具有強擾動程度的振動局域化現象研究

趙 鵬，紀 剛，周其斗

(海軍工程大學 艦船與海洋學院，武漢 430033)

對周期結構的振動分析表明其在頻域上交替存在通頻帶和止頻帶[1]。在通頻帶，振動會無衰減的傳播，在止頻帶振動會呈現衰減趨勢。當對周期結構進行某個參數的擾動后，比如子結構間距或是材料屬性的不一致，結構將變為非周期系統。由于非周期系統子單元處的阻抗不再處處相同，系統會表現出完全不一樣的振動傳遞特性，在頻域上全部表現為止頻帶特征，振動將主要被限制在振源附近，即表現出振動局域化效應[2]。

根據結構擾動方差和單元耦合參數的相對大小，非周期結構可分為強擾動和弱擾動，強擾動則對應著弱耦合，表現出強局域化現象，其使振動在空間衰減的更快。

對非周期結構局域化效應的研究多集中在20世紀中期，一維結構方面，Bouzit等[3]通過研究單元耦合關系對多跨梁結構動力學的影響，結果表明振動局域化與單元間耦合強度密切相關，弱耦合更易導致局域化效應。同時支撐間距的隨機性會導致結構振幅空間上的衰減，通過將平均變化速率表征為局部化程度，得到了局域化系數在弱跨間耦合和強跨間耦合中的解析近似。在二維系統振動局域化研究方面，Elishakoff等[4]通過研究加強筋不等間距布置對彈性板屈曲模態和振型的影響，結果發現加強筋相對標準位置的微小偏差都可以使屈曲模態從整體范圍變為局部區域。Photiadis等[5]研究了無序引起殼體空間衰減變化的機理，通過針對圓柱殼不同的周向階數進行分解實現降維，理論推導了弱擾動程度下振動衰減的近似表達式，通過分析近周期圓柱殼結構的振動響應發現，系統高階模態有更明顯的振動局域化效應。

國內對振動局域化的研究多為弱局域化效應，即分析小擾動程度下結構的動力學特征。然而實際工程中存在具有強擾動程度的非周期結構，強弱無序程度下的振動衰減系數是有很大差別的，若不加以區分，仍用弱局域化理論分析強無序結構，往往會得出錯誤結論。本文首先對一維彈簧振子鏈系統展開研究，從波傳遞理論角度和模態分析方法出發，結合統計擾動理論，給出對地剛度無序工況下強局域化的振動衰減系數解析式。采用基于通頻帶近似的等效方法，獲取結構的耦合參數，近似給出環肋圓柱殼的強局域化系數。最后通過有限元數值分析驗證相關結論。

1 彈簧振子鏈系統強局域化系數計算

振動局域化分析方法主要有攝動法、模態分析法、傳遞矩陣法、波傳遞法和數值法等[6-7]。基于研究對象的特點，采用模態分析法和波傳遞法定量計算典型一維結構的振動衰減系數。

如圖1所示為含有對地剛度的彈簧振子鏈平面布置圖。將系統的兩端進行固支，外界激振力以幅值F，頻率ω作用在左端第一個彈簧處，每個振子質量相同均為m，相互之間通過剛度系數為k的彈簧耦合，同時各自又經由剛度為ki的彈簧與大地固接。

圖1 含有對地剛度的彈簧振子鏈系統Fig.1 Mass-spring system with ground stiffness

設第i個質量單元的位移向量表示為xi，則系統的運動方程可以表示為

-ω2mxi+(ki+2k)xi-kxi-1-kxi+1=

(1)

1.1 模態分析法

對于周期結構，每個子單元具有相同的物理參數，自然頻率也是相同的。假設單元間耦合度為0，此時模態頻率為子單元解耦頻率。當耦合較小而并非消失時，模態頻率將以群組的形式呈現，即表現出“模態聚集現象”，并且接近未耦合時的自然頻率，這組頻率就是通頻帶[8]。而非周期結構，各子單元自然頻率不同，在頻域上不存在通頻帶。因此對結構的無序設計，本質上是改變了系統的振動模態，模態法通過計算傳遞到邊界處單元的單位振動響應，在整個傳遞距離上取平均從而分析出空間上的衰減效應。

將物理量轉換為無因次形式后，系統運動方程可以改寫為[9-11]

(2)

(3)

(4)

自然頻率是指外力F=0時振子作自由振動的頻率，式(5)表示彈簧振子鏈在不受外界激振力時的自由振動方程。所以通過模態分析實現行列式值的計算，系統的自然模態即轉化為特征值求解問題

(5)

(6)

(7)

當單元數量趨于無窮多時

(8)

對于強擾動，由于無序程度很大而單元耦合強度很小，可以先將系統看成一個個對地剛度系數差別很大的獨立的解耦單元，再對各單元之間賦予彈簧屬性進行耦合，此時將耦合強度看作是擾動量，再利用擾動理論進行計算。

將系統運動狀態矩陣[A]分解成未擾動項[A0]和擾動項[a0]

(9)

(10)

極限表達可以轉換成對數函數取期望值的形式

(11)

(12)

1.2 波動傳遞法

根據式(1)，相鄰單元的運動狀態方程可以轉化為傳遞矩陣的形式

(13)

強局域化對應結構弱耦合工況，即R是小量，σ是大量，從而可以將含1/R的項看作未擾動量，其余項看作擾動量

(14)

由文獻[12]可知，振動衰減系數與狀態傳遞矩陣連續乘積的(1,1)項相關，計算得連乘矩陣的首項

(15)

最終得到表達式為

(16)

強局域化系數公式較為復雜，但也是耦合無序比值R/σ的一階近似，適用于R/σ是小量的情況。

式(12)和(16)分別通過模態法和波傳遞法推導了強無序程度下的局域化系數，兩種方法推導的結果相近，微小的差別是因為波傳遞法只取了R/σ的一階近似，模態法推導結果含有一些高階項。具體計算中兩種數值結果相差很小，可以忽略不計。綜上，系統參數R/σ的相對大小是判斷非周期結構擾動強度的依據，當R/σ<1時為強擾動，反之為弱擾動。

1.3 有限元分析與數值驗證

為了驗證上述結論，現對一非周期彈簧振子鏈進行有限元分析。模型的相關參數和材料屬性,如表1所示。

表1 非周期彈簧振子鏈模型相關參數Tab.1 Related parameters of aperiodic spring oscillator chains

現設計質量單元未擾動時的對地剛度為105n/m，擾動剛度的最大偏移量為4×104n/m，即對地剛度ki在區間(60 000,140 000)服從均勻分布，最大擾動量達40%，生成一組隨機數據的無因次剛度標準差為0.232 6，耦合系數為0.1，此時σ/R>1，屬于強局域化弱耦合條件。選取頻率f=52、58 Hz，繪制振動能量隨軸向位置的變化關系如圖2(a)、(b)所示。

(a) f=52 Hz，強擾動

同時設計小擾動偏移量，設對地剛度在(90 000,110 000)服從均勻分布，此時σ/R<1，屬于弱局域化效應，圖2(c)所示為f=52 Hz下的振能圖。

從圖2可以看出，有限元實例模型的振幅衰減情況與強局域化系數理論結果吻合情況較好，對于強局域化弱耦合的實例模型，強局域化系數理論公式能很好地反應系統的振動衰減情況。觀察圖2(a)和(c)的縱坐標可以發現，擾動程度越大，局域化效應越強，振幅在空間上衰減的更快。實際分析中若忽視強局域化與弱局域化的界限，仍然采用弱局域化理論公式進行預報，將會導致相當大的偏差。

針對擾動標準差為0.232 6的上例模型，如圖3所示為在頻率區間(51～59)Hz通過強弱局域化理論公式計算的差異圖。在中通帶附近兩類公式相差70%，越靠近邊緣頻率差異越大，在f=51 Hz處誤差高達470%。

圖3 兩種公式計算局域化系數的差值比Fig.3 The difference between strong localization coefficient and weak coefficient

2 等效過程

首先介紹一種結構參數獲取方法，理論解析二維結構的耦合參數較為困難，而根據數值解析的通頻帶范圍可以解決這一問題，這是從一維結構過渡到二維的橋梁。下面針對彈簧振子系統驗證這一方法的可靠性。

2.1 基于通頻帶獲取結構耦合參數

對含有具體參數的周期結構進行理論計算可以給出通頻帶范圍，同樣根據通頻帶也能反映相關結構參數，這就是獲取耦合參數的一個基本思路。對于彈簧振子系統可以通過理論計算準確地給出通頻帶范圍，而對于板、殼等實際工程結構，由于解析復雜，很難通過理論計算識別出通頻帶，此時可以通過編程數值計算結構的通頻帶范圍，從而給出用于局域化公式計算的相關參數。

對式(1)可以轉化為

(-ω2mxi+kd+2k)xi-kxi-1-kxi+1=0

(17)

即：

(18)

行進波可以表示成exp(ikxx)形式，將其代入運動方程解得

(19)

其中a為振子單元間距，kx為波數，取值范圍為(-π/a,π/a)。所以根據通頻帶的上下限頻率，可以給出耦合參數k/m

(20)

如圖4所示為典型彈簧振子系統的能量分布圖，顏色越亮代表能量越高，從而可以清晰地確定邊緣頻率數值，根據通頻帶進一步給出子單元間的耦合剛度。

圖4 彈簧振子系統能量分布圖Fig.4 The energy distribution map of spring-mass system

為了驗證基于通頻帶獲取耦合參數的可靠性，現以周期彈簧振子鏈系統為例，根據其通帶范圍f=[51,59]，計算耦合參數

(21)

(22)

這就是根據通頻帶識別出耦合剛度后，算出特定擾動量下非周期結構的局域化系數。而根據實際參數算出各頻率下的數值結果,如表2所示。

表2 特定頻率下計算的局域化系數Tab.2 Localization coefficient calculated at specific frequency

對所有通頻帶的局域化系數取平均值為0.434 2，接近邊界頻率時與通過耦合參數識別計算的結果相差8.4%。這充分說明了通過能量分布圖確定通頻帶范圍，計算單元耦合參數，從而預報非周期結構的局域化系數，這一方法是切實有效的。這也為多自由度系統的局域化系數定量計算做了前提論證，通過此方法獲取耦合參數具有可行性。

2.2 基于波的分解理論獲取圓柱殼耦合參數

圓柱殼的振動場較為復雜，可通過傅氏級數展開理論分解為多組簡單行進波的疊加，從而使分析得到簡化[13-14]。對殼體進行激振，通過有限元分析得到的頻響數據可分為實部項和虛部項

(23)

式中:x、θ為殼體表面的軸向和周向坐標;l為殼體軸向長度。建模過程中沒有設定阻尼系數(不考慮阻尼作用)，輸出各節點位移虛部均為0，所以只需對實部進行級數展開

(24)

其中：

(25)

根據各周向階數分解后的振動幅值，可以給出n階振動下各軸向位置的能量大小

(26)

根據式(26)繪制行進波分量的能量分布圖，亮色區域為能量高值區域，可以清晰地給出通頻帶范圍。如圖5所示為某圓柱殼模型第25階數下的能量分布圖，從圖可以看出二維結構具有多個通頻帶，可以將每個通帶都等效成一維結構，從而獲取結構耦合參數。

圖5 圓柱殼能量分布圖Fig.5 The energy distribution map of cylindrical shell

3 非周期環肋圓柱殼強局域化系數計算

基于2.1節得到殼體結構的耦合參數后，問題的關鍵在于推出環肋間距的擾動方差，從而可以利用一維結構的理論公式給出殼體結構的近似局域解。由文獻[13]，對于非周期環肋圓柱殼，σ2表示環肋間距的無因次統計方差值

(27)

(28)

式中:n為周向階數;R為圓柱殼半徑;螺旋波波數kh可由平板色散關系式近似表達

(29)

式中:ρ為圓柱殼材料密度;ω0為通帶中央角頻率;E為彈性模量;ν為泊松比;h為圓柱殼板厚度。綜合以上結論，環肋間距的統計方差值為

(30)

表3 環肋圓柱殼模型相關參數Tab.3 Relevant parameters of ring-ribbed cylindrical shell model

圖6 有限元模型Fig.6 The finite element model

設有一激振力作用在中間環肋處，如圖7所示為選取系列周向階數和頻率下振動能量隨軸向位置的有限元分析與理論分析對比圖。

(a) n=15，f=410 Hz

從圖中可以看出理論計算能較好地反映能量衰減趨勢，也驗證了等效方法的可靠性，實現了圓柱殼環肋間距在強擾動程度下的振動衰減預報。

4 結 論

本文首先以彈簧振子鏈為研究對象，研究了強擾動程度下的振動局域化現象，通過模態分析法和波傳遞法推導出了振動衰減系數。基于理論分析得到了基于通頻帶獲取結構耦合參數的方法，并通過實例計算得到了驗證，為圓柱殼結構的耦合參數獲取打下基礎。通過分析圓柱殼環肋間距的統計方差，得到了強擾動下非周期環肋圓柱殼的振動衰減系數，并通過有限元分析得到了驗證。

(1) 基于模態分析法和波傳遞法均可推導出強擾動程度下的振動局域化系數，由于近似的階數不同，兩者有微小的差異，在數值上相當近似。

(2) 強擾動具有更大的衰減系數，在空間上表現為衰減的更快，此時若仍用弱局域化理論很可能會得出錯誤結論。

(3) 基于通頻帶可以獲取結構的耦合參數，解決了圓柱殼結構系數解析復雜的難題，實現了衰減預報從一維到二維的過渡。通過計算非周期圓柱殼環肋間距的近似方差值，可以得到圓柱殼的振動衰減系數。