第22屆亞洲物理奧林匹克競賽實驗試題1的介紹與解答

惠王偉，王 槿，劉麗颯，宋 峰，孔勇發

(南開大學 a.物理科學學院；b.基礎物理國家級實驗教學示范中心，天津 300071)

第22屆亞洲物理奧林匹克競賽(Asian Physics Olympiad, APhO)于2022年5月23日至31日由印度物理教師協會(Indian Association of Physics Teachers，IAPT)與印度德拉敦(Dehradun)的Graphic Era Hill大學共同組織，共有27個國家和地區的代表隊參賽. 競賽采用線上虛擬仿真形式，共有2個實驗題目，每個題目10分. 其中試題1為磁學黑盒子(Magnetic black box)[1]，內容為利用智能手機傳感器研究磁鐵在無磁性空心管中的運動及空心管的材料. 本文將介紹實驗試題1的內容，并給出詳細解答.

1 試題介紹

智能手機使用基于霍爾效應的磁力計來測量其所在位置的磁場,該磁力計可以測得磁感應強度3個方向的分量,磁力計的傳感器集成在手機的電路板上,不能從手機外面觀看.

圖1展示了半長為d且磁矩為M的小條形磁鐵.條形磁鐵軸線方向上的P點和中垂線上的Q點處沿磁鐵軸向的磁感應強度大小分別為Baxial和Bequatorial，具體表達式為

(1)

(2)

其中，μ0為真空中的磁導率，μ0=4π×10-7N/A2；rP和rQ分別為條形磁鐵中心到測量點P和Q的距離.在試題中,將磁鐵看成點偶極子(d?rP,rQ).

圖1 條形磁鐵示意圖

在考試入口界面，點擊”EQ1-Magnetic Black Box”(實驗1-磁學黑盒子)鏈接進入實驗考試. 圖2為仿真程序的屏幕截圖，可以看到屏幕中的背景網格，該網格背景是豎直平面內實驗裝置所在區域. 實驗區域內共有4個物體:智能手機、藍(S極)紅色(N極)的磁鐵、深色的具有均勻壁厚的空心管、刻度尺，通過點擊“SHOW SCALE/HIDE SCALE”(顯示刻度尺/隱藏刻度尺)按鈕將刻度尺顯示或隱藏，背景網格邊長為1 cm.

圖2 仿真程序的屏幕截圖

1.1 實驗裝置

圖2中所有物品可以通過按住并拖動鼠標進行移動. 智能手機、刻度尺和磁鐵均可在平面內旋轉，旋轉控制滑塊在面板右側，可通過拖動滑塊來改變物體的方向. 為了更精細地控制物體，在點擊滑塊后可通過鍵盤上的方向鍵來旋轉物體.

智能手機內部的磁力計可以測量其所在位置的磁場. 磁力計在手機內部的具體位置并沒有給出. 面板右側會根據磁力計的位置顯示Bw和Bl的值(Bw和Bl分別表示手機探測到的沿手機短邊方向和長邊方向上的磁感應強度的分量)，如圖2所示. 磁感應強度分量Bw的正方向向右，磁感應強度分量Bl的正方向向下.

1.2 測量方法

當點擊“START MEASUREMENT”(開始測量)時,可以看到Bw和Bl隨時間變化的曲線. 點擊“RESET GRAPH”(重置圖形)按鈕會清空圖像中所有記錄的數據,當鼠標在圖像中的曲線上移動時,可以讀出數據點的數值,可以通過修改“Graph start time (ti)”(圖形開始時間)和“Graph end time (tf)”(圖形結束時間)輸入框中的時間值來放大圖像中的某一部分.

如果手機暴露于強磁場中,有可能會被損壞. 為了避免此情況,若手機測量到的磁感應強度超過6 500 μT,將停止測量,并且面板右側會顯示警告“Maximum Magnetic field exceeded”(超過最大磁感應強度),當磁鐵離手機足夠遠時,將恢復測量.

將鼠標移到畫布上點擊任意位置,通過鍵盤上的上、下、左、右方向鍵可移動磁鐵,對磁鐵更精細/粗略的移動可以通過點擊“2X FINER MAGNET MOVEMENT/2X COARSER MAGNET MOVEMENT”(磁鐵2倍精細移動/磁鐵2倍粗略移動)按鈕實現,每點擊1次上述按鈕,移動的精細/粗略程度會變成原來的2倍. 重力方向豎直向下,朝向屏幕底端,畫布底端的紅線表示地面. 實驗中僅考慮屏幕中所顯示的物體,關于管子的更多信息將在B部分給出. 磁鐵放置于屏幕中任意位置后均會保持靜止,點擊“DROP”(下落)按鈕會釋放磁鐵使其開始下落. 注意：僅在點擊“START MEASUREMENT”(開始測量)按鈕后，再進行上述操作,磁鐵才可以被釋放；點擊“RESET POSITION” (重置位置)按鈕會使磁鐵回到掉落前的位置；如果需要,可以將物體移動到畫布之外.

在本實驗中，將磁鐵視為點偶極子. 本題中無需計算誤差.

1.3 A部分

A.1 通過實驗測量出手機中磁力計的位置. 答題卡上的手機示意圖中有更精細的小網格，小網格的邊長為2 mm. 在手機示意圖上畫“?”來表示磁力計的位置. (1.0分)

A.2 畫出合適的線性圖，并通過線性圖得出磁鐵的磁矩大小. 在表格中記錄所用方法的實驗數據. (2.3分)

1.4 B部分

在仿真程序屏幕上給出了空心且無磁性的管子,管子豎直放置,管壁厚度有限且均勻,為使磁鐵落入管中,磁鐵需被正確放置在管的中心軸線上,按下“DROP”(下落)按鈕，磁鐵在豎直平面被釋放,無法觀察管內磁鐵的運動,實驗假設磁鐵在管中下落時不傾斜也不旋轉. 管子由3部分組成:一段的材質是木頭(W);另一段的材質是鋁(Al),電導率為3.77×107Ω-1·m-1;還有一段的材質是銅(Cu),電導率為5.96×107Ω-1·m-1,這3個分段不一定按照上述順序排列,假設磁鐵被豎直釋放時(沿y軸向下),磁鐵下降的動力學方程為

(3)

其中，m為磁鐵的質量,g為重力加速度(本題取g=9.8 m/s2),k為由管道中產生的渦旋電流導致的阻尼系數，木、鋁和銅的阻尼系數分別為0，kAl和kCu.按照以下步驟使磁鐵在管道中下落：

1)把手機、磁鐵和管子放在合適位置;

2)點擊“START MEASUREMENT”(開始測量)按鈕;

3)點擊“DROP”(下落)按鈕.

磁力傳感器無法測量管道中因渦旋電流產生的微小磁場. 當磁鐵在管道中下落時,屏幕上可以看到Bw和Bl隨時間變化的函數曲線.

B.1 根據屏幕上顯示的磁感應強度隨時間變化的函數曲線,確定管道的3個不同材質分段的順序,在表格中標出各分段對應的順序編號(序號順序從上到下:1表示頂部的分段,2表示中間的分段,3表示底部的分段). (0.3分)

B.2 確定磁鐵在鋁管中的最終速度,并根據數據點繪制出線性擬合圖. 答題卡中已經給出與模擬屏中相似的網格圖,在圖中畫出實驗方案中的手機、管子和磁鐵的具體擺放位置和方向,用長方形來表示手機. 將用于畫圖的相關數據填入表中,算出管子中鋁質分段的長度,可以選擇是否使用作圖法測量管中鋁管部分的長度,如果使用1幅圖或1組數據來確定長度,均需使用表格中1列寫出相關數據. (2.6分)

B.3 確定磁鐵在銅管中的最終速度,并根據數據點繪制出線性擬合圖. 確定管中銅管部分的長度,可以選擇是否使用作圖法對銅管進行測量,如果使用1幅圖或1組數據確定長度,均需使用表格中1列寫出相關數據. (2.2分)

B.4 確定木管部分的長度,可以選擇是否使用作圖法對木管進行測量,如果使用1幅圖或1組數據確定長度,均需使用表格中1列寫出相關數據. (1.6分)

2 試題解答

A.1 沿著手機短邊方向和長邊方向移動磁鐵，觀察手機磁力計的變化，可以確定手機中磁力計的坐標. 測量結果如圖3所示.

A.2 根據式(1)，可以得到在軸線方向上距離條形磁鐵中心x(x?d)處的磁感應強度為

(4)

圖3 磁力計的位置

圖4 A.2部分裝置示意圖

表1 A.2部分的測量數據

圖的關系曲線

求得直線斜率為4.00×10-7N·m2/A,磁矩為2.00 A·m2. 本題中，測量數據點少于8個，有效作圖面積小于坐標紙的70%，結果超出要求范圍都會被扣分.

在B部分中，按照圖6所示放置各個器件. 磁鐵和空心管在手機磁力計的正下方，磁鐵與磁力計的距離為x0.將磁鐵沿管子的軸線釋放，在其下落過程中，由于渦流阻尼的存在，經過一段短暫的加速運動后，磁鐵將達到最終速度.

圖6 B部分裝置示意圖

考慮磁鐵在離磁力計原點x0處靜止的情況.磁鐵沿著管道的軸線被釋放.在管道的導電段中，由于渦流阻尼的存在，經過短暫的加速，磁鐵很快達到最終速度.在這種情況下，磁力計測得的磁場Bw隨時間t的變化為

(5)

即

(6)

B.1 按照圖6所示裝置示意圖進行實驗，即將手機旋轉90°，樣品管豎直，獲得磁感應強度隨時間變化的函數曲線如圖7所示，從曲線上可以看到3個不同的階段(AB，BC，CD). 也可以采用其他的替代方案進行測量，例如手機長邊與樣品管平行，測量沿手機長邊的磁感應強度Bl隨時間的變化.

圖7 Bw-t的關系曲線

表2 不同材質分段順序

表3 鋁管的測量數據

圖8 鋁管的關系曲線

圖8中曲線的斜率為6 cm/s,所以鋁管中磁鐵的最終速度為6 cm/s. 根據速度v的變化可以推斷出磁場在0.536 s開始變化，所以這是磁鐵開始下落的時間點. 磁鐵很快就達到了最終速度. 速度又在1.040 s時發生突變，提示磁鐵此時移出了鋁管. 所以鋁管的長度為3.024 cm.

表4 銅管的測量數據

圖9 銅管的關系曲線

表5 木管的測量數據

圖10 木管的關系曲線

3 討論與分析

小磁體在磁場中的下落過程分析是非常有趣的問題，在第13屆APhO的理論試題“The drag on a falling magnet”以及基礎物理教學和實驗中都涉及相關內容. 智能手機的磁力計功能使得該實驗得到推廣.

磁場的測量和磁力靈敏電流計自2020年春季南開大學開設為居家實驗后，一直在大學基礎物理實驗中開展教學[2]. 實驗分為4個模塊：

1)設計實驗，檢驗手機中磁力計的位置；

2)地磁場合成強度測量；

3)地磁場分量測量；

4)探究磁場強度與距離的關系.

本屆APhO實驗試題1的內容設計非常接近居家實驗的第1和第4部分. 居家實驗中增加了對地球磁場的測量探究. 2019年第50屆國際物理奧林匹克競賽實驗試題2為驗證維德曼-夫蘭茲定律”[3]，內容包括測量紫銅、黃銅和鋁3種金屬的熱導率和電導率，實驗A部分與本次試題類似. 在2017年IPhO試題”平行偶極線磁勢阱”實驗中，由于原裝儀器中的特斯拉計已經損壞，中國隊選手采用手機磁力計進行了替代測量，所以中國隊選手對于本題需要用到的基礎知識、裝置和方法并不陌生. 目前，仍然可以使用網絡端訪問主辦方的官網進行虛擬實驗.

中國隊選手在本題的最高得分為滿分10分，平均分為9.4分，整體水平位于所有隊伍前列. 本實驗的評分點主要集中在解題方法闡述、數據測量、作圖、數據擬合和實驗結果. 中國隊選手失分的主要原因是數據測量出現問題，導致個別選手的計算結果超出標準范圍.

本屆APhO的理論試題體現了理論與實驗教學的高度融合，例如理論試題2“相變的力學模型(A mechanical model for phase transitions)”與2021年中國大學生物理學術競賽(CUPT)第7題“珠子動力學”模型相似，這充分體現了中國大學生物理學術競賽、物理奧林匹克競賽等學科競賽在物理教育，特別是大中銜接中的巨大潛力.

4 結束語

本屆APhO雖然采用了線上/虛擬仿真相結合的方式舉行，但實驗內容設計上接近于線下的居家實驗. 從2020年春季開始，南開大學的實驗教學團隊一直致力于發展簡單可行并可以與基礎物理實驗教學相結合的系列居家實驗. 本屆亞賽采用的手機物理實驗虛擬化，具有新意，為實驗教學和理論教學提供了思路，同時減少了往年對于儀器的依賴. 可以看到借助于學科競賽中的優秀案例，利用居家實驗、虛擬實驗等形式，可以彌補傳統單一理論教學中物理圖像缺失. 中國隊選手目前在各個國際物理教育方面的學科競賽均取得了優異的成績，將學科競賽的成果轉化到基礎實驗教學中，需要實驗和理論教師的合作和進一步的教學研究與推廣.

致謝:感謝參與試卷翻譯等工作的南開大學本科生志愿者王爍皓、王宸澤和鄧名豪！感謝參與奧賽培訓、選拔與遠程考試的各位老師！感謝中國科學技術協會、中國物理學會、天津市物理學會等單位和部門對賽事的支持！