飽和混凝土沖擊破壞的近場動力學建模分析

武立偉，馬啟鵬，黃 丹

(河海大學 力學與材料學院，南京 211100)

混凝土作為一種多相復合材料，具有良好的易成形性、抗水耐火性、耐久性以及原料充沛、價格便宜等優點，在諸多工程領域得到廣泛應用。在工程實際中，較大部分混凝土結構長時間處于水環境中，如大壩、橋墩、渡槽以及各種近海建筑物等。同時，由于混凝土存在各種微裂紋以及孔隙，在長時間外界水壓力作用下，混凝土濕度升高，其力學性能也會發生改變，導致飽和混凝土材料與結構的力學性能與干燥狀態下大為不同，有必要開展專門的飽和混凝土力學行為研究。

近年來，隨著計算機技術的快速發展，對于混凝土破壞問題的研究多采用理論、實驗與數值模擬相結合的方法。對混凝土動態沖擊下損傷破壞過程的精確模擬一直是多領域關注的焦點和難題。針對動態破壞問題，現有數值方法大多基于經典連續介質力學理論，但經典連續介質力學理論中“連續性”假設與實際情況相矛盾，需要引入外部準則或者進行特殊處理，往往導致在計算精度和計算效率方面遇到瓶頸。已有眾多研究者提出了各種處理不連續區域奇異性和網格重構的特別措施[1-5]，但在處理動態沖擊破壞以及裂紋擴展等復雜問題時，依然面臨困難和挑戰。

為從根本上解決基于連續性假設的傳統數值方法在模擬不連續力學問題時的困難，2000年Silling首次提出了非局部近場動力學(Peridynamic,PD)理論[6-7]，基于非連續性假定建模，以空間積分型運動方程替代傳統連續介質力學的空間微分型運動方程，適用于物體連續或不連續的任何區域，突破了傳統連續介質力學理論和方法在求解不連續力學問題時的瓶頸。另外，近場動力學模型中包含了對損傷與斷裂的描述，對于動態裂紋擴展、沖擊破壞等不連續且非局部效應顯著的問題表現出獨特優勢[8-12]。

目前，已有眾多國內外學者采用近場動力學方法對混凝土斷裂破壞問題進行研究，Gerstle等[13]模擬分析了混凝土和鋼筋混凝土結構在拉、壓、剪荷載條件下的漸進破壞過程；Huang等[14]提出了一種新的力加載方法，通過引入局部阻尼準靜態求解算法和不平衡力收斂準則，建立了更精確的近場動力學混凝土模型；顧鑫等[15-16]對混凝土的沖擊破壞以及侵徹過程進行了研究；Wu等[17]考慮混凝土率敏感性，提出一種率相關的近場動力學模型，并應用于混凝土動態斷裂問題；Chen等[18]提出一種熱力耦合模型，模擬了混凝土中熱擴散、熱致變形和斷裂過程。為了克服均質化模型的不足，Li等[19]提出了考慮混凝土細觀結構的多尺度模型，并進行了驗證，但由于計算成本巨大，該模型僅限于準靜態載荷下的二維數值模擬。

在現有研究基礎上，本文提出一種考慮孔隙作用的亞均質[20]近場動力學飽和混凝土模型，分析動態載荷條件下飽和混凝土的力學行為。該模型考慮混凝土細觀結構的非均質性以及混凝土結構內部的孔隙作用，并基于兩相球模型得到飽和混凝土中水泥砂漿的有效體積模量與剪切模量。通過對混凝土板波傳播過程以及靶板沖擊破壞試驗數值結果與試驗結果進行比較，驗證了該模型和方法對于研究飽和混凝土動態力學行為和沖擊破壞問題的適用性。

1 常規態型近場動力學理論

態型近場動力學理論[21]基本思想如圖1所示，物質點x受到其近場范圍內所有其它物質點作用，根據牛頓第二定律可得運動方程為

(1)

圖1 物質點間的相互作用Fig.1 Non-local interaction between material points

(2)

(3)

(4)

(5)

常規態型近場動力學理論的核心是借鑒連續介質力學張量分解思想，將拉伸標量狀態和力標量狀態分解為球量部分和偏量部分，兩者可以完全解耦，具體為

(6)

(7)

(8)

類比傳統連續介質力學中應變能密度形式，構建常規態型近場動力學中三維線彈性固體材料的應變能密度為

(9)

將式(9)代入式(8)可以得到力標量狀態表達式為

(10)

2 考慮孔隙作用的亞均質飽和混凝土模型

2.1 亞均質近場動力學模型

亞均質近場動力學模型作用在“鍵”層次上，即通過定義不同種類的“鍵”來表征混凝土細觀尺度的各相成分。如圖2所示，混凝土被視為由三相成分組合而成(骨料、砂漿基體、界面過渡區)。任意“鍵”連接兩個物質點，其位置可以處于骨料區或砂漿區或界面過渡區，兩物質點可以處于同一相區域，也可以處于不同相區域，從而根據物質點位置定義“鍵”的類型，不同“鍵”出現的概率只取決于各相成分的體積分數。另外，在判定每一個“鍵”類型時是根據生成的隨機數確定的，即不同類型的“鍵”完全隨機分布，各相成分的實際分布情況并沒有考慮到亞均質模型中，因而圖2中界面過渡區沒有在骨料周圍而是獨立隨機分布。

圖2 亞均質模型不同“鍵”類型示意圖Fig.2 Schematic of different bond types of IH-PD model for concrete material

考慮混凝土的三相成分，因此共有六種類型的“鍵”，包括三種“成分鍵”(兩物質點處于同一相區域中)和三種“界面鍵”(兩物質點處于不同相區域中)。定義六種“鍵”分別為A-A“鍵”(骨料)，C-C“鍵”(砂漿)，I-I“鍵”(界面過渡區)，A-C“鍵”(骨料-砂漿)，A-I“鍵”(骨料-界面過渡區)，C-I“鍵”(砂漿-界面過渡區)。

本文假設混凝土材料在宏觀尺度上是均勻的，因此各相成分的體積分數是固定不變的，各種類型“鍵”的比例也僅取決于各相成分的體積分數。一旦確定了“鍵”的類型，相應成分的材料參數(如密度、彈性模量、斷裂能等)就可以分配給它。對于三種“成分鍵”，A-A“鍵”，C-C“鍵”和I-I“鍵”分別對應骨料、砂漿以及界面過渡區的物質屬性。考慮到“界面鍵”有三種類型，假設A-C“鍵”的力學性能與宏觀尺度下均質混凝土模型相同。A-I“鍵”和C-I“鍵”分別為骨料、砂漿與界面過渡區相連，因此假設它們的力學性能與I-I“鍵”相同。

不同的“鍵”類型確定后，需要進一步確定每種類型的“鍵”所占比例。作為嘗試，本文采用一種簡化方法，假設每種“鍵”的比例與各相的體積分數成線性關系，各相體積分數保持不變，則每種“鍵”的比例也將是固定的。例如,骨料的體積分數、砂漿的體積分數、界面過渡區的體積分數分別為a,b和c，三種“成分鍵”的比例分別為aa(A-A“鍵”)、bb(C-C“鍵”)、cc(I-I“鍵”)，三種“界面鍵”的比例分別為是2ab(A-C“鍵”)，2ac(A-I“鍵”)，2bc(C-I“鍵”)。上文提到假定A-I“鍵”與C-I“鍵”的力學性能與I-I“鍵”相同，因此最終有四種類型的“鍵”，比例分別為aa，bb，cc+2ac+2bc，2ab。

亞均質模型中不同類型“鍵”的確定作為預處理過程實現，具體步驟如下：

(1) 對于每個物質點近場范圍內所有完整的“鍵”，生成隨機數m，m是一個0～1之間的任意實數；

(2) 如果m≤aa，說明該“鍵”為A-A“鍵”；如果aa

(3) 確定“鍵”的類型并賦予相應的力學參數后，轉到下一個“鍵”繼續判斷。

2.2 考慮孔隙的混凝土亞均質近場動力學模型

混凝土砂漿中天然存在的孔隙結構表明該處存在缺陷，而近場動力學亞均質模型是作用在“鍵”層次上的，因此可以通過物質點對間“鍵”的缺失來表示內部孔隙的存在。與2.1節相同，先確定不同“鍵”的類型，再通過隨機判斷“鍵”是否截斷。該過程無需刪除孔隙范圍的物質點，只需將穿過孔隙范圍的“鍵”在預處理過程中預先截斷即可?？紤]孔隙的亞均質模型的核心思想為在均勻離散計算模型中通過預先截斷一定比例的“鍵”來考慮初始損傷量，以此表示混凝土結構內部的孔隙，斷“鍵”示意圖如圖3所示。

圖3 近場動力學亞均質模型斷“鍵”示意圖Fig.3 Schematic of bond broken of IH-PD model

定義任意物質點其近場范圍內預斷“鍵”指數為d

(11)

式中:φ(x)為給定的材料孔隙率;φc為臨界孔隙率。當材料孔隙率達到臨界孔隙度時，與該點相關的所有“鍵”都應被破壞。對于零孔隙率的材料，則不引入預斷鍵(所有物質點的預斷“鍵”指數均為零)。

具體的預斷“鍵”步驟如下：

(1) 對于每個物質點近場范圍內所有的完整的“鍵”，生成隨機數v，v是一個0～1之間的任意實數；

(2) 如果v<φ(x)/φc，說明該“鍵”為預斷“鍵”，并更新“鍵”兩端物質點信息；

(3) 轉到下一個“鍵”繼續判斷。

根據上述步驟，在預斷“鍵”過程中每個“鍵”(連接兩個物質點)都要進行兩次判斷過程。假設兩個物質點出孔隙率分別為φ(x)和φ(x′)，則該“鍵”保持完整的概率為(1-φ(x)/φc)(1-φ(x′)/φc)。假設材料的孔隙率一致，均為φ，則每個“鍵”保持完整的概率為(1-φ/φc)2。在這種情況下，任意物質點處的預損傷指數即預斷“鍵”數與“鍵”總數之比為

1-(1-φ/φc)2

(12)

本文中亞均質模型假設在骨料與界面過渡區中不考慮孔隙的存在，因此只需要考慮砂漿的孔隙率。結合上一節中確定不同“鍵”類型的預處理過程以及預斷“鍵”過程，流程圖如圖4所示。假如骨料、砂漿以及界面過渡區的體積分數分別為a=40%，b=55%，c=5%，孔隙率φ=10%(φc=1.0)，那么A-A“鍵”所占比例為16%，C-C“鍵”所占比例為30.25%，A-C“鍵”所占比例為44%，I-I“鍵”所占比例為9.75%，預斷“鍵”所占比例為C-C“鍵”與A-C“鍵”的10%，每個“鍵”保持完整的概率為81%，預損傷指數為0.19。

圖4 考慮孔隙的近場動力學亞均質模型預處理算法流程圖Fig.4 The flowchart for the pre-processing algorithm in IH-PD model considering the pore

混凝土宏觀力學性能會受到孔隙影響。本文借鑒文獻[22]中的處理方法，將帶孔隙的水泥砂漿看成是由砂漿基質(孔隙率為零)和孔隙組成的兩相介質。這里假設孔隙率為水泥砂漿中所有孔隙所占的體積分數，并且孔隙率保持恒定不變。對如圖5所示的含孔隙的水泥砂漿進行簡化分析，簡化為兩相球模型(各向同性彈性空心球)，含孔隙的水泥砂漿的有效體積模量與剪切模量分別為

(13)

μ*=μm(1-φ2)

(14)

圖5 含孔隙的水泥砂漿示意圖Fig.5 The schematic of cement mortar with pores

2.3 飽和混凝土有效力學特性

當混凝土長時間處于水環境中，在外部水壓力下，混凝土內部孔隙完全充滿水分，即認定混凝土為完全飽和狀態。對于飽和混凝土，本節在含孔隙混凝土的亞均質模型基礎上，進一步考慮孔隙內部水分對混凝土砂漿基質有效體積模量與剪切模量的影響。

飽和混凝土中水泥砂漿成分被看作為砂漿基質與自由水組成的兩相復合材料，由于孔隙中完全充滿水分，因此自由水的體積分數之和與孔隙率相等。簡化的兩相球模型為各向同性彈性空心球模型，其中內外球半徑分別為a、b，孔隙率可以表示為φ=a3/b3。

由于孔隙中完全充滿水分，為了建立自由水與孔隙之間的關系，可以對孔隙水進行力學等效分析?？紫端w積模量為Kw，并且Kw

(15)

根據式(15)，可以得到孔隙水等效的孔隙率φ1為

(16)

為了得到飽和混凝土的有效體積模量，將混凝土中孔隙水代替為圖6中孔隙水等效后的模型，形成圖7中的等效球體，即飽和混凝土中水泥砂漿的有效體積模量與圖7中等效球體中水泥砂漿的有效體積模量相等。

圖6 孔隙與孔隙水球體的等效過程Fig.6 The equivalent process of pore and free water

圖7 飽和混凝土整體等效過程Fig.7 Whole equivalent process of saturated concrete

中心球體孔隙率為φ1，可以得到等效球體的孔隙率為

(17)

將式(17)中孔隙率φ2代入到式(15)中，可以得到孔隙率為φ的飽和混凝土水泥砂漿的有效體積模量

(18)

(19)

3 數值算例

3.1 混凝土板中的彈性波傳播

考慮三維混凝土板中的彈性波傳播過程，通過在混凝土板邊緣區域上突然施加一個脈沖力來產生彈性波，根據彈性波波速計算混凝土有效彈性模量，并與試驗數據進行對比?；炷涟宄叽鐬? m×1 m×0.05 m，如圖8(a)所示。加載情況如圖8(b)所示，在底部一側區域(長度為100 mm)上突然施加1 MPa的豎向載荷，并保持5 μs不變，然后移除載荷，不再施加外力。在近場動力學模擬中，模型采用尺寸為Δx=0.01 m的均勻網格進行離散，近場范圍為δ=0.04 m，近場范圍為四倍物質點間距δ=4Δx，模型共有61 206個物質點。各相成分的材料參數見表1[25]。本文設定骨料體積分數為40%，水泥砂漿體積分數為55%，界面過渡區體積分數為5%，除另外規定外，本文算例均采用此比例標準。

(a) 混凝土板的幾何模型

表1 混凝土各相成分的材料參數Tab.1 Material parameters of each phase of concrete

根據固體介質中的波傳播理論[26]，非均質材料波速Cw與有效彈性模量E′的關系為

(20)

圖9分別為試驗結果[27]、近場動力學模擬結果以及其他數值模型得到的混凝土有效彈性模量[28]。從圖中可以看出，混凝土的有效彈性模量隨著骨料體積分數的增大而逐漸增大，并且本文計算得到的有效彈性模量與其他數值模型結果以及試驗數據吻合良好。值得注意的是，當骨料體積分數達到80%時，近場動力學亞均質模型的結果略小于試驗結果。造成這種現象的原因可能是因為在近場動力學亞均質模型中沒有考慮骨料的實際形狀和大小，對實際計算結果造成一定的誤差。

圖9 混凝土有效彈性模量的試驗結果與數值模擬結果比較Fig.9 Comparison between simulation results and experimental results for effective elasticity modulus

不同孔隙率下計算得到的應力波傳播速度如圖10(a)所示，孔隙率分別為0，10%，30%，50%，70%?？梢钥闯?，隨著孔隙率的增加，波傳播速度越來越慢，波速與孔隙率之間接近為線性關系。根據式(20)與不同孔隙率下的波速，可以計算得到不同孔隙率下混凝土有效彈性模量，如圖10(b) 所示。由圖可見，本文計算結果與試驗數據[29]吻合良好，說明本文模型方法能夠準確反映混凝土有效彈性模量與不同孔隙率之間的定量關系。

圖11與圖12分別為本文數值結果中不同孔隙率下飽和混凝土與干燥混凝土的有效彈性模量，并與相應的試驗結果及其他數值模型數值結果對比。由圖可見，無論混凝土處于飽和狀態還是完全干燥狀態，隨著內部孔隙率的增加，混凝土有效彈性模量均呈現下降趨勢。本文得到的混凝土有效彈性模量與試驗結果吻合較好，說明本文模型方法對于研究飽和混凝土力學行為具有適用性。

(a) 應力波波速

圖11 不同孔隙率下飽和混凝土有效彈性模量Fig.11 Effective elasticity modulus of saturated concrete at different porosity

通過對比圖13完全飽和狀態下與完全干燥狀態下混凝土的有效彈性模量可以發現，相同孔隙率下，當混凝土內部充滿水分后，其有效彈性模量要大于干燥混凝土有效彈性模量。這是由于飽和混凝土孔隙內部的自由水限制了孔隙周圍基質的變形，導致混凝土剛度有所提高。此外，隨著孔隙率的增加，兩者有效彈性模量的差距越來越大。

圖12 不同孔隙率下干燥混凝土有效彈性模量Fig.12 Effective elasticity modulus of dry concrete at different porosity

圖13 飽和混凝土與干燥混凝土有效彈性模量比較Fig.13 The comparison of effective elasticity modulus of saturated concrete and dry concrete

3.2 飽和混凝土沖擊破壞

本節應用所提出的模型對飽和混凝土板的沖擊破壞過程進行分析。算例中的幾何尺寸、邊界條件與試驗[30]保持一致，如圖14所示?；炷涟畜w澆筑在直徑800 mm、厚度為300 mm的圓筒形鋼型涵洞內。沖擊彈丸視為剛性體，質量為2.44 kg，彈丸初始速度為333 m/s?；炷量箟簭姸葹?2 MPa，混凝土內部孔隙率選擇為6%。近場動力學模擬中，模型采用尺寸為Δx=7 mm的均勻網格進行離散，近場范圍為δ=28 mm，近場范圍為四倍物質點間距δ=4Δx，模型共有579 872個物質點。各相成分的材料參數見表2。

圖14 混凝土靶板沖擊破壞試驗模型示意圖Fig.14 Projectile perforation in concrete target

圖15(a)顯示了本文模型和方法得到的沖擊物加速度-時間關系曲線以及相應的試驗結果，圖15(b)為沖擊物速度-時間關系曲線的模擬結果與試驗結果。通過對比可以發現，本文數值結果中加速度曲線在中間段略高于試驗結果曲線，導致沖擊物速度曲線在相應段內降低幅度大于試驗結果曲線。同時，在2 ms時，本文數值結果得到的沖擊物殘余速度為82 m/s，與試驗結果75 m/s吻合較好。綜合來看，本文數值結果與試驗結果得到的沖擊物加速度與速度曲線具有較好的一致性。

表2 混凝土各相成分的材料參數Tab.2 Material parameters of each phase of concrete

(a) 加速度曲線

試驗結果和本文數值結果中混凝土靶板破壞形態如圖16(a)所示，圖16(b)為混凝土靶板截面圖。由圖16(a)可以看出，試驗觀測結果與本文數值計算結果吻合較好，沖擊面發生明顯的成坑破壞，但是并未出現宏觀裂紋。值得注意的是，試驗結果中沖擊面破壞形態是非對稱的，左上角區域破壞明顯差異較大。試驗結果中靶板沖擊面成坑半徑以及成坑深度為223.67 mm、84.91 mm，結痂半徑以及結痂深度分別為375.26 mm、146.38 mm，本文數值模擬結果中沖擊面成坑半徑以及成坑深度為257.43 mm、58.33 mm，結痂半徑以及結痂深度分別為370.49 mm、141.04 mm?？梢钥闯觯疚哪Ｐ蛿抵到Y果與試驗觀測結果吻合較好，適用于飽和混凝土的沖擊破壞問題。

(a) 沖擊面

圖17為飽和混凝土靶板隨時間變化的損傷演化過程。在開始階段，當沖擊物接觸靶板時，貫穿過程進入成坑破壞階段，沖擊物頂端區域形成環型損傷區。產生的應力波沿沖擊物頂端向靶板底部傳播，并且底部由于壓縮波作用而逐漸形成塞錐型的損傷區。隨著沖擊物進一步貫穿靶體，貫穿過程進入穿隧階段。當貫穿過程進一步進入剝落破壞階段時，損傷區在底部進一步發展并形成結痂破壞。最后，沖擊物完全穿透靶板，部分噴出物和碎片從后表面沖出。

0.1 ms

圖18顯示了飽和混凝土與干燥混凝土貫穿過程中沖擊物加速度-時間關系曲線以及沖擊物殘余速度-時間關系曲線。從圖中可以看出，飽和混凝土與干燥混凝土沖擊物加速度與殘余速度曲線的變化趨勢基本一致。但不同飽和度下沖擊物加速度曲線存在差異，相應的不同飽和度下沖擊物殘余速度曲線在500 μs后也逐漸開始不同。最終，干燥混凝土下沖擊物殘余速度要大于飽和混凝土，充分說明在高應變率加載過程中，飽和混凝土與干燥混凝土相比下具有更高的承載能力。

(a) 加速度曲線

4 結 論

本文提出一種考慮孔隙作用的亞均質近場動力學飽和混凝土模型，應用于飽和混凝土的動態沖擊破壞問題分析，主要結論如下：

(1) 本文構建的近場動力學模型適用于飽和混凝土動態問題，對混凝土波傳播過程以及沖擊破壞試驗進行數值模擬，結果表明該模型能夠準確模擬飽和混凝土動態力學特性及沖擊破壞過程。

(2) 隨著內部孔隙率的增加，混凝土有效彈性模量均呈現下降趨勢。在相同孔隙率下，當飽和混凝土內部充滿水分后，孔隙內部的自由水限制了孔隙周圍基質的變形，導致混凝土剛度有所提高，因此飽和混凝土的有效彈性模量要大于干燥混凝土有效彈性模量。隨著孔隙率的增加，兩者有效彈性模量的差距有明顯增大趨勢。

(3) 在高速沖擊載荷下，干燥混凝土中沖擊物殘余速度要高于飽和混凝土，表明飽和混凝土的抗沖擊強度及抗侵徹能力有所提高。這一研究結果表明，由于飽和混凝土具有更加敏感的應變率特性，在高應變率加載過程中，其承載能力反而大于干燥混凝土。