高模態密度結構寬頻振動分析的小波有限元方法實現

耿 佳,李 明,張興武,楊來浩,陳雪峰

(1.西安交通大學 機械工程學院,西安 710049；2.西安交通大學 機械制造系統工程國家重點實驗室,西安 710049)

數值分析方法因其具有可操作性強、成本低、可突破各種理論推導和實驗研究條件限制等優點，已被廣泛應用于工程領域中進行結構振動特征分析[1-4]。然而，近年來寬頻振動分析問題已經成為限制高端裝備發展的主要障礙[5-6]。著名學者Mace和Desmet在聲振分析領域內頂尖雜志Journal of Sound and Vibration中聯合聲明，在潛艇、火箭和飛機等高端裝備中包含有大量的薄殼、薄板和曲殼結構，在該領域內將此類結構特征尺寸d遠大于厚度t(即d/t>10)的結構定義為高模態密度結構，而在對上述結構振動特征進行分析時普遍存在寬頻振動分析問題[7-8]。

該問題存在的主要原因之一，是以傳統有限元方法為代表的確定性分析方法，在對高模態密度結構進行寬頻振動分析時由于計算成本過高，耗散誤差明顯和參數不確定性等原因，而存在高頻域難以提供有效數值解的問題，如圖1左側所示，其中fTFEM為傳統有限元方法有效頻域上限。而以統計能量分析(statistic energy analysis，SEA)方法為代表的不確定性分析方法由于在帶寬內的模態數大于5時才能提供有效數值解而難以在較低頻域內進行有效地振動分析，如圖1右側所示，其中fSEA為不確定性分析方法有效頻域下限。并且，在fTFEM和fSEA之間存在一個頻率區域，正如圖中灰色區域所示，該頻域即為中頻域Ωmid，其可寫為

Ωmid=fSEA-fTFEM

(1)

顯然，確定性分析方法和不確定性分析方法均難以在該頻域內對高模態密度結構進行有效地振動分析，導致難以實現寬頻振動分析[9]。

圖1 高模態密度結構寬頻振動分析Fig.1 Dynamic analysis in the wide-frequency domain

為了解決該問題，基于數值分析方法對高模態密度結構實現有效的寬頻振動分析。以魯汶大學國際聲振分析領軍人物Wim Desmet教授為代表的學者們，提出了更高求解效率的研究思路[10]。據此，為了提高有限元分析方法在更高頻域內的求解精度，Harari等提出了h-FEA和p-FEA方法，用于拓寬有限元分析方法在進行振動分析時，能夠提供有效數值解的頻域范圍，其中h-FEA是通過細化網格來獲取更高的求解精度[11]，p-FEA是在特定網格劃分條件下使用更高階次多項式代替低階插值多項式的方式提高有限元求解精度[12]。上述兩種方法可在較低頻域內緩解耗散誤差導致的數值解偏差較大的問題。Dai等提出了光滑有限元法，并進行了相關應用研究，弱化了耗散誤差帶來的影響[13]。隨后，研究者基于光滑有限元理論提出了節點光滑有限元法，邊界光滑有限元法等，并將其應用于更復雜的振動分析問題中，有效提升了有限元分析方法在進行振動分析時的頻域上限。Chazot等引入單元分解有限元方法，并結合平面波函數對短波振動分析方程進行了求解，在一定程度上提高了確定性分析方法的分析頻域上限[14]。

與此同時，為了緩解數值模型存在參數不確定性，導致有限元分析方法無法在高頻域內提供有效數值解的問題，Chen等提出了將變量視為常數，引入隨機矩陣和向量，并通過一階泰勒展開進行研究，基于攝動理論將該泰勒展開式引入至有限元分析方法中進行振動分析研究[15]。Li等提出了將不確定性參數分析方法引入至光滑有限元的振動分析方法，在一定程度上可在工程結構存在參數不確定時提供有效的振動分析數值解[16]。同時，為了更進一步獲得具有隨機性的有限元建模方法，研究者們提出了隨機有限元方法，其在近些年受到了廣泛的關注，可以基于統計輸入參數來解決輸入參數不確定時遇到的數值解存在較大誤差的問題。

可以看出，經過國內外學者們長期以來的探索，無論是從降低耗散誤差，提高求解效率，還是不確定性參數建模方向，都獲得了豐富的研究成果，用以提升振動分析過程中的頻域上限。然而，由于傳統有限元分析方法的理論限制，導致其無法大幅度降低耗散誤差帶來的影響，計算成本依然過高。此外，基于有限元理論的不確定性參數建模，均須依托于隨機概率分布特征和已知概率參數，導致基于有限元理論的不確定性參數建模方法使用受限。

小波有限元方法(wavelet finite element method，WFEM)是將傳統有限元方法中使用的多項式插值函數利用小波函數代替的有限元方法。由于小波函數具有多分辨率特征，這就使得在不細化網格的前提下便可以提高有限元分析方法的求解精度和分辨率，可以同時兼顧求解精度和求解效率。這使得WFEM自出現以來得到了快速且全面的發展。依據文獻資料[7-8]可知，以傳統有限元方法TFEM為代表的確定性分析方法由于計算成本過高，耗散誤差明顯等原因，存在高頻域難以提供有效數值解的問題，限制了基于確定性分析方法的寬頻振動分析實現。因此，本文研究聚焦確定性分析方法存在計算成本過高，耗散誤差明顯等問題，引入具有高求解精度和求解效率特征的WFEM理論開展研究工作，有望突破確定性分析方法無法實現寬頻振動分析的困境。

針對二維問題，Ko等[17]構造了基于Daubechies小波的三角形小波單元。Diaz等[18]基于Daubechies小波構造了二維中厚板小波單元，并且對該類小波單元的求解能力進行了深入研究，研究結果表明Daubechies小波構造的二維中厚板單元不僅可以有效分析中厚板問題，而且可以在對薄板進行分析時避免剪切鎖死現象。為了探究結合區間B樣條小波和有限元理論的求解精度和求解效率，Xiang等[19]基于BSWI和單元構造理論，構造出了適用于求解薄板問題的薄板單元，并在此基礎上展開了多種工況下的數值分析和實驗研究。而在基于提升框架的小波單元工程應用研究領域內，Mi等[20]為了提出具有自動滿足求精度的有限元分析方法，結合二代小波函數理論和有限元理論提出了具有自適應網格劃分的二代小波有限元方法，并實現了對二維聲波問題的求解。對于工程中遇到的奇異性問題求解，Wang等[21]提出了基于提升框架算子的自定義小波有限元方法，并獲得了很好的求解效率和求解精度。在基于Hermite小波的小波有限元方法研究中，Xiang等[22]基于Hermite三次樣條小波構造了Hermite小波單元，并在此基礎上對梁結構，轉子結構進行了模態分析，相應的數值研究結果表明該類小波單元具有非常優秀的求解精度和求解效率。

可以看出，學者們基于小波有限元方法開展了豐富的理論和應用研究工作，并且針對高模態密度結構的高頻振動分析問題，也開展了部分研究工作，取得了初步的研究成果。本文將簡要介紹依據小波有限元理論構建高模態密度薄板結構小波有限元分析模型的基本架構和寬頻振動分析的實現方式，主要給出了基于小波單元的自耦合算法構造架構，并給出了基于小波單元和自耦合架構實現高模態密度結構建模的基本結構，形成了寬頻小波有限元分析方法(wide wavelet finite element method,WWFEM)，著重解決明顯的耗散誤差和計算成本過高導致傳統有限元方法在對高模態密度結構進行寬頻振動分析時，難以在高頻域提供精準的數值解，致使無法實現有效的寬頻振動分析的問題；隨后結合數值分析研究和實驗分析研究方法，討論了小波有限元方法在對高模態密度薄板結構進行寬頻振動分析時的有效性和收斂性等，為基于小波有限元方法解決圓柱殼、曲殼等高模態密度結構寬頻振動分析問題提供理論參考。

1 基于薄板理論的小波有限元方法

1.1 小波板單元構造

為了基于區間B樣條小波尺度函數BSWImj(其中m和j分別為插值小波尺度函數的階數和尺度)構造如圖2所示的c1BWP單元(小波薄板單元)，首先將如圖2所示的二維求解域Ωe等間隔劃分為n2個區域，其中n=2j+m-4。其次將求解域Ωe映射到標準的求解域ΩS，其中Ωs={ξ,η|ξ,η∈[0,1]}。轉換到標準求解域Ωs后，各節點坐標可寫為

(2)

圖2 c1BWP單元求解域Fig.2 Solution of c1BWP element

(3)

(4)

式中,Φ1和Φ2均為m階j尺度下的一維BSWI尺度函數向量。Φ1和Φ2的表達式如下

(5)

同時在式(3)中，ae為構造二維單元時的系數向量，則ae可寫為

(6)

在構造c1BWP單元時，相應的物理自由度列向量we可寫為

(7)

隨后，將式(3)代入式(7)可得c1BWP單元的自由度列向量we為

we=Reae

(8)

式(8)中Re可寫為

(9)

(10)

(11)

此時，式(10)中的形函數矩陣N可寫為

(12)

因此，式(10)可寫為

(13)

為了構造對二維板結構具有自由振動分析能力的c1BWP單元，引入板結構自由振動勢能泛函Πp，其具體表達式為

(14)

式中：ρ為板結構材料密度；h為板結構厚度；ω為激振頻率；κ為廣義應變矩陣。κ確定表達式可寫為

(15)

D為板結構的彈性矩陣，可寫為

(16)

式中：D0為板結構彎曲剛度，具體確定表達式為D0=Eh3/12(1-μ2)，h為板結構厚度，E為材料楊氏模量，μ為泊松比。如式(14)所示，該板結構自由振動勢能泛函是在標準求解域Ωs內給出的，在此基礎上將式(13)代入式(14)，可得板結構的振動模態方程為

(17)

式中,ω為板結構固有頻率向量。則該類單元對應的自由振動頻率方程為

(18)

(19)

(20)

1.2 構造小波板單元耦合算法

根據有限元分析理論可知，在建立如圖3(b)所示板子結構小波有限元模型之間的耦合關系時，子結構小波有限元模型之間需同時滿足轉角自由度連續和位移自由度連續條件。而ID(Index Destination)矩陣主要用于表示全局節點編號及其自由度之間的相對關系，基于該相對關系可以建立模擬單元之間連續條件的轉換矩陣，從而滿足單元之間的位移自由度連續條件和轉角自由度連續條件[24]。據此，首先需建立自耦合索引矩陣(self-coupling index destination，SID)，該矩陣主要用于建立如圖3(b)所示板子結構小波有限元模型在聯結處節點自由度之間的耦合關系，使得相同節點處的自由度相等，從而保證板子結構小波有限元模型之間滿足轉角自由度和位移自由度連續性條件。在得到有效SID矩陣的基礎上可建立如圖3(a)所示板結構的整體小波有限元分析模型。

(a) 高模態密度板結構

(21)

式中：符號[·]表示對變量x進行四舍五入計算。分段函數f(x)可基于局部節點編號變量lnnode和單元編號變量ne獲取全局節點編號變量gnnode的值。而分段函數g(x)可基于全局節點編號gnnode計算得到全局自由度編號gndof。需要聲明的是，在推導SID矩陣過程中同時還需給出自耦合索引單元節點矩陣(self-coupling index element nodes，SIEN)，用以表示單元編號為ne的單元中，局部節點編號為lnnode的節點與全局節點編號gnnode之間的對應關系，從而便于建立c1BWP單元之間的對應關系，即全局節點編號gnnode與局部節點編號lnnode之間的對應關系。

因此，為了建立全局自由度編號gndof和全局節點編號gnnode之間的對應關系，使得子結構小波有限元模型之間滿足位移和轉角連續性條件，必須給出全局節點編號gnnode與局部節點編號lnnode之間的變化關系。為了建立該變化關系的解析表達式，需構造函數DISdof(a)，該函數可基于局部節點編號lnnode給出相應的自由度數ndof。可以看出，包括c1BWP單元在內的小波板單元根據局部節點對應的自由度數均可分為三類。據此可構造具有相同自由度數的節點集合DOFs,k，其中k用以表示該集合內節點自由度數。集合DOFs,k主要用于表示局部節點編號lnnode對應的自由度數。因此，c1BWP單元對應的集合DOFs,k可寫為

DOFs,4={1，n，n2-n+1，n2}

DOFs,2={a1}∪{a2}∪{a3}∪{a4}

(22)

(23)

與此同時，式中向量a1，a2，a3和a4可寫為

a1={N∈N+|N=1+i,1≤i≤n-2,i∈N+}

a2={N∈N+|N=1+in,1≤i≤n-2,i∈N+}

a3={N∈N+|N=in,1≤i≤n-2,i∈N+}

a4={N∈N+|N=n2-n+i+1,1≤i≤

n-2,i∈N+}

(24)

此時，依據式(22)～式(24)，函數DISdof(lnnode)可寫為

(25)

可以看出分段函數DISdof(lnnode)可用以表征局部節點編號lnnode與相應自由度數ndof之間的關系。由上文SID矩陣特征可知，為了建立全局節點編號gnnode及其自由度數之間的對于關系，必須基于表達式給出局部節點編號lnnode與全局節點編號gnnode之間的對于關系。為此定義函數R(gnnode)，且lnnode=R(gnnode)，其中R(gnnode)具體形式如下

(26)

式中：n為構造小波板單元尺度函數特征參數；中間變量A和C確定的表達式可寫為

(nex-ex+1)(n-1)

(27)

(28)

式中：ex為在水平方向上c1BWP單元個數，可以明顯看出，基于函數R(gnnode)可以建立局部節點編號lnnode和全局節點編號gnnode之間的內在聯系。基于上述推導結果可以直接建立有效的SID矩陣，與ID矩陣類似，SID矩陣及其元素可以寫為

(29)

此時，元素sidi,j的求解表達式可寫為

(30)

可以看出，該式可以通過解析表達式給出矩陣SID的所有元素，從而建立SID矩陣。除此之外，如上文中所述SIEN主要用于表征編號為ne的小波單元局部節點編號為lnnode的節點與全局節編號gnnode之間的關系，基于此，SIEN矩陣元素SIEN(lnnode,nelement)可寫為

(31)

(32)

式中,元素si,j可寫為

(33)

SIEN(lnnode,ne)}

(34)

(35)

式中：n表征了建立高模態密度結構引用的小波單元類型，本章引用的是c1BWP單元，相應的插值小波尺度函數階數和尺度分為4和3，此時n為9。使用其他小波單元建立高模態密度結構小波有限元分析模型時可依據實際情況進行修正。此時，基于如圖3(b)所示子結構劃分方式，編號為ne的小波單元c1BWP與板結構小波有限元數值模型之間的耦合關系可寫為

(36)

(37)

(2) 將板結構小波有限元模型的整體剛度矩陣Khigh和整體質量矩陣Μhigh代入至模態方程

(Khigh-ω2Mhigh)we=0

(38)

并建立相應的特征方程

|Khigh-ω2Mhigh|=0

(39)

從而計算得到相應的頻率向量ω和模態振型Φ，其中ω和Φ可寫為

Φ=[φ1,φ2,…,φi,…,φn]

ω=[ω1,ω2,…,ωi,…ωn]

(40)

(41)

(42)

圖4 寬頻小波有限元分析方法(WWFEM)開展高模態密度板結構寬頻振動分析流程圖Fig.4 Chart of WWFEM for analyzing the high modal plate

上述即為基于寬頻小波有限元方法對高模態密度板結構進行寬頻振動分析的基本過程，隨后，將分別基于數值分析研究和實驗分析研究，討論該分析方法的有效性。

2 寬頻振動的小波有限元方法數值分析

2.1 有效性分析

為了基于量化指標定義高模態密度結構寬頻振動分析，從而便于開展高模態密度結構寬頻振動分析方法驗證研究。采用我國著名學者姚德源在其專著[25]中給出的依據帶寬內的模態疊合因子(modal overlap factor，MOF)，即帶寬內的模態數，來作為量化指標的寬頻振動分析定義方法，其將寬頻域劃分低頻域，中頻域和高頻域，具體如下

(43)

并將在上述頻域內進行的振動分析分別定義為低頻振動分析，中頻振動分析和高頻振動分析，這也是本文進行高模態密度結構寬頻振動分析方法驗證研究的基本定義。

如前文所述，當確定性分析方法存在計算成本過高，耗散誤差明顯時，將導致其在對高模態密度板結構進行振動分析時難以在較高頻域內提供有效數值解，導致無法對高模態密度結構進行寬頻振動分析。因此，如果WWFEM可在高頻域內可對高模態密度結構實現有效的振動分析，則可認為WWFEM必然具有可同時在低頻域，中頻域和高頻域對高模態密度結構進行振動分析的求解能力，隨后將基于該思路驗證小波有限元方法對高模態密度結構的寬頻振動分析能力。

為此，引入如圖5所示的四邊簡支薄板結構數值模型，其中lx和ly分別為該結構在水平和垂直方向的長度，該數值模型的幾何，物理參數如表1所示。基于此，首先可以看出該板結構數值模型厚度h與特征尺寸(矩形板對角線長度)的比值遠遠小于1/10，依據高模態密度結構定義可知其為典型的高模態密度結構。因此，該數值模型可用于分析研究WWFEM對高模態密度結構進行寬頻振動分析的有效性。基于對比分析方法驗證WWFEM有效性的參考解是基于前1 600階模態振型和固有頻率解析解得到的振動響應解析解。

圖5 四邊簡支高模態密度板結構數值模型示意圖Fig.5 Diagram of numerical model of high-mode density plate with simply supported on four sides

表1 高模態密度板結構材料參數Tab.1 Parameters of high modal density plate

依據如式(43)所示的高模態密度結構寬頻域劃分方式，結合1/3倍頻程將分析頻域Ω為5～1 000 Hz的頻域劃分為若干個分析帶寬，在此基礎上結合如圖5所示數值模型的固有頻率解析解計算各個帶寬內的模態數MOF。可得該數值模型帶寬內的模態數隨著帶寬編號的分布特征，具體如圖6所示，其中(1,0)和(23,45)中，括號左邊代表帶寬編號，右邊代表帶寬內的模態數。由圖中可以看出，在分析頻域內該高模態密度結構數值模型在帶寬內的模態數最高為45，即MOF最高為45。可見，該數值模型在分析頻域內的MOF遠遠大于式(43)所示的高頻域閾值5。因此，如果小波有限元方法可在分析頻域為5～1 000 Hz內對如圖5所示數值模型進行有效的振動分析，則依據上述寬頻振動分析能力驗證思路，可認為WWFEM具有對高模態密度結構進行寬頻振動分析的能力。

圖6 帶寬內的模態數MOF隨帶寬分布Fig.6 Distribution of MOF with bandwidth

據此，分別基于WWFEM和解析方法求解如圖5所述的數值模型在5～1 000 Hz以內的加速度響應，其中激振點位置為(xe,ye)=(0.125 m,0.25 m)，拾振點位置為(xr,yr)=(1.375 m,0.75 m)。得到的加速度數值解和解析解如圖7所示，從圖中可以看出，WWFEM在分析頻域Ω為5～1 000 Hz內提供的加速度數值解與解析解保持非常高的一致性。同時依據上文所述寬頻振動分析能力驗證思路可見，WWFEM可以有效地對高模態密度結構進行寬頻振動分析。

(a)

為了進一步驗證WWFEM對高模態密度結構進行寬頻振動分析的有效性，隨后將研究分析WWFEM解決現有確定性方法存在的計算成本過高和耗散誤差明顯問題的能力，為此將分別討論小波有限元方法的求解精度(可以用以反映耗散誤差的大小)和求解效率。

2.2 WWFEM求解精度和效率研究

依據WWFEM方法寬頻振動分析研究結果可以看出，WWFEM方法可對高模態密度結構進行有效地寬頻振動分析。本部分將主要對其能夠突破現有確定性分析方法局限性，基于數值分析方法對高模態密度結構進行寬頻振動分析的主要原因進行討論，即討論分析其解決現有確定性方法存在的計算成本過高和耗散誤差明顯問題的能力。為此，討論主要分為兩方面，一方面討論WWFEM的求解精度是否可以解決現有確定性分析方法存在耗散誤差明顯的問題，另一方面討論WWFEM的求解效率是否可以解決現有確定性分析方法計算成本過高的問題。

為了說明WWFEM可以解決現有確定性分析方法存在耗散誤差明顯的問題，仍以圖5所示高模態密度板結構為數值模型對WWFEM的求解精度進行對比分析，相關參數同上。

為了實現對比，將傳統有限元方法(traditional finite element method,TFEM)方法作為確定性分析方法參考解，并基于Ansys作為TFEM方法的實現平臺提供確定性分析方法參考數值解。據此，首先利用Ansys平臺對圖5所示數值模型進行建模，隨后在不同網格劃分條件下獲取激振點位置為(xe,ye)=(0.125 m,0.25 m)，拾振點位置為(xr,yr)=(1.375 m,0.75 m)的加速度響應解，從而獲取Ansys最高求解精度條件下對應的振動特征數值解。研究發現，當網格劃分條件分別為8×12,80×120和128×192時，對應在200～300 Hz內的穩態響應解如圖8所示。

圖8 Ansys(Shell63)求解精度極限Fig.8 Solution accuracy of Ansys(Shell63)

從圖中可以看出，當網格數為128×192時Ansys計算平臺的計算精度已經難以再通過網格細化進行有效提升。因此可見，當網格劃分條件為128×192時300 Hz以內的振動分析數值解即為Ansys能夠給出的最高求解精度。

為了基于量化對比分析方法研究分析WWFEM與Ansys最高求解精度的差異，以300 Hz以內的前57階固有頻率展開定量對比分析研究。為了可以直觀分析WWFEM和Ansys求解精度的差異，定義了相對誤差ε(i)，計算表達式為

(44)

式中：ωN(i)為基于WWFEM方法和Ansys得到的第i階固有頻率數值解；ωA(i)為基于解析表達式得到了第i階固有頻率解析解。將基于WWFEM方法和Ansys得到的固有頻率數值解代入式(44)可得前57階固有頻率相對誤差，具體結果如圖9所示，圖中實線表示為Ansys在預測前57解固有頻率時的最高精度，虛線為WWFEM方法在預測前57階固有頻率時得到的數值解對應的相對誤差。可以明顯看出，Ansys最高精度的誤差均明顯高于WWFEM的求解誤差，且求解時間約為。除此之外，如圖9所示并不是WWFEM方法的求解精度極限，該求解精度仍然可再次提升，甚至隨著劃分板子結構數量的提升，數值解可與解析解保持完全一致，而TFEMs由于耗散誤差明顯難以做到這一點。同時觀察Ansys給出的最高求解精度可以看出，隨著模態數的增加，其求解精度呈現明顯降低且不斷波動的趨勢，此外結合圖8所示可以看出，上述精度已經是Ansys方法的計算極限，其求解精度已無法再次提升，而隨著頻域范圍越來越高，分析帶寬內需要精準計算的模態數將急劇增加，這使得Ansys已經無法實現更高頻域的振動特征分析，究其原因主要是由于TFEMs明顯的耗散誤差。而WWFEM成功地突破了TFEMs理論的求解精度限制，隨著模態數增加求解精度變化穩定，誤差退化較慢，此外該誤差仍然可以通過劃分更多的板子結構模型實現穩定降低。并且WWFEM在獲取上述數值結果過程中的計算時間遠遠小于TFEMs，約為15 s左右。

圖9 WWFEM求解精度對比Fig.9 Comparison of WWFEM solution accuracy

此外，如表2所示為WWFEM和TFEM在獲得同樣求解精度時相應的建模和計算成本，其中Nnodes為模型節點數，Ndofs為模型自由度數。可以看出當基于TFEM方法得到前100階固有頻率，數值解最大相對誤差為0.3%時，相應的高模態密度板結構有限元模型節點數為14 095，相應的自由度數為84 570左右。而WWFEM得到前100階固有頻率數值解最大相對誤差為0.3%時，高模態密度板結構小波有限元模型節點數僅為1 089，而自由度僅為1 316。可以看出WWFEM建模包含的自由度數僅為傳統有限元的1/64，這從側面可以反映出WWFEM的計算成本遠低于TFEM。除此之外，WWFEM在達到求解精度為0.3%時的計算時間小于4 s，而TFEMs方法需要的計算時間將明顯大于10 000 s(約3 h)。

表2 WWFEM方法和TFEM求精效率對比分析Tab.2 Comparative analysis of WWFEM and TFEM

可見，WWFEM可以解決TFEM存在的耗散誤差明顯和成本過高的問題，從而突破TFEM的求解能力極限，補足了確定性分析方法對高模態密度結構進行高頻振動分析時難以滿足精度要求的缺陷。因此，WWFEM可對高模態密度結構實現有效的寬頻振動分析。為了更進一步研究WWFEM方法的有效性，隨后將開展實驗分析研究。

3 寬頻振動的小波有限元方法實驗分析

3.1 實驗研究

為了基于實驗分析研究WWFEM對高模態密度板結構進行寬頻振動分析的有效性，搭建了如圖10所示的板結構實驗平臺，相應的示意圖如圖11所示。從該示意圖中可以看出，實驗研究的板結構邊界條件為兩長邊固支，兩短邊自由，相應的幾何，物理參數如表3所示。由此可知該板結構特征尺寸(矩形板對角線長度)與厚度比值遠遠小于1/10，即該結構為典型的高模態密度結構。因此，基于圖10所示板結構開展的振動實驗研究可用于分析WWFEM方法對高模態密度結構的寬頻振動分析能力。

(a)

圖11 高模態密度板實驗模型示意圖Fig.11 Schematic diagram of high mode density plate

表3 高模態密度板結構實物幾何材料參數Tab.3 Parameters of high modal density board structure

而為了基于實驗研究方法分析WWFEM方法對高模態密度板結構的寬頻振動分析能力，必須在寬頻域內對比分析WWFEM提供的數值解與實驗解的相似性，從而說明其具有寬頻振動分析的能力。

為此，需確定寬頻域Ω，使其同時包含有如式(43)所示的低頻域，中頻域和高頻域。為此，首先將頻域Ω為5～1 000 Hz基于1/3倍頻程劃分為若干個帶寬Δωi，進而基于式(40)得到的固有頻率向量得到不同帶寬內的模態數MOF，得到不同帶寬內的模態數分布特征如圖12所示。從該圖中可以明顯看出，不同帶寬Δωi內的模態數在0～22之間變化，即如圖10所示的高模態密度板結構實驗平臺在5～1 000 Hz頻域內MOF最大為22，明顯大于如式(43)所示的高頻域閾值5，因此Ω為5～1 000 Hz同時包含有低頻域，中頻域和高頻域。換言之，在頻域Ω為5～1 000 Hz時對圖10所示高模態密度板結構實驗平臺進行的振動分析時，同時包含有低頻振動分析，中頻振動分析和高頻振動分析。因此，對如圖10所示高模態密度板結構在頻域Ω內進行的振動分析實驗研究，可以研究分析WWFEM的寬頻振動分析能力。

圖12 模態數分布特征Fig.12 Distribution characteristics of modal number

據此，首先分別基于實驗方法和WWFEM得到如圖10所示高模態密度板結構在頻域Ω內的加速度響應數值解和實驗結果，隨后對比得到的加速度響應數值解和實驗結果，依據對比結果研究分析WWFEM對高模態密度結構進行寬頻振動分析的有效性。

為了實現上述目標，實驗過程采用的儀器主要包括：力錘，加速度傳感器和信號采集系統，儀器型號和實驗時選擇的靈敏度信息如表4所示。與此同時，為了滿足數據精度需要，在實驗過程中設置的采樣率為2 560 Hz，對應的分辨率為0.071 85 Hz。實驗時，將傳感器依據表5所示的拾振點位置信息安裝于如圖10所示的高模態密度板結構振動實驗臺中，隨后依據表5所示的激振點位置信息使用力錘在相應位置點處進行敲擊實驗。最后，將采集到的加速度信號和力信號輸入至信號處理系統可得加速度響應實驗結果。

表4 實驗設備信息Tab.4 Laboratory equipment information

表5 激振點和拾振點位置信息Tab.5 Information of excitation point and pick-up point

3.2 WWFEM振動實驗結果分析

依據3.1中所述可知，為了基于實驗對比分析方法研究分析WWFEM對高模態密度結構的寬頻振動分析能力。首先，基于錘擊法和表5所示激振點位置信息和拾振位置信息得到加速度響應的實驗結果。隨后，基于WWFEM和如圖11所示板結構實驗平臺的幾何，材料參數(如表3所示)建立如圖10所示高模態密度板結構的小波有限元分析模型，并在此基礎上依據表5所示激振點位置信息和拾振位置信息得到加速度響應數值解。最后，依據得到的加速度響應數值解和實驗結果展開對比分析研究，具體對比分析結果如圖13所示。

結合3.1中寬頻域定義可以看出，在5～300 Hz之間的較低頻域內，自左往右觀察圖13(a)～圖13(d)所示數值解與實驗解可以看出兩者均保持非常好的一致性(在聲振分析研究領域)，這說明了WWFEM方法在較低頻域內對高模態密度進行振動分析的可靠性。

與此同時，自左往右觀察如圖13 (a)和圖13 (c)所示結果可以看出，數值解在頻域為500～1 000 Hz之間仍然與實驗解保持著高度的一致性(在聲振分析研究領域)，而該頻域明顯包含有高頻域的。因此WWFEM具有自低頻到高頻的振動分析能力。依據式(43)所述可見，WWFEM方法具有可對高模態密度板結構進行由低頻到高頻的寬頻振動分析能力。而圖13(b)和圖13(d)所示數值解在頻域為500～1 000 Hz之間與實驗解的誤差明顯高于圖13(a)和圖13(c)所示，該誤差主要是由于在對應的實驗中錘擊法在較高頻域內較低的信噪比造成的。除此之外，WWFEM在得到如圖13所示的高模態密度結構寬頻振動響應數值解時基于個人PC計算平臺的計算時間均小于15 s。因此可見，WWFEM對實際工程中的高模態密度板結構可以實現有效的寬頻振動分析，兼顧高求解效率。

(a) 工況1

此外，為了進一步說明本文所提方法進行寬頻振動分析時的先進性。引入Hybrid SEA/TFEMs架構中對高模態密度結構實現振動分析的SEA方法和本文提出的WWFEM方法開展寬頻振動分析驗證研究，得到的對比分析結果如圖14所示。自左往右觀察如圖14所示結果可以看出，在20～2 000 Hz的頻域范圍內，由WWFEM計算得到的加速度響應數值解與實驗得到的加速度響應實驗結果保持著非常好的一致性，尤其在高頻域1 500 Hz附近提供了精準的振動相應細節特征。而Hybrid SEA/TFEMs架構下的SEA方法雖然在高頻域可以提供振動水平的平均情況，但仍然存在低頻域誤差較大，并且在高頻域存在無法提供振動響應細節信息的問題。

圖14 加速度頻響函數數值解對比分析Fig.14 Comparison of experimental numerical solutions

綜上所述可見WWFEM可以僅基于確定性分析方法提供比SEA方法更為有效的數值解，同時非常有效地解決了SEA方法在進行寬頻振動分析時存在的低頻域誤差較大、無法提供振動響應細節信息的問題。這為簡化振動分析方法的使用提供了有效的技術支撐，有望僅基于有限元分析平臺即可實現高模態密度結構的寬頻域振動分析。

4 結 論

以傳統有限元分析方法為代表的確定性分析方法由于計算成本過高，存在明顯耗散誤差等難題，使得基于傳統有限元理論的商業軟件存在難以對高模態密度結構進行寬頻振動分析的問題。本文結合理論推導、數值分析驗證和實驗分析驗證，介紹了小波有限元方法在解決該類問題時的潛在優勢。并重點論述了自耦合算法的推導架構，為基于小波單元建立高模態密度結構分析模型提供理論基礎，形成了寬頻小波有限元分析方法，并對該方法的有效性進行了數值分析研究和實驗分析研究。結果顯示，在建模精度符合要求的條件下，小波有限元分析方法可對高模態密度板結構進行非常有效的寬頻振動分析，并且可快速提供數值解，保持優秀的穩定性。本文研究結果可為基于小波有限元分析方法解決圓柱殼和曲殼等經典高模態密度結構的寬頻振動分析問題提供理論依據，對具有復雜幾何特征的高模態密度結構寬頻振動分析，仍需進一步研究。