八支腿并聯(lián)式主動隔振平臺由于其寬頻帶振動隔離性能，在航空航天領(lǐng)域里得到了廣泛應(yīng)用[13-14]。在工程應(yīng)用中，隔振載荷的質(zhì)量偏心和連接彈簧的橫向剛度誘發(fā)多自由度動力學(xué)耦合問題不僅增加主動隔振平臺支腿彈簧剛度、支腿安裝構(gòu)型的設(shè)計難度，而且降低主動隔振性能。

動力學(xué)耦合導(dǎo)致主動隔振平臺從基座擾動輸入到隔振平臺加速度輸出的傳遞曲線存在多個耦合諧振頻率[15]，在控制上是一個多輸入多輸出系統(tǒng)。一方面多輸入多輸出系統(tǒng)控制器設(shè)計較為困難，另一方面控制器在執(zhí)行過程中消耗較多的計算資源，不利于高帶寬隔振控制器的實時運行。通過優(yōu)化支腿安裝構(gòu)型可設(shè)計出多自由度解耦或弱耦合的主動隔振平臺，例如弱耦合的六作動器Cubic構(gòu)型[16-17]，完全解耦的八作動器各向同性構(gòu)型等。在隔振平臺構(gòu)型優(yōu)化過程中采用的動力學(xué)模型多面向控制需求所建立，建模中忽略了彈簧或柔性鉸鏈橫向剛度以降低支腿安裝雅克比矩陣的維數(shù)[18-19]。采用忽略橫向剛度的動力學(xué)模型進(jìn)行隔振平臺構(gòu)型優(yōu)化，可能會導(dǎo)致優(yōu)化構(gòu)型不能實現(xiàn)動力學(xué)解耦。此外構(gòu)型優(yōu)化中需假設(shè)載荷質(zhì)心是隔振平臺的形心，或保持固定高度不變，因此當(dāng)隔振載荷質(zhì)心高度變化時，隔振平臺動力學(xué)解耦可能會失效。部分文獻(xiàn)考慮了彈簧橫向剛度的影響，但尚未深入探討橫向剛度對隔振平臺動力學(xué)耦合特性的影響[20]。

為克服構(gòu)型優(yōu)化實現(xiàn)動力學(xué)解耦方法的不足，從控制方法實現(xiàn)隔振平臺動力學(xué)解耦得到廣泛關(guān)注。美國空軍實驗室開發(fā)的VISS主動隔振平臺隔振控制器忽略多支腿之間的動力學(xué)耦合，每個支腿被視為獨立的控制通道，從而將隔振平臺從多輸入多輸出系統(tǒng)簡化為六個單輸入單輸出系統(tǒng)[21]。但由于多支腿之間控制帶寬不同，導(dǎo)致主動控制力可能經(jīng)過耦合通道傳遞到隔振載荷。并且若某個支腿因故障失效后，可能會導(dǎo)致隔振載荷多個自由度隔振性能的下降。張培軍等[22]基于filtered-x least mean square (FXLMS)算法將隔振平臺耦合通道劃分為子通道和次級通道實現(xiàn)解耦控制，開展了定頻擾動的解耦隔振實驗，但基于FXLMS的解耦控制方法對于變頻擾動的隔離性能有待研究。王曉雷等[23]利用模態(tài)向量的正交性對主動隔振平臺動力學(xué)模型中質(zhì)量矩陣和剛度矩陣進(jìn)行對角化，在模態(tài)空間中實現(xiàn)解耦隔振控制，但動力學(xué)模型中尚未考慮連接支腿橫向剛度的影響，導(dǎo)致模態(tài)矩陣計算不準(zhǔn)確。于帥彪等[24]利用實驗辨識模態(tài)坐標(biāo)下面向控制的隔振平臺動力學(xué)模型，但辨識的參數(shù)在模態(tài)坐標(biāo)系下，不便用于隔振平臺彈簧剛度和安裝構(gòu)型的優(yōu)化設(shè)計。

本文首先綜合載荷大質(zhì)量偏心和彈簧橫向剛度建立超靜主動隔振平臺耦合動力學(xué)模型，分析其動力學(xué)耦合特性，為隔振平臺參數(shù)設(shè)計和動力學(xué)解耦隔振控制提供精確的模型參考。隨后給出模態(tài)空間動力學(xué)解耦隔振控制策略。最后通過實驗驗證所建立動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性和解耦隔振控制方法的有效性。

1 超靜主動隔振平臺耦合動力學(xué)建模

圖1 主動隔振平臺三維模型和坐標(biāo)系Fig.1 Three-dimensional model and coordinate system of active vibration isolation platform

為了描述隔振平臺的運動，建立與地面固連的慣性坐標(biāo)系Oxyz，與基座質(zhì)心固連的坐標(biāo)系Bxyz以及與隔振平臺質(zhì)心固連的坐標(biāo)系Pxyz。tp和tb分別是隔振平臺坐標(biāo)系原點和基座坐標(biāo)系原點在慣性坐標(biāo)系下的位置，d是隔振載荷質(zhì)心與彈簧連接點的偏心高度。隔振平臺的牛頓-歐拉動力學(xué)方程可寫成

(1)

式中：Mp和Ip分別是隔振平臺的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；ωp是隔振平臺的轉(zhuǎn)動角速度；Fd和Td是施加到隔振平臺的擾動力和力矩；Fc和Tc是主動控制力和力矩。

施加到隔振平臺的擾動力和力矩主要因彈簧變形產(chǎn)生，單根彈簧除了軸向擾動力外，還需考慮沿橫向的擾動力，如圖2所示。

圖2 彈簧的橫向力和軸向力Fig.2 Transverse forces and axial forces of spring

第i根彈簧施加到隔振平臺的擾動力可寫成

(2)

(3)

(4)

彈簧的安裝雅克比矩陣Jp和Jb可表示為

(5)

式中：rpi和rbi分別是彈簧在隔振平臺和基座坐標(biāo)系下的安裝位置；τpi和τbi分別是彈簧在隔振平臺和基座的安裝方向向量。

考慮彈簧橫向剛度下，單個彈簧存在三個方向向量，與彈簧彈力方向一致。彈簧安裝方向向量示意圖如圖3所示。在隔振平臺構(gòu)型設(shè)計確定的情況下，彈簧安裝在隔振平臺上的位置pti可以確定，因此彈簧在隔振平臺坐標(biāo)系下的安裝位置與載荷質(zhì)心偏心高度d有關(guān)。

圖3 彈簧安裝方向向量示意圖Fig.3 Schematic of spring installation direction vector

聯(lián)立式(2)、式(3)、式(4)和式(5)，彈簧施加到隔振平臺的作用力可寫成

(6)

其中：K=diag([kx,1ky,1kz,1…kx,8ky,8kz,8]T),

C=diag([cx,1cy,1cz,1…cx,8cy,8cz,8]T)。

式(6)中彈簧擾動力Fs，l施加在彈簧與隔振平臺的安裝位置處，需要投影成相對于隔振平臺質(zhì)心的力和力矩

(7)

將式(6)和式(7)代入式(1)可得超靜主動隔振平臺的耦合動力學(xué)方程

(8)

2 超靜主動隔振平臺動力學(xué)耦合特性分析

動力學(xué)耦合導(dǎo)致基座某一自由度上的擾動傳遞到隔振平臺的多個自由度。本章綜合耦合通道的影響對隔振平臺動力學(xué)耦合特性進(jìn)行分析，為連接彈簧剛度設(shè)計、安裝構(gòu)型設(shè)計以及隔振控制器設(shè)計提供模型參考。

隔振平臺彈簧編號和安裝尺寸如圖4所示。

圖4 彈簧編號和安裝示意圖Fig.4 Number and installation location of spring

圖4中1～4號為垂直安裝彈簧，5～8號為水平安裝彈簧。微振動環(huán)境下，彈簧安裝方向向量τbi和τpi大小和方向近似相等，統(tǒng)一用τi表示，可寫成

(9)

(10)

根據(jù)圖4所示的安裝構(gòu)型，彈簧的安裝方向向量如表1所示。

表1 1～8號彈簧的安裝方向向量Tab.1 Installation direction vectors of No.1-No.8 spring

以y方向線運動和繞x軸轉(zhuǎn)動說明隔振平臺動力學(xué)耦合的原因。如圖5所示，當(dāng)隔振平臺沿y方向運動時，彈簧產(chǎn)生阻礙隔振平臺運動的力fk。由于彈簧力不過隔振平臺的質(zhì)心，因此會產(chǎn)生繞x軸的力矩mx，導(dǎo)致隔振平臺y方向線運動和繞x軸轉(zhuǎn)動運動耦合。

圖5 y方向線運動和繞x軸轉(zhuǎn)動耦合分析Fig.5 Coupling analysis of linear motion in the y direction and rotation about the x axis

根據(jù)隔振平臺動力學(xué)模型式(8)，y方向線運動和繞x軸轉(zhuǎn)動的耦合動力學(xué)方程為

(11)

其中:c22=4cvy+2chy+2chz，

k22=4kvy+2khy+2khz，

c24=c42=-4cvyd-2chyd-2chzd,

k24=k42=-4kvyd-2khyd-2khzd,

式中：kvx、kvy、kvz代表垂直安裝1～4號彈簧的剛度；cvx、cvy、cvz代表垂直安裝1～4號彈簧的等效阻尼；khx、khy、khz代表水平安裝5～8號彈簧的剛度；chx、chy、chz代表水平安裝5～8號彈簧的等效阻尼。

由式(11)中可看出，剛度矩陣和阻尼矩陣中非對角線元素值與載荷偏心高度d和彈簧橫向剛度相關(guān)。根據(jù)式(11)得到從基座y方向加速度擾動輸入到隔振平臺y方向加速度的輸出傳遞函數(shù)為

Gyy=

(12)

式(12)表明，從y方向基座擾動到隔振平臺y方向輸出的擾動傳遞函數(shù)Gyy是四階系統(tǒng)。仿真中隔振平臺和彈簧的參數(shù)如表2所示。根據(jù)式(12)繪制擾動傳遞函數(shù)Gyy的伯德圖如圖6所示。

表2 隔振平臺和彈簧仿真參數(shù)Tab.2 Parameters of isolation platform and spring

(a)

由圖6可看出，由于y方向線運動和繞x軸轉(zhuǎn)動的耦合，從y方向基座擾動到隔振平臺y方向輸出的擾動傳遞曲線有兩個諧振峰，諧振頻率分別是5.9 Hz和16.6 Hz，對應(yīng)擾動傳遞函數(shù)Gyy的兩個極點。兩個諧振峰之間14.6 Hz處局部最小值對應(yīng)擾動傳遞函數(shù)Gyy的一個零點。擾動傳遞函數(shù)Gyy兩個極點可通過求解式(11)對應(yīng)的自由振動的特征方程為

(13)

求解式(13)可得擾動傳遞函數(shù)Gyy兩個極點對應(yīng)的頻率分別是

(14)

式(14)表明,在隔振器被動隔振彈簧參數(shù)設(shè)計中，如果忽略彈簧的橫向剛度，會導(dǎo)致隔振平臺諧振頻率實際值與設(shè)計值不符合，更嚴(yán)重導(dǎo)致隔振平臺實際的動力學(xué)模型階數(shù)與理論模型不符合，降低主動隔振控制性能。定義兩個諧振峰之間的距離為耦合頻帶寬度，在彈簧剛度阻尼以及隔振平臺質(zhì)量特性不變時，擾動傳遞函數(shù)Gyy和耦合頻帶寬度隨載荷偏心高度d的變化,如圖7所示。

由圖7可知，當(dāng)隔振載荷質(zhì)心高度d降低時，第二個諧振峰ω2對應(yīng)的增益降低，表明動力學(xué)耦合效應(yīng)減弱。當(dāng)質(zhì)心高度d為零時，y方向線運動和繞x軸轉(zhuǎn)動角運動解耦，此時傳遞函數(shù)Gyy的階數(shù)降為2階。

3 超靜主動隔振平臺解耦控制方法

隔振平臺多自由度動力學(xué)耦合導(dǎo)致控制器設(shè)計較為復(fù)雜，實時控制過程消耗較多的計算資源，不利于高帶寬隔振控制器的實時運行。從安裝構(gòu)型上實現(xiàn)隔振平臺的動力學(xué)解耦存在隔振載荷質(zhì)心高度變化導(dǎo)致解耦失效的缺點。本章從控制方法對超靜主動隔振平臺動力學(xué)解耦進(jìn)行研究，給出了基于模態(tài)空間解耦的隔振控制方法，并對該方法的有效性進(jìn)行了實驗驗證。

圖7 耦合頻帶寬度隨載荷質(zhì)心高度d的變化Fig.7 Coupling bandwidth changes with height of mass center

通過模態(tài)矩陣對隔振平臺y方向加速度和繞x軸角加速度進(jìn)行如下變換

(15)

將模態(tài)矩陣代入到式(11)得

(16)

式(16)左右兩邊同時左乘ΦT

(17)

根據(jù)式(17)可在模態(tài)坐標(biāo)下設(shè)計解耦隔振控制器。為驗證隔振平臺的動力學(xué)耦合特性和解耦隔振控制方法，開發(fā)了主動隔振實驗平臺如圖8所示。

主動隔振平臺不安裝水平彈簧，僅通過四根彈簧垂直彈簧支撐，以驗證垂直彈簧橫向剛度的影響。隔振平臺上安裝有模擬載荷，兩個音圈電機(jī)和三個加速度傳感器，音圈電機(jī)安裝方向向量與z軸平行，1號和2號加速度傳感器分別與兩個音圈電機(jī)同軸安裝。3號加速度傳感器安裝在側(cè)面，安裝方向與y軸平行。

圖8 主動隔振實驗平臺示意圖Fig.8 Diagram of vibration isolation platform

在實驗室樓面自然微振動擾動輸入下，被動隔振時1號加速度傳感器測量值時域和頻域如圖9所示。由圖9可知，1號加速度傳感器頻域加速度有3個諧振頻率，從小到大分別對應(yīng)隔振平臺y方向，z方向和繞x軸轉(zhuǎn)動的基頻。

(a)

利用加速度傳感器的安裝雅克比矩陣將1號、2號和3號加速度傳感器測量值變換成隔振平臺y方向，z方向和繞x軸轉(zhuǎn)動的加速度，如圖10和圖11所示。隔振平臺動力學(xué)模型表明z方向動力學(xué)解耦，擾動傳遞函數(shù)的階數(shù)是2，圖10中隔振平臺z方向加速度頻譜曲線僅有一個峰值，與2階系統(tǒng)傳遞函數(shù)特性吻合，表明理論動力學(xué)模型特性與實驗系統(tǒng)相符合。

(a)

(a)

動力學(xué)耦合下隔振平臺y方向加速度和繞x軸角加速度具有兩個耦合諧振頻率，實際測量出兩個諧振頻率分別是3.9 Hz和10.1 Hz，表明雖然隔振平臺沒有安裝水平彈簧，但是由于垂直彈簧的橫向剛度的作用，隔振平臺y方向運動和繞x軸轉(zhuǎn)動依然是耦合的，驗證了所建立模型的正確性。

圖12 模態(tài)坐標(biāo)η1和η2加速度頻譜圖Fig.12 Spectrum of modal acceleration

基于模態(tài)空間的隔振平臺動力學(xué)解耦控制方塊圖,如圖13所示。

圖13 解耦隔振控制策略Fig.13 Decoupling vibration control strategy

解耦隔振控制實施流程為：

(1) 根據(jù)式(4)，三個加速度傳感器的測量值通過雅克比矩陣解計算得到隔振平臺y方向，z方向和繞x軸轉(zhuǎn)動的加速度；

(4) 根據(jù)式(17)，模態(tài)坐標(biāo)系下PI隔振控制器的控制力通過矩陣(ΦT)-1變換得到相對隔振平臺質(zhì)心的控制力和力矩，最后通過控制力分配矩陣分配到兩個音圈電機(jī)上，從而實現(xiàn)對基座擾動的振動隔離。

當(dāng)隔振載荷質(zhì)心高度發(fā)生變化時，通過模型辨識方法對隔振平臺模態(tài)矩陣進(jìn)行辨識，無需改變隔振平臺彈簧安裝構(gòu)型可實現(xiàn)動力學(xué)解耦控制。

為了驗證解耦隔振控制方法的有效性，分別開展兩組解耦隔振控制實驗。解耦隔振控制實驗系統(tǒng)如圖14所示。

加速度傳感器(PCB 393B05)的測量值經(jīng)過信號調(diào)理器調(diào)制和放大后以模擬電壓信號輸出，主控計算機(jī)利用16位模擬采集卡(NI 9205)對信號調(diào)理器輸出的模擬電壓信號進(jìn)行采集，通過LabVIEW程序?qū)崿F(xiàn)模擬電壓信號到隔振平臺加速度信號變換，隔振平臺加速度信號到模態(tài)空間加速度變換，模態(tài)空間比例積分計算，最后通過16位模擬輸出卡(NI 9264)輸出控制電壓給音圈驅(qū)動器。音圈驅(qū)動器根據(jù)轉(zhuǎn)換系數(shù)將模擬輸出卡的控制電壓轉(zhuǎn)換成參考控制電流，并通過內(nèi)部電流環(huán)實現(xiàn)音圈電機(jī)線圈電流對參考電流的快速精確控制。

圖14 解耦隔振控制實驗系統(tǒng)組成Fig.14 Composition of decoupling vibration isolation control experimental

為滿足隔振平臺1 Hz左右低頻微弱加速度信號測量和mg量級微振動主動控制需求，實驗室自主研制了信號調(diào)理器、音圈電機(jī)和音圈電機(jī)驅(qū)動器等關(guān)鍵實驗設(shè)備。實驗設(shè)備的型號和參數(shù)如表3所示。

表3 實驗設(shè)備型號和參數(shù)Tab.3 Model and parameters of experimental equipment

實驗一：η2通道隔振控制開啟，z方向和η1通道隔振控制關(guān)閉

從圖15可看出，主動隔振前后模態(tài)坐標(biāo)η2頻譜中10.1 Hz頻率對應(yīng)的幅值從2.1×10-1下降到6.9×10-4，下降-50 dB。隔振前后1號加速度傳感器時域和頻域如圖16所示。

(a)

(a)

由圖16可知，僅對模態(tài)η2進(jìn)行主動控制，1號加速度傳感器時域加速度均方根下降6.37%。頻域加速度10.1 Hz頻率對應(yīng)的幅值從8.5×10-2mg下降到4.1×10-3mg，下降26 dB。除模態(tài)η2通道對應(yīng)10.1 Hz附近的振動得到衰減，1號加速度傳感器頻域加速度其余頻率上不引入額外的振動，驗證解耦隔振控制的有效性。

實驗二：z方向和η2通道隔振控制開啟，η1通道隔振控制關(guān)閉。

z方向和模態(tài)η2通道隔振控制開啟前后，1號加速度傳感器的時域和頻域如圖17所示。

(a)

相比于隔振前，主動隔振后1號加速度傳感器時域加速度均方根下降77.22%。頻域加速度8.1 Hz和10.1 Hz頻率對應(yīng)的加速度幅值分別從2.6×10-1mg和5.2×10-2mg下降到3.9×10-4mg和4.0×10-4mg，分別下降56 dB和42 dB。主動隔振后5～200 Hz頻率范圍內(nèi)頻域加速度最大幅值為1.8×10-2mg。

從實驗結(jié)果可看出，解耦隔振控制策略可對單個解耦通道進(jìn)行振動控制，驗證了解耦隔振控制策略的有效性。在模態(tài)解耦坐標(biāo)下，隔振控制對象簡化成單輸入單輸出的2階系統(tǒng)，有效降低了控制器設(shè)計的難度，提高了隔振控制器的實時執(zhí)行效率。

4 結(jié) 論

本文研究超靜主動隔振平臺的耦合動力學(xué)建模和解耦隔振控制算法。仿真結(jié)果表明，隔振平臺動力學(xué)建模、參數(shù)設(shè)計、以及主動隔振控制器需要合理綜合載荷質(zhì)量偏心和彈簧橫向剛度導(dǎo)致的動力學(xué)耦合效應(yīng)。隔振平臺多自由度之間動力學(xué)耦合的原因在于彈簧力的方向不過隔振載荷的質(zhì)心，導(dǎo)致彈簧力投影到隔振平臺質(zhì)心時產(chǎn)生了耦合力矩。解耦隔振控制可實現(xiàn)單個解耦通道的振動控制而不在其余通道引入額外振動。