高階Lamb波模態在腐蝕損傷處的透射特性分析

陳飛宇，羅 志，曹徐偉

(1.中國船舶重工集團公司第七一三研究所，鄭州 450015；2.河南省水下智能裝備重點實驗室，鄭州 450015；3.華東理工大學 機械與動力工程學院，上海 200237;4.杭州電子科技大學 機械工程學院，杭州 310018)

航空航天、艦船武備、石油化工等部門的結構服役工況惡劣，容易發生腐蝕，進而可能帶來重大安全事故。這些結構的無損檢測一直以來備受關注。傳統的超聲體波檢測技術通過測量飛行時間(time of flight，ToF)確定板厚，是腐蝕檢測的主要手段[1]。然而，對于薄壁結構，該技術受時間分辨率的限制，并且逐點檢測的方式使其檢測大面積結構腐蝕的效率低下。

Lamb波是在板中由縱波和橫波耦合而成的一類彈性波，具有傳播距離遠、對結構內部和表面損傷都敏感等優點。Lamb波層析可以快速檢測和評估大面積薄壁結構中可能出現的腐蝕損傷[2-4]。Hutchins等[5]利用基礎Lamb波模態的幅值衰減、頻譜重心偏移、ToF作為濾波反投影算法的輸入，反演平底孔、厚度漸變孔等損傷，其中頻譜重心偏移的反演結果最接近真實損傷形狀。進一步地，他們利用連續小波變換從寬帶信號中識別Lamb波模態，分別利用單一模態的幅值衰減、峰值頻移、ToF重構損傷[6]。不同模態的不同特征重構同一類型的損傷，所得圖像的信噪比、動態范圍存在顯著差異。Malyarenko等[7-8]利用嚴重頻散模態在厚度變化路徑上的ToF作為同步迭代重構技術的輸入，結合板厚與群速度的對應關系反演損傷特征。通常而言，所選Lamb波模態頻率范圍的頻散越嚴重，對厚度損失的檢測靈敏度越高。即便如此，由于腐蝕尺寸通常較小，由此導致的ToF變化量也較小，因此反演結果易受路徑長度誤差的干擾。

高階模態的截止特性為腐蝕檢測提供了另一種思路。Zhu等[9-10]采用頻率補償方法匹配有腐蝕和無腐蝕時的接收信號波形。進一步地，他們利用接近截止頻率的退化信號的頻移量估計腐蝕深度。Silva等[11]利用連續小波變換提取截止頻率附近S1模態的能量，以此檢測板背面是否存在腐蝕損傷。Belanger[12]同時激勵了多個高階水平剪切模態，通過觀察相速度/頻率圖中多個模態能量的重新分配來間接估計腐蝕處的最小剩余厚度。Cao等[13]建立了包絡差異系數指標，用于描述略高于截止頻率的A1直達波包波形的變化，實現了鋁板中腐蝕損傷的成像和定位。

本文利用準確模態振型技術(exact mode shapes)激勵產生單一的高階A1模態，并對其在腐蝕損傷處的透射特性進行了分析。通過有限元分析，對比研究了經過不同寬度、深度的腐蝕損傷后A1模態飛行時間、透射幅值以及波形變形。為了說明進一步證明高階模態在損傷檢測的靈敏性，還對比研究了基礎模態(A0模態)經過腐蝕損傷的傳播特性情況。

1 高階Lamb波模態腐蝕檢測原理

圖1給出了鋁板中的Lamb波頻散曲線，其中鋁的材料參數如下：彈性模量為E=71 GPa，泊松比為ν=0.33，密度為ρ=2 700 kg/m3。

(a) 相速度頻散曲線

觀察頻散曲線可以發現，基礎傳播模態(A0和S0)在所有頻厚積下都會出現，而高階傳播模態(A1，S1，S2等)只有在特定頻厚積以上才會出現。若頻厚積低于截止值，高階傳播模態可能轉換為非傳播模態(波數為虛數)，只能在局部產生振動，無法沿板平面向外傳播能量。高階模態的截止頻厚積可以由下式進行定義[14]

(1)

(2)

式中：cL為縱波波速；cT為橫波波速;n為高階模態階數。對于無粘彈性的金屬板而言，這些截止頻厚積實際上也是高階Lamb波從傳播模態轉換為非傳播模態的過渡點[15]。

對于以高于截止頻率傳播的高階模態來說，如果在其傳播路徑上因腐蝕引起的厚度損失足夠顯著，則其對應的頻厚積可能會低于其截止值。這些高階模態的部分能量將會轉換為其他零階模態，也有部分能量由于厚度損失而被反射。因此，在截止頻率附近激發所需的高階模態，觀察信號的波形或者幅值變化，理論上可實現厚度損傷類損傷(如腐蝕、磨損等)的檢測。

2 A1模態經過腐蝕損傷透射特性研究

根據式(1)、(2)計算得到，A1模態的截止頻厚積為1 572.1 kHz·mm，S1模態的截止頻厚積為3 121.0 kHz·mm，S2模態的截止頻厚積為3 144.2 kHz·mm。S1和S2模態雖然也有截止現象，但是在略低于它們截止頻厚積的位置處會出現零群速度(zero group velocity，ZGV)厚度諧振現象[16]，該頻率點的信號能量較強，給截止現象的分析帶來干擾。因此，本文僅分析A1模態在腐蝕損傷處的截止現象。

2.1 有限元模型

如圖2所示，采用有限元軟件ABAQUS/Explicit仿真Lamb波在二維平面應變模型中的傳播過程。試件的基本尺寸為120 mm×4 mm，材料為鋁，材料參數在第1章中給出。試件中間預制了一個輪廓為圓弧形的凹槽，圓心位于直線x=0上，以此模擬腐蝕損傷。腐蝕的寬度為W，深度為D。

圖2 有限元模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of finite element model

試件的左右兩端放置阻尼遞增層，用于吸收邊界反射波。各層阻尼按如下公式計算得到

(3)

式中：l為每層吸收邊界的長度；L為吸收邊界總長度；αmax為阻尼系數最大值；n為冪指數。

根據已有文獻的結論[17-18]，本文設置兩邊吸收邊界長度L=40 mm，阻尼系數最大值αmax=5 MHz(激勵中心頻率500 kHz的10倍)，冪指數n=2。吸收邊界共劃分為10層，每層長度2 mm。

2.2 單一模態激勵

由于Lamb波各模態在任意頻率下都是正交的，因此當厚度方向上施加的位移載荷匹配某一模態的位移振型時，理論上在板中只會激勵產生該模態[19]。

基于上述原理，本文采用Alleyne提出的準確模態振型技術(exact mode shapes)，該技術通過融合與頻率相關的模態位移振型以及輸入信號的頻譜信息來確定各激勵節點應當施加的位移信號[20-21]。

如圖3所示，將500 kHz為中心頻率的20周期Chebyshev窗調制的正弦信號作為輸入，利用傅里葉變換計算其頻譜。然后，針對有效帶寬(430～570 kHz，高于A1模態的截止頻率393.0 kHz)內的每個頻率分量，計算所需模態的位移振型。另外，需要縮放位移的幅度，使得在輸入信號帶寬中的各頻率下，模態的總應變能一致。

(a) 時域表示

首先考量某單一頻率成分下板厚方向上各節點的面內和離面位移施加情況：計算板厚方向各節點在該頻率點下的模態振型位移值ux,A1(z,ω0)和uz,A1(z,ω0)；將這些位移值乘以該頻率分量的所占權重值，即圖3(b)中輸入信號在該頻率下的幅值。然后遍歷輸入信號有效頻帶范圍內的所有頻率成分，并通過逆傅里葉變換得到有限元模型中厚度方向上各節點應當施加的位移信號，如圖4所示。具體計算公式如下

(4)

(5)

式中：ux(z,t)和uz(z,t)為z位置處需要施加的面內和離面位移信號；ux,A1(z,ω)和uz,A1(z,ω)為頻率ω下，A1模態在z位置處的面內和離面位移振型值，具體計算可參考Giurgiutiu給出的公式[22]；ω1和ω2為輸入信號有效帶寬的上下限；F(ω)為輸入信號f(t)的頻譜。

根據圖1，在輸入信號的有效頻帶內，板中可能存在S0，A0和A1三個傳播模態。其中，S0模態的波長范圍為7.6～11.8 mm，A0模態的波長范圍為4.8～6.1 mm，A1模態的波長范圍為13.3～33.3 mm。為了精細化仿真模型，將網格尺寸設置為0.1 mm。根據CFL收斂條件，將時間步長設置為5 ns，以滿足時域仿真的要求。圖4給出了計算得到的貫穿板厚方向41個節點的面內和離面位移信號。從圖中可以發現，A1模態在板中面的面內位移值始終為0，符合反對稱Lamb波模態的振動特點。

(a) 施加的面內位移

將上述面內和離面位移信號加載到x=-10 mm處貫穿板厚方向的節點上，在板中可以激勵得到單一的A1模態。測點位于板上表面的x=10 mm處，由于來自左右邊界的反射成分經過阻尼遞增層被充分吸收，因此該測點的面內或離面位移信號可以用于分析略高于截止頻率的A1模態與不同尺寸腐蝕損傷的相互作用。

2.3 節點振動分析

對于正常板，準確模態振型技術可以激勵出單一A1模態波包。而對于腐蝕板，激勵出的單一A1模態將與腐蝕損傷作用后發生透射和模態轉換現象，從而產生透射的A1模態波包、轉換的A0和S0模態波包。為了減小零階模態的存在對高階模態腐蝕損傷作用機制分析的影響，應當盡量選取A1模態振幅相對于其他模態占主導的節點和位移方向。因此，需要先各模態的位移振型進行分析，以確定最佳測量節點和位移方向。

圖5為4 mm鋁板在500 kHz頻率下各模態的歸一化波結構。從圖中可以看出，在貫穿厚度方向的大部分區域里，A1模態的面內位移基本都大于其離面位移；A0模態在貫穿板厚方向上各節點的離面位移大于其面內位移；而S0模態整體的面內位移與離面位移相當，但在截面上各節點的面內位移關于中面對稱，故而可以選取關于中面對稱的兩個節點，并通過信號相減而消除S0模態。因此，可以選擇面內位移作為研究對象，分析不同腐蝕損傷下A1模態的變化。

(a) A0模態波結構

為了進一步降低A0模態對高階模態損傷作用機理研究的影響，我們討論了不同模態在貫穿厚度方向各節點面內位移的幅值大小關系，如圖6所示。從圖6(a)中可以發現，A1模態的面內位移幅值總是大于A0模態，但越靠近上下表面，兩者的比值越小。圖6(b)為貫穿厚度方向不同各節點A1模態與A0模態面內位移幅值比，從圖中可以看出，中面附近的比值最大，上下表面處比值最小。因此，應當優先選擇靠近中面的節點來對A1模態損傷作用機理進行研究。在該區域，A1模態的面內位移幅值是A0模態的70倍以上，因此A0模態的干擾可以忽略不計。

(a) A0模態和A1模態面內位移分布

3 仿真結果分析

圖7為仿真計算的正常板和腐蝕板上正向傳播的Lamb波A1模態波包。可以發現，隨著損傷尺寸的增加，透射波包受損傷的影響也越大。為了探究A1模態波包受腐蝕損傷的作用機理，本文討論了各個時域指標的變化規律。

作為對比，本文同樣也計算了A0模態入射不同尺寸腐蝕損傷的結果。輸入信號為100 kHz為中心頻率的4周期Chebyshev窗調制的正弦信號，有效帶寬為30～170 kHz。采用圖2所示的有限元模型進行分析，利用準確模態振型技術在板中激勵產生單一的A0模態。在該頻段，即使在腐蝕損傷處發生模態轉換，板中也只存在A0和S0模態，而S0模態的面內位移關于中面對稱。因此，本文采集上下表面節點面內位移，并將位移求差以消除由引入損傷而產生的S0模態。

(a) 正常板的接收信號

3.1 飛行時間

正常板(圖7(a))中波包的傳播速度等于中心頻率下A1模態的群速度，而當發生厚度損失(即頻厚積減小)時，A1模態的群速度減小，甚至趨于截止點(群速度為0)，這就導致其波包到達時間顯著滯后。因此，利用接收信號的飛行時間(ToF)表征損傷的程度。

Lamb波波包總體飛行時間是整個傳播路徑上每一個小段路徑飛行時間的總和。由于沒有截止特性，零階模態在沒有腐蝕損傷的路徑上群速度保持一致，只有在損傷區域其群速度有變化，因此零階模態總體飛行時間變化不大。不同于零階模態，由于存在截止特性，高階模態在經過腐蝕損傷時一部分頻率的成分將被截止，透射波包的頻率成分將發生變化。因此，除了在損傷區域其群速度有變化之外，在損傷至接收節點之間(后半段)的路徑上Lamb波的群速度與激勵節點至損傷之間(前半段)的路徑的群速度也有差異。因此，高階模態的ToF對腐蝕損傷更加敏感。

這里定義ToF為接收信號波形包絡的幅值達到其最大值20%的最早時刻與激勵信號包絡最大值20%的最早時刻的差值。圖8(a)繪制了25種不同腐蝕損傷尺寸以及正常狀態下A1模態ToF的變化曲線。可以發現，損傷寬度W或損傷深度D較小時，A1模態ToF相比正常狀態時的ToF變化并不顯著。但是隨著損傷寬度和深度的增大，腐蝕損傷對A1模態ToF的影響愈加顯著。特別地，當最小剩余厚度(d-D)減小至3.4 mm以下時，ToF會顯著增加。

(a) A1模態ToF與腐蝕尺寸的關系

作為對比，圖8(b)繪制了25種不同腐蝕腐蝕損傷尺寸以及正常狀態下A0模態ToF的變化曲線。從圖中可以看出，ToF的數值與損傷尺寸呈現單調遞增的關系，但是遞增幅度較小。這說明A0模態波包的ToF受腐蝕損傷作用影響小。通過對比高階模態和零階模態經過腐蝕損傷后ToF的變化情況，可以發現，當腐蝕損傷尺寸較大時，零階模態的ToF對損傷敏感性較小，而高階模態的ToF對損傷敏感性較大，適合用于損傷檢測。另外，對ToF的變化規律的研究有望為損傷定量評估奠定基礎。

3.2 透射幅值

除了傳播時間的變化，高階模態在通過腐蝕損傷時還會伴隨著透射幅值的降低，但透射率除了與損傷尺寸有關，還與損傷輪廓等因素相關。另外，透射波包的幅值還與波包的頻率組成有關，與頻散特性關系密切。因此A1模態的幅值并不完全是隨損傷尺寸的增大而遞減的函數。圖9(a)統計了不同損傷尺寸下的A1模態透射波包包絡的最大幅值變化情況。從圖中可以看出，A1模態的透射幅值與損傷深度D呈單調遞減關系，而與損傷寬度W并不是單調遞減關系。當損傷深度D較小時，透射幅值隨腐蝕寬度W的增加反而增大。而當損傷深度D較大時(1 mm)，則規律相反。經分析，該規律與損傷輪廓和鋁板表面的斜角有關。另外，可以發現，當腐蝕寬度W較小時，A1模態幅值隨腐蝕深度D變化規律接近線性關系，而當腐蝕寬度W較大時，A1模態波包的幅值隨腐蝕深度D增加而迅速下降?？傊?，A1模態的透射幅值并不是某單一損傷尺寸的單調函數，而是受腐蝕寬度W和腐蝕深度D的綜合影響。

(a) A1模態幅值與腐蝕尺寸的關系

作為對比，圖9(b)繪制了不同腐蝕腐蝕損傷尺寸下A0模態波包包絡最大幅值的變化曲線。從圖中可以看出，隨著損傷尺寸的變化，透射波包幅值幾乎不變，甚至有微小的增加。這說明A0模態透射幅值受腐蝕損傷作用影響小。經對比分析，高階模態的透射幅值對腐蝕損傷的敏感度遠高于零階模態，有可能被用來進行輕微腐蝕損傷的檢測。

3.3 波包變形程度

由于腐蝕損傷造成平板局部厚度減薄，在減薄區域高階模態的頻厚積接近甚至低于截止頻厚積。這一效應一方面造成一部分頻率成分(接近截止頻厚積)的傳播速度趨于0，形成嚴重頻散現象；另一方面造成一部分頻率成分傳播(低于截止頻厚積)被截止，使得該部分頻率成分被反射或發生模態轉換。因此，高階模態在經過腐蝕損傷時會發生嚴重的波包變形。為了對波包變形程度進行分析，引入皮爾遜相關系數來表征兩個時間序列(激勵信號和透射信號)的相似性，具體計算公式如下[23]

(6)

式中：cov(X,Y)是序列X和Y的協方差;σX是X的標準差;σY是Y的標準差。

圖10(a)統計了A1模態在不同尺寸腐蝕損傷作用下波包的變形情況。從圖中可以發現，波形相似性系數分別是損傷寬度和深度的單調遞減函數。當腐蝕寬度較小時，腐蝕對波形的影響較小。當腐蝕寬度和深度都較大時，損傷將嚴重影響A1模態的波形。如圖7(d)腐蝕板(W=8 mm,D=0.8 mm)的接收信號相較于原始激勵信號已經產生了較大的波形畸變。

(a) A1模態與激勵信號相似性與腐蝕尺寸的關系

作為對比，A0模態的波包則受腐蝕損傷影響較小。如圖10(b)所示，在所研究的25種尺寸的損傷作用下，A0模態波包與激勵波形的相似度均在98%以上。通過對比分析，高階模態的波包變形程度遠大于零階模態，因此該指標也可以用來表征腐蝕損傷的存在。而且由于變形程度與損傷的寬度和深度都呈現遞增的關系(相似性遞減)，對該指標的研究有可能為損傷定量評估提供信息支撐。

4 結 論

本文采用準確模態振型技術，并結合有限元數值仿真，分析了高階Lamb模態在腐蝕損傷處的透射特性。該方法通過精確控制板厚方向各節點的質點位移從而在結構中激勵出單一模態，可以方便地分析特定類型的損傷與該模態的相互作用機理，并可以探究不同尺寸的損傷與Lamb波模態傳播特性的作用規律。

利用有限元計算發現，略高于截止頻率的A1模態經過腐蝕損傷，接收信號的飛行時間(ToF)會顯著增加，且隨著損傷尺寸的增大而單調遞增。同時，接收信號的幅值會顯著降低，但透射幅值并不是單一損傷尺寸(尤其是腐蝕寬度)的單調函數，而是受腐蝕寬度W和腐蝕深度D的綜合影響。另外，A1模態波包的波形也會受到腐蝕損傷的影響，且影響的程度與損傷的尺寸呈現正相關性。對于傳播特性參數變化規律的研究將為基于多模態Lamb波的損傷定量評估與損傷輪廓重建奠定理論基礎。

本文還對比研究了有相似頻散規律的A0模態，結果顯示，A0模態的飛行時間、透射幅值以及波包波形變形程度均受腐蝕損傷影響較小。研究結果也驗證了高階模態在腐蝕損傷檢測方面的優越性。另外，不同模態通過結構損傷時的差異性表達也為無基準多模態聯合損傷評估提供了理論支撐，該方面的研究為多模態Lamb波的信息挖掘提供了新思路。