考慮反射波震蕩的飽和土中大直徑現(xiàn)澆混凝土管樁低應(yīng)變測試解析解

邸同宇，吳文兵，張云鵬，劉 浩

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 工程學(xué)院，武漢 430074；2.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 浙江研究院，杭州 311305)

樁基縱向振動理論是進行樁基動力設(shè)計和低應(yīng)變檢測的重要理論基礎(chǔ)，目前國內(nèi)外學(xué)者在樁基縱向振動領(lǐng)域取得了眾多研究成果。Winker地基模型[1]是目前在工程實踐中被最為廣泛應(yīng)用的一種樁土相互作用模型，該模型通過將樁土相互作用簡化為彈簧和阻尼元件實現(xiàn)了樁土相互作用問題的快速求解。但是該模型參數(shù)選取依賴于經(jīng)驗和試驗，且該離散化的土體模型無法有效反映波在土體中的傳播規(guī)律。Novak等[2-3]提出了平面應(yīng)變模型，模型中土體被簡化為縱向無主應(yīng)力差的無限薄層，從而忽略了土體位移在豎直方向的變化，因此該模型只能夠反映土體中剪切波的徑向傳播。通過改進平面應(yīng)變模型，Nogami等[4]提出了豎向波動模型，解決了土體中縱波沿豎向傳播問題。平面應(yīng)變模型和豎向波動模型由于具備良好的可延展性，因此被廣泛應(yīng)用于樁土相互作用模型推導(dǎo)[5-6]。Wu等[7]和Zheng等[8]先后建立了適用于實心樁和管樁的考慮土體徑向位移的真三維波動模型，并用其分析了半正弦脈沖下樁頂?shù)乃俣葧r域響應(yīng)問題。但是，土體材料通常是一種復(fù)雜的多相介質(zhì)，上述理論都假定土體為單相連續(xù)介質(zhì)，忽略了孔隙流體的作用，與真實的樁-土相互作用仍有差距。Biot[9]提出的飽和介質(zhì)動力固結(jié)理論較好地解決了飽和多孔介質(zhì)的振動問題，且在線彈性范圍內(nèi)可得到嚴格的解析解，因而被廣泛利用。

在樁體振動理論方面，一維桿件模型被廣泛用作低應(yīng)變檢測理論的基礎(chǔ)，其考慮了應(yīng)力波在樁身內(nèi)的縱向傳播，對于一般尺寸的樁基測試信號具有較好的解譯結(jié)果[10-12]。但是，隨著大直徑樁基的推廣應(yīng)用，應(yīng)力波在樁身內(nèi)傳播的三維效應(yīng)已經(jīng)成為影響低應(yīng)變測試解譯結(jié)果的不可忽略的因素[13]。Chow等[14]利用現(xiàn)場試驗和有限元方法，發(fā)現(xiàn)在對一定直徑的樁基進行低應(yīng)變檢測時，檢測信號會受到嚴重的高頻干擾，且在反射信號后會出現(xiàn)顯著的負向脈沖。為了模擬大直徑樁基低應(yīng)變檢測時的三維效應(yīng)，丁選明等[15-16]、劉浩等[17]、孟坤等[18]、Liu等[19-20]用三維連續(xù)介質(zhì)理論模擬樁身材料，再通過樁土應(yīng)力邊界的連續(xù)條件實現(xiàn)樁土微分方程的耦合求解，建立了真三維耦合的樁土低應(yīng)變測試理論，并發(fā)現(xiàn)應(yīng)力波在樁身內(nèi)的橫向傳播和不斷發(fā)生的界面反射以及局部荷載作用導(dǎo)致的彎曲振動模態(tài)是造成高頻干擾的主要原因。基于三維連續(xù)理論的樁-土耦合低應(yīng)變理論，其數(shù)學(xué)求解過于復(fù)雜，常常涉及到復(fù)平面上超越方程的數(shù)值求解問題，尤其在成層地基問題中計算效率較低。不僅如此，三維效應(yīng)導(dǎo)致的橫波干擾已經(jīng)有了較好的消除方式，對于徑向橫波可以通過在樁芯和樁壁分別布置的傳感器進行雙速度疊加進行消除，而對于切向傳播的橫波則可以通過將激振和接收器布置呈90°來消除[21]。張敬一等[22-23]在樁基低應(yīng)變檢測中采用小波變換法，有效減少了干擾信號的影響，提高了樁底及缺陷段反射信號的拾取精度。因此，現(xiàn)在耗費大量的計算能力以模擬真三維效應(yīng)已經(jīng)不是低應(yīng)變檢測的主要需求，相反由于橫向慣性效應(yīng)導(dǎo)致的反射波震蕩問題逐漸成為阻礙精確化缺陷識別的又一問題。為了能在有限的計算量下模擬樁土系統(tǒng)內(nèi)應(yīng)力波的傳播并真實地模擬橫向慣性效應(yīng)，Li等[24]和吳文兵等[25]從能量法的角度修正了一維桿件理論，提出了適用于樁基低應(yīng)變測試的Rayleigh-Love桿件模型，該模型建模簡單，且有嚴格的完全解析解，具有較好的可編程性。

隨著工程建設(shè)對樁基承載能力的要求不斷提高，大直徑現(xiàn)澆混凝土管樁開始得到學(xué)者們的重視[26]。與實心樁不同，大直徑現(xiàn)澆混凝土管樁在成樁的過程中，管樁內(nèi)會形成一定高度的樁芯土(亦稱“土塞”)，樁芯土的存在使得管樁的承載能力和動力學(xué)復(fù)剛度得到提升，但也使得其振動情況變得復(fù)雜，理論求解的難度也進一步增大[27]。鄭長杰等[28]基于分布式Voigt模型模擬樁芯土與管樁內(nèi)壁相互作用關(guān)系，進一步研究了管樁的扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)解析解；吳文兵等[29]提出了土塞附加質(zhì)量模型，并在此基礎(chǔ)上給出了樁側(cè)土-管樁-樁芯土的縱向耦合振動解析解；劉林超等[30]將樁芯土和管樁內(nèi)壁之間的相互作用簡化成動摩擦作用，并且給出了樁土縱向耦合振動解析解。以上模型中均將樁芯土視為單相介質(zhì)，而忽略了真實的飽和土體中的土水相互作用，不能反映飽和土體中的真實樁基檢測結(jié)果。

本文基于軸對稱下Biot三維飽和多孔介質(zhì)理論和Rayleigh-Love桿件模型，建立了三維飽和土中考慮管樁橫波效應(yīng)的樁周土-管樁-樁芯土縱向耦合振動模型，并以此為基礎(chǔ)對飽和土中大直徑管樁低應(yīng)變測試時的橫向振動導(dǎo)致的反射波震蕩進行了研究。

1 數(shù)學(xué)模型建立

1.1 計算模型

本文研究對象為三維飽和土中的大直徑管樁，樁土間相互作用模型如圖1所示。管樁高度為H，內(nèi)外半徑分別為r1和r2，樁周土和樁芯土均為單層飽和土，模型中樁周土與樁芯土高度和管樁一致。根據(jù)連續(xù)模型的基本思想，將樁芯土和樁周土與管樁內(nèi)外壁之間的相互作用簡化為動摩擦力。假設(shè)管樁為端承樁，樁頂無位移，同時在樁頂施加激振力p(t)。

1.2 基本假設(shè)

(1) 樁側(cè)土與樁芯土為均勻各向同性的三維飽和線彈性體，樁周土體沿徑向無限延伸，土體表面均為自由表面，表面上既無正應(yīng)力也無剪應(yīng)力。

圖1 計算模型Fig.1 Computational models

(2) 管樁簡化為具有均勻環(huán)形截面的黏彈性Rayleigh-Love桿件，其徑向位移大小通過能量法和泊松效應(yīng)進行換算。

(3) 在振動過程中，管樁外壁和內(nèi)壁分別與樁周土和樁芯土保持完全接觸，即樁土界面在整個振動過程中始終保持應(yīng)力和變形連續(xù)，樁土界面無滑移。

(4) 在振動過程中，樁土系統(tǒng)發(fā)生的變形滿足幾何方程的小變形假設(shè)。

(5) 系統(tǒng)在初始時刻無任何速度和加速度，樁頂施加的縱向激振是樁土系統(tǒng)發(fā)生動力響應(yīng)的唯一因素。

1.3 控制方程及邊界條件

1.3.1 控制方程

(1) 飽和土體振動方程

基于Biot理論建立的飽和土體振動方程如下

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：u和w分別表示飽和土體中固相位移和液相相對于固相的位移；r和z分別表示圓柱坐標(biāo)系中徑向方向和縱向方向；λ和μ為土骨架的Lame常數(shù)；ρ、ρf和ρs分別表示土體密度、流體密度和土顆粒密度；m=ρf/n，n為飽和土孔隙率，b=η/k，表征流體對土骨架變形的滲透力的系數(shù)，η和k分別為流體黏滯系數(shù)和流體滲透系數(shù)；a和M為表征土體顆粒以及流體壓縮性的常數(shù)，定義如下

Kd=Ks[1+n(Ks/Kf-1)]

式中，Ks、Kf及Kb分別為土顆粒、流體及土骨架的體積壓縮模量。后續(xù)標(biāo)有上標(biāo)s的方程和變量對應(yīng)樁芯土，未攜帶上標(biāo)的方程和變量對應(yīng)樁周土。

(2) 管樁豎向振動方程

考慮管樁橫向效應(yīng)后，管樁的縱向振動平衡方程如下

(5)

1.3.2 邊界條件

(1) 土體邊界條件：

土體無窮遠處與中心的徑向、縱向位移均為0

(6)

土體表面均為自由界面，縱向應(yīng)力為0

因此，應(yīng)對完善本科高校現(xiàn)有的實踐教學(xué)團隊，同時增加雙素質(zhì)教師培養(yǎng)，如成立實踐指導(dǎo)小組，由《中級財務(wù)會計》專業(yè)授課教師和企事業(yè)單位的會計人員共同組成指導(dǎo)小組，共同負責(zé)、監(jiān)督實踐教學(xué)實施。

(7)

樁周土與樁芯土底面邊界條件如下

(8)

飽和土孔壓邊界條件

(9)

(2) 樁土接觸界面連續(xù)性條件：

(10)

(11)

(3) 管樁樁頂和樁端邊界條件:

(12)

(13)

(4) 飽和土與管樁初始條件：

(14)

(15)

2 控制方程求解

2.1 樁周土振動方程求解

為了耦合固相和液相，引入勢函數(shù)如下

(16)

(17)

(18)

(19)

將勢函數(shù)代入上述方程，再對時間進行拉普拉斯變換得到以下方程

(20)

(21)

(22)

(23)

將上式表示成矩陣形式

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

將勢函數(shù)代入式(16)～(19)，得到以下結(jié)果：

K0(g21r)(C2g22eg22z-D2g22e-g22z)-

(36)

K1(g21r)g21(C2eg22z+D2e-g22z)-

h11K1(h11r)(C5h12eh12z-D5h12e-h12z)

(37)

K0(g21r)(C4g22eg22z-D4g22e-g22z)-

(38)

K1(g21r)g21(C4eg22z+D4e-g22z)-

h11K1(h11r)(C6h12eh12z-D6h12e-h12z)

(39)

結(jié)合飽和土邊界條件式(7)以及K0(g11r)、K0(g21r)、K0(h11r)之間非線性關(guān)系，可以得到如下關(guān)系

C1+D1=C2+D2=C5-D5=0

(40)

由土體底面邊界條件(8)，可以得到g12，g22，h12同時滿足如下方程

(41)

再結(jié)合樁土接觸界面孔壓邊界條件(9)，可以得到如下方程

λ1g1nC1nK1(g1nr1)+λ2g2nC2nK1(g2nr1)+

λ5h1nhnC5nK1(h1nr1)=0

(42)

通過式(42)，C5n可用C1n、C2n表示如下

(43)

代入上述待定系數(shù)后，樁土接觸界面處樁周土縱向表達式可表示為

(44)

其中，

樁土接觸面處樁周土剪應(yīng)力為

(45)

樁土接觸面處樁周土水平位移

(46)

2.2 樁芯土振動方程求解

由連續(xù)模型可知，樁芯土振動方程與樁周土一致，采用相同的求解步驟，可以得到樁芯土的縱向及徑向位移表達式如下

I0(g41r)(E2g42eg22z-F2g42e-g42z)-

(47)

I1(g41r)g41(E2eg42z+F2e-g42z)+

h11I1(h21r)(E5h22eh22z-F5h22e-h22z)]

(48)

I0(g41r)(E4g42eg42z-F4g42e-g42z)-

(49)

I1(g41r)g41(E4eg42z+F4e-g42z)+

h11I1(h21r)(E6h22eh22z-F6h22e-h22z)]

(50)

式中，E1、E2、E3、E4、E5、E6為待定系數(shù)。

結(jié)合樁芯土的邊界條件，樁土接觸界面處樁芯土縱向位移、剪應(yīng)力及徑向位移為

(51)

(52)

(53)

由式(10)和式(11)可以得到樁周土與樁芯土位移表達式的系數(shù)之間具有如下關(guān)系

E1n=m1C1n+n1C2n

(54)

E2n=m2C1n+n2C2n

(55)

2.3 管樁振動方程求解

結(jié)合初始條件式(15)，對管樁縱向振動方程進行Laplace變換

(56)

式中，Up為up拉普拉斯變換，式(56)的通解為

Up=αeκz+βe-κz+

(57)

由管樁邊界條件(12)、(13)容易求得α、β

(58)

(59)

由樁土邊界連續(xù)條件(10)、(11)以及函數(shù)sinh的正交性，求C1n和C2n

(60)

(61)

最后得C1n、C2n：

(62)

(63)

樁頂?shù)奈灰谱杩购瘮?shù)為

(64)

樁頂界面處的速度傳遞函數(shù)為

(65)

在式(65)中令s=iω，則得到樁頂速度頻域響應(yīng)函數(shù)Hv。當(dāng)樁頂作用瞬態(tài)半正弦脈沖荷載p(t)=Qmaxsin(ω0t)(0≤t≤π/ω0)，可得到樁頂速度時域響應(yīng)半解析解

(66)

3 模型驗證

本文解采用的管樁模型為Rayleigh-Love桿件，當(dāng)Rayleigh-Love桿件的泊松比取值為0時，本文解退化為一維桿件模型。當(dāng)管樁內(nèi)部樁芯土的彈性模量取值為0時，本文解退化為忽略樁芯土的樁周土-管樁縱向耦合振動模型。

討論中采用的樁土參數(shù)為：飽和土密度2 200 kg/m3，土體剪切波速為120 m/s，Ks=36 GPa，Kf=2 GPa，孔隙率n=0.4，泊松比v=0.35，常數(shù)α=0.97；管樁密度為2 500 kg/m3，樁身縱波波速為4 000 m/s，泊松比vp=0.3，管樁高度為15 m，內(nèi)外半徑分別為1.0 m、0.8 m；激振荷載ω0=4 000 rad/s。下文的參數(shù)分析未作說明時均采用上述參數(shù)。

從圖2中可以看出，本文解與一維桿件解的曲線趨勢大致保持一致。本文解的樁尖反射信號幅值較一維桿件理論有所下降，并且時間上具有一定的滯后性。反射信號幅值的下降是由于在本文解中部分應(yīng)力波能量發(fā)生在了橫向變形上，導(dǎo)致本文解的幅值相比于只考慮縱向變形的一維桿件模型發(fā)生下降。同時，相對于一維解，本文解較好地考慮了樁底反射波到達樁頂后沿徑向散射導(dǎo)致的震蕩效應(yīng)。

圖2 本文解與一維桿件解對比Fig.2 Comparison between the paper’s solution and one- dimensional solution

管樁由于存在樁芯土，其縱向振動情況會變得更加復(fù)雜。本文假設(shè)樁芯土高度與管樁相同，從圖3中可以看出，忽略樁芯土模型的樁頂速度時域曲線比考慮樁芯土的模型具有更強的振蕩現(xiàn)象，并且樁尖反射信號的幅值更高。此外，樁芯土的存在會導(dǎo)致模型樁的樁頂速度時域曲線在振蕩效應(yīng)結(jié)束后具有更高的幅值。綜上所述，大直徑管樁的縱向振動過程必須要考慮樁芯土對結(jié)果的影響。

圖3 樁芯土的影響Fig.3 Influences of the presence of pile core soil

4 參數(shù)分析

4.1 管樁泊松比對樁頂縱向振動特性的影響

本文建立的模型考慮了樁身橫波干擾效應(yīng)，因此下面詳細討論管樁泊松比變化對管樁縱向振動特性的影響。分別設(shè)置管樁泊松比為0，0.1，0.2，0.3。從圖4中可以看出，不同管樁泊松比下，管樁的樁頂速度時域響應(yīng)曲線在樁尖反射信號處具有較大的差異性。隨著管樁泊松比的增大，第一次樁尖反射信號會逐漸延遲，并且樁尖反射信號的幅值也呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢。隨著管樁泊松比的增大，第一次樁尖反射信號后的曲線振蕩程度逐漸增強。應(yīng)力波在經(jīng)過樁尖反射回到樁頂后會產(chǎn)生大量的橫波，橫波沿徑向傳播產(chǎn)生了振蕩效應(yīng)。當(dāng)管樁泊松比越大時，橫波的影響越大，樁頂接收到信號振蕩效應(yīng)越明顯。

圖4 泊松比對樁頂速度響應(yīng)的影響Fig.4 Influences of Poisson’s ratio on the velocity responseat pipe top

4.2 管樁壁厚比對樁頂縱向振動特性的影響

本文采用的管樁模型為Rayleigh-Love桿件，該模型在分析大直徑樁的振動方面具有較好的適用性，因此該部分主要分析管樁壁厚對樁頂縱向振動的影響。分別改變內(nèi)半徑為0.9 m，0.8 m，0.7 m，0.6 m，管樁壁厚分別為0.1 m,0.2 m,0.3 m,0.4 m，得到的樁頂速度時域曲線如圖5所示。

圖5 壁厚對樁頂速度響應(yīng)的影響Fig.5 Influences of width of pile shaft on the velocity response at pipe top

從圖中可以看到，管樁壁厚對樁尖信號反射前的速度時域曲線影響程度很小，但是對樁尖反射信號的幅值影響較大。隨著管樁壁厚增大，樁尖反射信號幅值逐漸提高。這說明在進行樁基低應(yīng)變檢測中，在相同條件下，壁厚較大的管樁更容易接收到樁尖反射信號。

4.3 管樁長細比對樁頂縱向振動特性的影響

圖6為管樁長細比對樁頂速度時域曲線的影響，討論中保持管樁高度，壁厚不變，分別改變管樁外半徑。從圖中可以看到，隨著管樁長細比的增大，第一次樁尖反射信號沒有發(fā)生明顯的改變，反射信號的寬度稍微減小。隨著管樁長細比增大，第一次反射信號后的曲線振蕩現(xiàn)象提前。

圖6 管樁長細比對樁頂速度響應(yīng)的影響Fig.6 Influences of slenderness on the velocity response at pipe top

4.4 樁芯土剪切模量對樁頂縱向振動特性的影響

樁芯土的性質(zhì)一直是樁土系統(tǒng)之間相互作用的重要參數(shù)。本文中的樁周土與樁芯土均為飽和土體，為了區(qū)別樁芯土與樁周土作用的不同，單獨改變樁芯土的剪切模量，分析其對樁頂縱向振動的影響。

圖7為Eb/μ分別為500，1 000，1 500時的樁頂速度時域曲線。從圖中可以看到，隨著樁芯土剪切模量的降低，曲線振蕩幅度在逐漸減小，高頻干擾的現(xiàn)象也在逐漸減弱。樁芯剪切模量的改變對第一次反射信號的影響較小，但會導(dǎo)致反射信號之后的曲線產(chǎn)生明顯的幅度差。

圖7 樁土模量比對樁頂速度響應(yīng)的影響Fig.7 Influences of pile-soil modulus ratio on the velocity response at pipe top

4.5 樁芯土滲透力對樁頂縱向振動特性的影響

表征飽和土滲透能力的系數(shù)b分別取0，105,1010時，樁頂速度時域曲線如圖8所示。從圖8中可以看出，當(dāng)b=0與b=105N·s/m4,兩者的樁頂速度時域曲線很相近，當(dāng)b=1010N·s/m4時，第一次樁尖反射信號較前者的反射信號幅值有一定程度的下降。

圖8 滲透力對樁頂速度響應(yīng)的影響Fig.8 Influences of osmotic force on the velocity responseat pipe top

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)得到了考慮橫波干擾的飽和土下大直徑管樁的縱向振動解析解。土體由Biot多孔介質(zhì)連續(xù)方程控制，為了考慮大直徑樁的樁底反射信號受到橫向振動發(fā)生的振蕩效應(yīng)，Rayleigh-Love桿模型在本文中用于管樁振動的模擬。通過與經(jīng)典理論解的對比，本文解的正確性得到了驗證，并通過與忽略樁芯土的模型對比，證明了樁土模型考慮樁芯土的必要性。主要結(jié)論如下：

(1) 隨著管樁泊松比增大，管樁橫向慣性效應(yīng)增強，樁尖反射信號幅值逐漸降低，反射信號寬度逐漸增大，并且在時間上具有延遲的趨勢。

(2) 隨著管樁壁厚增大，樁尖反射信號幅值增大，反射信號寬度增大，反射信號后的曲線振蕩幅值逐漸增大，但隨著時間推移，管樁壁厚增大帶來的振蕩增強現(xiàn)象會逐漸減弱。

(3) 管樁長細比變化對樁頂速度時域曲線影響相對較小，隨著管樁長細比的減小，樁尖反射信號逐漸延遲，隨著時間的推移，樁尖反射信號后的延遲現(xiàn)象逐漸明顯。

(4) 當(dāng)樁芯土滲透系數(shù)逐漸增大時，在b=0和b=105N·s/m4，樁頂速度時域曲線并未發(fā)生存在明顯變化，當(dāng)b取值1010N·s/m4時，即樁芯土幾乎失去滲透性時，樁頂速度時域曲線的反射信號幅值比之前情況有所下降，這種現(xiàn)象在反射信號之后的振蕩曲線中逐漸增強。

(5) 當(dāng)管樁與樁芯土模量比值增大時，樁尖反射信號幅值呈現(xiàn)微弱的下降趨勢，速度時域曲線振蕩減弱。