邁克耳孫干涉儀與光學(xué)自相關(guān)測(cè)量

張朝暉

(北京大學(xué) 物理學(xué)院 基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，北京 100871)

19世紀(jì)末，邁克耳孫(A. A. Michelson)發(fā)明了用于測(cè)量微小長(zhǎng)度、折射率和光波波長(zhǎng)的干涉儀器,即邁克耳孫干涉儀，并與莫雷(E.W. Morley)合作，進(jìn)行了著名的邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)(Michelson-Morley experiment)， 證明了光速與地球表面運(yùn)動(dòng)速度無關(guān). 該實(shí)驗(yàn)引發(fā)了一系列的實(shí)驗(yàn)及理論研究，最終否定了當(dāng)時(shí)盛行的以太理論，確立了光速在真空中不變的基本事實(shí)，奠定了愛因斯坦狹義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ). 由于創(chuàng)制了精密的光學(xué)儀器和利用該儀器所完成的光譜學(xué)和基本度量學(xué)研究，邁克耳孫于1907年獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng). 此后100多年，邁克耳孫的該發(fā)明得到了廣泛而深刻的應(yīng)用和發(fā)展，其中迄今最重大的科學(xué)成就是：科學(xué)家基于邁克耳孫干涉測(cè)量思想建造了激光干涉引力波天文臺(tái)(Laser interferometer gravitational-wave observatory，LIGO)，并于2016年探測(cè)到了愛因斯坦廣義相對(duì)論預(yù)言的引力波，即黑洞、中子星等天體在碰撞過程中產(chǎn)生的時(shí)空漣漪，其中3位貢獻(xiàn)最大的科學(xué)家(Rainer Weiss，Kip Stephen Thorne 和 Barry Clark Barish)因此獲得了2017年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).

為狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論提供實(shí)驗(yàn)支撐的裝置利用的是邁克耳孫干涉測(cè)量微小長(zhǎng)度的原理，其基本光路如圖1所示.

圖1 邁克耳孫干涉儀的原理光路

(1)

(2)

(3)

其中，I0為入射光波的光強(qiáng)，γ(τ)為入射光波電場(chǎng)的歸一化自相關(guān)函數(shù)，其形式為

(4)

由此可見，在準(zhǔn)直光波入射的條件下，邁克耳孫干涉儀如同1臺(tái)模擬計(jì)算入射光波自相關(guān)函數(shù)的機(jī)器，通過測(cè)量一系列延遲時(shí)間所引起的干涉光強(qiáng)，就可以計(jì)算出所有相應(yīng)的相關(guān)函數(shù)值.由于延遲時(shí)間τ與2束光波經(jīng)歷的光程之差z及光速c之間滿足τ=z/c，通過測(cè)量自相關(guān)函數(shù)值來反推相應(yīng)的時(shí)間延遲量就可以確定光程差，即進(jìn)行微小長(zhǎng)度的測(cè)量.對(duì)于引力波測(cè)量來說，時(shí)空漣漪引起的時(shí)空應(yīng)變及其微小以至于必須能夠在103km的尺度上探測(cè)到原子核大小光程差改變所引起的相關(guān)函數(shù)值的變化.

邁克耳孫干涉儀的自相關(guān)測(cè)量原理已經(jīng)發(fā)展成多種檢測(cè)技術(shù)和儀器設(shè)備. 傅里葉變換光譜儀(FTS)在原理上就是通過連續(xù)移動(dòng)邁克耳孫干涉儀的1個(gè)平面鏡來測(cè)量入射光波的自相關(guān)信號(hào)，然后對(duì)該信號(hào)做快速傅里葉變換(FFT),得到入射光波的頻譜分布. 另外，光學(xué)相干層析(OCT)的成像技術(shù)在原理上則是將邁克耳孫干涉儀的1個(gè)平面鏡換成待測(cè)樣品，運(yùn)用自相關(guān)測(cè)量來實(shí)現(xiàn)對(duì)生物樣品的三維斷面成像.

邁克耳孫干涉儀與光學(xué)自相關(guān)測(cè)量實(shí)驗(yàn)期望學(xué)生在較高層次上全面理解邁克耳孫干涉儀的光學(xué)自相關(guān)測(cè)量原理，在較高水平上選擇性地完成綜合性的物理實(shí)驗(yàn)，如傅里葉變換光譜(FTS)檢測(cè)，光學(xué)相干層析(OCT) 成像，等等. 作為實(shí)驗(yàn)輔導(dǎo)材料，本文將提供理解和實(shí)施項(xiàng)目?jī)?nèi)容的基本思路：首先從邁克耳孫干涉儀的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)入手，溫習(xí)邁克耳孫干涉的物理圖像和基本的實(shí)驗(yàn)方法；在此基礎(chǔ)上，先嘗試?yán)斫膺~克耳孫干涉儀用于測(cè)量微小長(zhǎng)度的原始實(shí)驗(yàn)和在引力波測(cè)量上的技術(shù)成就，然后進(jìn)入邁克耳孫干涉儀用于自相關(guān)測(cè)量的原理學(xué)習(xí)，弄清楚FTS和OCT的實(shí)驗(yàn)方法，形成利用教學(xué)型邁克耳孫干涉儀來探究FTS和OCT的實(shí)驗(yàn)方案；最后是教學(xué)要求，明確教與學(xué)兩方面有效配合的具體方式. 文中插入了一些“思考與練習(xí)”的題目，旨在以問題為導(dǎo)向來加深學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容的具體理解.

1 邁克耳孫干涉儀的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)

作為教學(xué)儀器，邁克耳孫干涉儀可以用來觀察各種干涉現(xiàn)象[1]，由于入射干涉儀的光波各種各樣，因此可以通過實(shí)驗(yàn)來建立各種干涉類型的物理圖像. 在此基礎(chǔ)上的干涉測(cè)量是通過觀察干涉條紋的分布及變化來推算光程差，對(duì)微小長(zhǎng)度的測(cè)量精度一般在光波長(zhǎng)的量級(jí)上. 由于實(shí)驗(yàn)內(nèi)容要求在教學(xué)型的邁克耳孫干涉儀上進(jìn)行，作為預(yù)備實(shí)驗(yàn)，學(xué)生需要首先熟悉邁克耳孫干涉儀的結(jié)構(gòu)和調(diào)節(jié)，以及相關(guān)的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn).

1.1 儀器結(jié)構(gòu)與調(diào)節(jié)

物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)普遍使用圖2所示的邁克耳孫干涉儀，相較于圖1，圖2中的分束鏡和補(bǔ)償鏡平行且與反射鏡M1移動(dòng)的導(dǎo)軌方向成45°角，反射鏡M1和M2的背面均有調(diào)節(jié)其反射面取向的調(diào)節(jié)螺釘，并且反射鏡M2的精細(xì)調(diào)節(jié)可以通過擰動(dòng)垂直和水平方向拉桿上的螺釘來實(shí)現(xiàn). 3個(gè)地腳螺釘調(diào)節(jié)導(dǎo)軌平面與實(shí)驗(yàn)臺(tái)面平行.

轉(zhuǎn)動(dòng)大轉(zhuǎn)輪帶動(dòng)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸拖動(dòng)反射鏡M1的基座在導(dǎo)軌上平移. 反射鏡M1移動(dòng)的距離可由干涉儀側(cè)面1 mm精度的直尺以及讀數(shù)窗里0.01 mm 精度的刻度轉(zhuǎn)盤和0.000 1 mm精度的微調(diào)轉(zhuǎn)輪共同確定. 如果僅單向轉(zhuǎn)動(dòng)微調(diào)轉(zhuǎn)輪來移動(dòng)反射鏡M1，反射鏡M1移動(dòng)的距離是上述3個(gè)讀數(shù)之和，其精度可達(dá)0.000 1 mm,估讀到0.000 01 mm，即0.01 μm，因此可以進(jìn)行可見光范圍(波長(zhǎng)0.4～0.7 μm)的光波干涉測(cè)量. 由于從轉(zhuǎn)輪到反射鏡有多個(gè)環(huán)節(jié)的機(jī)械轉(zhuǎn)換配合，使用時(shí)不可避免地存在較大的回程差. 單向轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)輪是消除回程差的基本方法.

圖2 教學(xué)型邁克耳孫干涉儀

實(shí)驗(yàn)開始前，需對(duì)干涉儀進(jìn)行基本調(diào)節(jié)，然后再依據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上圍繞干涉儀搭建光源入射光路和干涉圖樣觀察光路. 干涉儀的調(diào)節(jié)基準(zhǔn)是通過調(diào)節(jié)3個(gè)地腳螺釘使承載反射鏡M1平移的導(dǎo)軌平面平行于實(shí)驗(yàn)臺(tái)面，并用水準(zhǔn)儀檢驗(yàn). 后續(xù)調(diào)節(jié)的基本目標(biāo)是使反射鏡M1和M2的反射面分別垂直于導(dǎo)軌平面，M1反射面的法線平行于M1的平移方向，M2反射面的法線垂直于M1的平移方向，從而使M1和M2分別與分束鏡的反射面構(gòu)成45°角. 實(shí)現(xiàn)該調(diào)節(jié)目標(biāo)的有效方法是：激光入射干涉儀，交替調(diào)節(jié)干涉儀的2個(gè)反射鏡和激光器位置，使投射在反射鏡中心的光斑能原路返回到激光器的出光口，即自準(zhǔn)直方法.

思考與練習(xí)1：

1)邁克耳孫干涉儀實(shí)現(xiàn)的是分振幅干涉，分束鏡面上鍍有的半透半反介質(zhì)膜是為了獲得最大干涉條紋對(duì)比度嗎？

2)補(bǔ)償鏡是與分束鏡同材質(zhì)、同厚度、同平行度和同平整度的平板玻璃. 試說明補(bǔ)償鏡在什么情況下起作用？補(bǔ)償鏡補(bǔ)償?shù)氖鞘裁矗窟@種補(bǔ)償效應(yīng)是如何體現(xiàn)在干涉條紋上的？

3)轉(zhuǎn)動(dòng)大轉(zhuǎn)輪和微調(diào)轉(zhuǎn)輪，觀察反射鏡M1的移動(dòng)，檢查毫米直尺、大轉(zhuǎn)輪、微調(diào)轉(zhuǎn)輪的示數(shù)，估算回程差的大小，并說明回程差產(chǎn)生的原因.

4)轉(zhuǎn)動(dòng)大轉(zhuǎn)輪時(shí)，微調(diào)轉(zhuǎn)輪會(huì)跟著轉(zhuǎn)動(dòng)；轉(zhuǎn)動(dòng)微調(diào)轉(zhuǎn)輪時(shí)，大轉(zhuǎn)輪不會(huì)隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，分析其中的機(jī)械構(gòu)造和原理.

1.2 點(diǎn)光源照明的非定域干涉

由2個(gè)相干光源出射的光波在空間相遇，若光程差不超過其相干長(zhǎng)度，就會(huì)在相遇處干涉，形成干涉條紋，該現(xiàn)象是典型的非定域干涉. 觀察點(diǎn)光源干涉圖樣的光路示意圖如圖3所示，反射鏡M1和M2垂直，氦氖激光經(jīng)會(huì)聚透鏡產(chǎn)生點(diǎn)光源，形成的準(zhǔn)球面波入射干涉儀，這樣眼睛在觀察屏位置迎著光線看過去就會(huì)觀察到2個(gè)虛的點(diǎn)光源. 當(dāng)2個(gè)虛點(diǎn)光源的連線與觀察屏垂直時(shí)，在觀察屏上可觀察到同心圓環(huán)形狀的干涉圖樣. 通過平移反射鏡M1增大光程差時(shí)，可觀察到圓環(huán)條紋從中心不斷吐出；減小光程差時(shí)，可觀察到圓環(huán)條紋在中心不斷被吞入. 微調(diào)反射鏡M2，使其相對(duì)于反射鏡M1的夾角偏離90°，移動(dòng)反射鏡M1的位置，還可以在觀察屏上觀察到橢圓條紋、雙曲或者直條紋等.

圖3 觀察點(diǎn)光源干涉圖樣的光路示意圖

思考與練習(xí)2：

1)如果2個(gè)相干點(diǎn)光源各自發(fā)出理想球面光波，試描繪其非定域干涉在空間形成的干涉圖樣，并且根據(jù)光程差為波長(zhǎng)的整數(shù)倍標(biāo)出等光強(qiáng)面的級(jí)次.

2)仔細(xì)調(diào)節(jié)干涉儀，并將點(diǎn)光源放置在適當(dāng)位置，直到觀察到圖4所示的干涉圖樣，畫出形成每個(gè)干涉圖樣的等效干涉光路示意圖.

3)利用產(chǎn)生同心圓環(huán)干涉圖樣的光路測(cè)量氦氖激光的波長(zhǎng). 如果條紋吞吐的判斷誤差不超過0.4個(gè)條紋，那么至少應(yīng)將反射鏡M1移動(dòng)多少距離才能使測(cè)得波長(zhǎng)的相對(duì)誤差不超過0.1%？

4)在圖3中放置會(huì)聚透鏡，用準(zhǔn)直光波入射干涉儀，在保持反射鏡M1和M2垂直的條件下移動(dòng)M1，觀測(cè)觀察屏上光強(qiáng)的變化情況，并用光探測(cè)器采集數(shù)據(jù). 思考：如何利用采集到的光強(qiáng)數(shù)據(jù)精確校準(zhǔn)由干涉儀刻度示數(shù)給出的反射鏡M1的位移？

圖4 非定域干涉的典型干涉圖樣

1.3 擴(kuò)展光源照明的定域干涉

在激光聚焦成的點(diǎn)光源S前放置毛玻璃，如圖5所示. 點(diǎn)光源發(fā)出的光束經(jīng)毛玻璃直接入射到干涉儀，粗糙毛玻璃上的每個(gè)顆粒散射出具有隨機(jī)相位的子波，被照明區(qū)域的散射光形成具有隨機(jī)相位的擴(kuò)展光源，這時(shí)觀察屏上有光照但沒有任何干涉圖樣. 拿走觀察屏后，眼睛逆著光照的方向看過去，可觀察到同心圓環(huán)狀的干涉圖樣，并且毛玻璃離點(diǎn)光源S越遠(yuǎn)，即距離干涉儀越近，擴(kuò)展光源的面積越大，干涉圖樣越清晰. 當(dāng)反射鏡M1和M2垂直時(shí)，眼睛左右、上下小幅度移動(dòng)著觀察，圓環(huán)圖樣不發(fā)生吞吐現(xiàn)象，即為通常所說的等傾干涉. 放置會(huì)聚透鏡于觀察屏位置，可在透鏡后焦面上接收到同心圓環(huán)圖樣. 因此，等傾干涉圖樣定域在M1之后的無窮遠(yuǎn)處. 微調(diào)反射鏡M2，使其相對(duì)于反射鏡M1的夾角偏離90°，連續(xù)移動(dòng)M1，在此過程中可觀察到干涉圖樣由圓環(huán)條紋變成彎曲條紋再變成直條紋. 用會(huì)聚透鏡對(duì)觀察到的直條紋成像，由物像關(guān)系可以確定直條紋定域在反射鏡M1處. 進(jìn)一步分析可知，直條紋是反射鏡M1和M2的虛像交匯所成對(duì)稱劈尖的等厚干涉條紋. 等傾干涉和等厚干涉均是擴(kuò)展光源照明的結(jié)果，由于光源擴(kuò)展，導(dǎo)致形成干涉圖樣的條件更為苛刻，即干涉圖樣只能出現(xiàn)在特定的區(qū)域，故將引起該現(xiàn)象的干涉稱之為定域干涉.

圖5 觀察擴(kuò)展光源干涉圖樣的光路示意圖

普通光源如白熾燈、鈉燈、汞燈等都是擴(kuò)展光源，用其發(fā)出的光直接入射干涉儀也可以實(shí)現(xiàn)等傾和等厚的定域干涉. 加上毛玻璃散射，光源的擴(kuò)展性會(huì)增強(qiáng)，干涉圖樣的亮度會(huì)變得均勻且對(duì)比度也會(huì)提高. 在圖5所示的干涉光路中，如果用汞燈、鈉燈取代激光并經(jīng)濾光片濾光，以準(zhǔn)單色光照射毛玻璃，也可通過干涉儀實(shí)現(xiàn)等傾干涉和等厚干涉. 如果用白光照射，可以看到白光等厚干涉的彩色直條紋，而白光的等傾干涉常因反射鏡面的微弱起伏呈現(xiàn)彎曲的干涉圖樣. 由于普通光源不像激光那樣容易聚焦成點(diǎn)光源，其干涉測(cè)量多用于擴(kuò)展照明的等傾和等厚干涉.

思考與練習(xí)3：

1)對(duì)比圖3和圖5所示的激光干涉等效光路，圖3是點(diǎn)光源照明的非定域干涉，圖5是擴(kuò)展光源照明的定域干涉，光路上的差別僅僅在于圖5所示光路多了1塊具有散射光作用的毛玻璃. 保持反射鏡M1與反射鏡M2垂直，觀察2種干涉的圓環(huán)圖樣隨光程差改變有無差異，并解釋其中的物理機(jī)制. 微調(diào)反射鏡M2，使其相對(duì)于反射鏡M1的夾角偏離90°時(shí)，觀察2種干涉圖樣隨光程差改變的情況，并解釋其原因.

2)白光如白熾燈，由連續(xù)寬譜的光頻成分構(gòu)成波包，波包的空間長(zhǎng)度(即相干長(zhǎng)度)很短，僅為1～2 μm,因此白光的干涉條紋只會(huì)出現(xiàn)在光程差為μm量級(jí)的干涉圖樣里. 由于光程差非常短，因此白光干涉常被用于確定干涉儀零光程差時(shí)反射鏡M1的位置. 請(qǐng)嘗試調(diào)出白光的等厚和等傾干涉條紋，確定從2個(gè)相反方向移動(dòng)反射鏡M1達(dá)到零光程差的位置讀數(shù).

3)按圖6所示光路，先用白光定域干涉方法調(diào)整干涉儀的兩臂，使其等光程，且2個(gè)反射鏡面垂直，然后在反射鏡M1前平行放置厚度為d的平面玻璃板，并改用氦氖激光照明，觀察玻璃板后出現(xiàn)的干涉圖樣，以及移動(dòng)M1時(shí)干涉圖樣的變化，給出測(cè)量玻璃板介質(zhì)對(duì)氦氖激光波長(zhǎng)(633 nm)折射率的實(shí)驗(yàn)方法，并嘗試用此方法測(cè)量玻璃板對(duì)鈉光燈、低壓汞燈中各譜線的折射率.

圖6 測(cè)量平板玻璃折射率的光路示意圖

2 邁克耳孫干涉儀的發(fā)明及在引力波測(cè)量上的應(yīng)用

從100多年前的邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)到現(xiàn)今的引力波探測(cè)，邁克耳孫干涉儀的實(shí)驗(yàn)成就支撐著狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論的科學(xué)發(fā)現(xiàn). 從應(yīng)用的角度來看，其基本原理如圖1所示，即用單色準(zhǔn)直光波入射邁克耳孫干涉儀，測(cè)量干涉場(chǎng)光強(qiáng)微弱變化對(duì)應(yīng)的微小長(zhǎng)度.

2.1 邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)

19世紀(jì)末的物理學(xué)家普遍接受光的電磁波動(dòng)學(xué)說，但卻認(rèn)為光波應(yīng)像機(jī)械波那樣在介質(zhì)中傳播，猜測(cè)這種介質(zhì)看不見摸不著但應(yīng)靜止地充滿整個(gè)空間，并把該介質(zhì)稱為“以太”(Ether). 設(shè)想光波在靜止的以太參照系中以速度c傳播,那么按照經(jīng)典力學(xué)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，在運(yùn)動(dòng)的地球表面坐標(biāo)系上，實(shí)際觀測(cè)到的應(yīng)是光波的相對(duì)速度c′，且該速度應(yīng)與光波在地表的傳播方向有關(guān). 邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)[2]的初衷是測(cè)量光波在以太介質(zhì)中的絕對(duì)速度，所用的實(shí)驗(yàn)裝置為邁克耳孫干涉儀，如圖7(a)所示：各種光學(xué)元件安裝在1塊浮在水銀上且可平穩(wěn)轉(zhuǎn)動(dòng)的沉重石板上. 調(diào)整好的光路如圖7(b)所示：光源a(鈉光燈)發(fā)出的光波被分束鏡b分成正交出射的透射光束和反射光束，透射光束經(jīng)補(bǔ)償鏡c和反射鏡d到達(dá)反射鏡e，然后原路返回到分束鏡；反射光束經(jīng)反射鏡d1到達(dá)反射鏡e1，然后原路返回到分束鏡，返回的2束光在分束鏡處合成1束光進(jìn)入望遠(yuǎn)鏡f. 如果按反射成像原理將鏡子的反射光路展開，得到的結(jié)果與圖1描述的光路完全一致，多個(gè)反射鏡的作用僅在于分別加大干涉儀兩臂的長(zhǎng)度.

(a)實(shí)驗(yàn)裝置

(5)

2.2 LIGO的邁克耳孫干涉儀

1916年，即廣義相對(duì)論場(chǎng)方程形成的第2年，愛因斯坦預(yù)言了引力波的存在，他發(fā)現(xiàn)線性化的弱場(chǎng)方程具有波動(dòng)解：由震源質(zhì)量四極矩的時(shí)間變化產(chǎn)生以光速傳播的空間應(yīng)變橫波，即引力波，只是引力波的振幅會(huì)非常小. 同年，施瓦茲希爾德(Schwarzschild)發(fā)表了場(chǎng)方程的黑洞解. 1963年，科爾(Kerr)將黑洞解推廣到旋轉(zhuǎn)黑洞. 此后的理論研究形成了二元黑洞合并的模型和引力波的精確預(yù)測(cè).

探測(cè)引力波的實(shí)驗(yàn)始于20世紀(jì)60年代的共振質(zhì)量探測(cè)器. 干涉型探測(cè)器最早是在20世紀(jì)60年代初到70年代被提出，進(jìn)入21世紀(jì)后，建造的各種干涉型探測(cè)器形成了全球網(wǎng)絡(luò). 2015年，LIGO成為首臺(tái)開始觀測(cè)的干涉型探測(cè)器，并首次直接觀測(cè)到瞬態(tài)引力波信號(hào)，該信號(hào)在35～250 Hz的頻率范圍內(nèi)向上掃描，峰值引力波應(yīng)變?yōu)?.0×10-21，其與廣義相對(duì)論預(yù)測(cè)的1對(duì)黑洞的激發(fā)、合并以及由此產(chǎn)生單個(gè)黑洞的衰減振蕩波形相匹配，證實(shí)了高擾動(dòng)黑洞非線性動(dòng)力學(xué)的廣義相對(duì)論.

由胡克定律的相關(guān)實(shí)驗(yàn)可知，材料的應(yīng)變定義為ε=δL/L，是一維情況下長(zhǎng)度L的相對(duì)改變量.同理，引力波應(yīng)變是時(shí)空漣漪引起空間幾何上的相對(duì)改變.在引力波經(jīng)過干涉儀的過程中，空間在某方向上收縮伴隨與其垂直方向上延伸，反之亦然.由ε=1.0×10-21可知，要想如同邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)預(yù)期測(cè)得0.4個(gè)條紋的變化，用邁克耳孫干涉儀測(cè)量引力波的臂長(zhǎng)需長(zhǎng)達(dá)109km，該長(zhǎng)度超過了地球到太陽的距離(1.5×108km)，顯然無法做到.

圖8是LIGO的邁克耳孫干涉儀的示意圖，從其直觀構(gòu)造來看，值得引人關(guān)注的是：

1)正交的兩臂各包含1個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)=4 km的法布里-珀羅腔，二者在引力波中的腔長(zhǎng)分別為L(zhǎng)x和Ly. 準(zhǔn)直入射的Nd∶YAG激光(波長(zhǎng)為1 064 nm)在腔中經(jīng)過b=300次反射后，形成的光程差為z=2b(Lx-Ly).

2)輸入端的功率回收鏡在整個(gè)干涉儀中提供了額外的激光共振增強(qiáng)，使得20 W的激光輸入增加到700 W，再入射到分束器.

圖8 LIGO邁克耳孫干涉儀實(shí)驗(yàn)裝置示意圖[3]

(6)

(7)

(8)

令式(7)和式(8)相等，可以得到可測(cè)的最小空間應(yīng)變?yōu)?/p>

(9)

(10)

3 基于邁克耳孫干涉儀的傅里葉變換光譜檢測(cè)

與廣泛應(yīng)用于可見光波段光譜檢測(cè)的光柵光譜儀相比，傅里葉變換光譜儀廣泛應(yīng)用于紅外，特別是中遠(yuǎn)紅外波段光譜的檢測(cè)，這是因?yàn)樵谥羞h(yuǎn)紅外波段，傅里葉變換光譜儀的光譜分辨率更高，光譜探測(cè)范圍更大，并且技術(shù)上也更容易實(shí)現(xiàn)[2]. 在可見光波段，采用大面積全息光柵分光和大規(guī)模陣列光電探測(cè)器攝譜，使得光柵光譜儀因其快捷高效和高分辨而被廣泛應(yīng)用. 也正是因?yàn)樯婕暗母呖萍荚兀鈻殴庾V儀具有技術(shù)復(fù)雜性和高成本的特點(diǎn). 相比之下，傅里葉變換光譜儀的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，在原理上就是帶有計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)采集和處理的邁克耳孫干涉儀[5]. 將傅里葉變換光譜儀在中遠(yuǎn)紅外波段的優(yōu)勢(shì)引入到可見光波段，是值得關(guān)注的課題.

3.1 基本原理

如圖9所示的邁克耳孫干涉儀光路，準(zhǔn)直光波入射，出射干涉光波經(jīng)會(huì)聚透鏡聚焦在光電探測(cè)器上，探測(cè)器接收到的光強(qiáng)存入電腦并在其屏幕上顯示.

圖9 傅里葉變換光譜測(cè)量的原理光路

入射的準(zhǔn)直光波是所含各種頻率平面光波的線性疊加，其電場(chǎng)可以表示為

(11)

(12)

(13)

因此得到

(14)

(15)

由式(14)可知，Re [γ(z)]是以歸一化光譜強(qiáng)度為權(quán)重的所有余弦函數(shù)的線性疊加.由于僅在z=0處，不同周期的余弦函數(shù)才會(huì)同相位疊加，因此Re [γ(z)]僅在z=0附近區(qū)域不為零.基于光波自相關(guān)函數(shù)的定義，該不為零區(qū)域有效寬度的一半為光波波包的長(zhǎng)度，即相干長(zhǎng)度.

(16)

式(16)表明，可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量I(z)得到波包長(zhǎng)度，亦即光波的相干長(zhǎng)度.對(duì)式(14)和式(16)分別做傅里葉變換，得到

(17)

思考與練習(xí)4：

1)考慮氦氖激光(λ0=633 nm)準(zhǔn)直入射邁克耳孫干涉儀，設(shè)定|A(k)|2=δ(k-k0),求Re [γ(z)].

2)考慮低壓汞燈黃光(雙線：λ1=576.96 nm，λ2=579.07 nm)準(zhǔn)直入射邁克耳孫干涉儀，設(shè)定|A(k)|2=δ(k-k1)+δ(k-k2)，求Re [γ(z)],并作圖說明其特征.

3.2 實(shí)驗(yàn)技術(shù)

圖10 傅里葉變換光譜測(cè)量的應(yīng)用光路

在教學(xué)型邁克耳孫干涉儀上進(jìn)行上述測(cè)量的優(yōu)化方法所對(duì)應(yīng)的光路示意圖如圖10所示，構(gòu)造入射光模塊和接收光模塊，與干涉儀組合，搭建成傅里葉變換光譜系統(tǒng). 激光和待測(cè)光波聚焦到各自的入射孔，2個(gè)探測(cè)器經(jīng)A/D模數(shù)轉(zhuǎn)換電路接到計(jì)算機(jī). 用電機(jī)驅(qū)動(dòng)或者用手轉(zhuǎn)動(dòng)干涉儀上的轉(zhuǎn)輪，通過計(jì)算機(jī)記錄Ic(z)和I(z)的序列數(shù)據(jù).最后，利用Ic(z)的測(cè)量數(shù)據(jù)反推光程差z，即可完成實(shí)驗(yàn)的測(cè)量部分.

思考練習(xí)5：

1)寫出利用Ic(z)的測(cè)量數(shù)據(jù)反推Ic(z)和I(z)共同對(duì)應(yīng)光程差z的具體算法.能否在數(shù)據(jù)采集過程中實(shí)時(shí)完成該算法？

2)在采集數(shù)據(jù)的過程中保持反射鏡M1的單方向平移很重要，想想這是為什么？

3)嘗試按圖10所示的光路搭建實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，測(cè)量白光、低壓汞燈、高壓汞燈的干涉光強(qiáng)數(shù)據(jù)，并確定每個(gè)干涉光強(qiáng)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的光程差.

3.3 計(jì)算方法

式(17)定義的傅里葉變換需要轉(zhuǎn)換成離散求和的形式來進(jìn)行，這里涉及到2個(gè)基本問題：a.如何用有限數(shù)量的離散函數(shù)值表征無限個(gè)連續(xù)函數(shù)值所包含的信息；b.如何高效計(jì)算大量數(shù)據(jù)求和的離散傅里葉變換. 前者要滿足抽樣定理的要求，后者要靠快速傅里葉變換[6]來完成. 為了方便且不失一般性，考慮如下形式傅里葉變換的離散化問題

(18)

(19)

(a)原函數(shù)f(x)圖像

(a)

(20)

(21)

其中m，n=0, 1, …,N-1. 式(20)～(21)即為離散傅里葉變換的求和形式. 由于用于傅里葉變換的數(shù)據(jù)量通常很大，直接求和的計(jì)算效率太低，因此一般采用快速傅里葉變換，即FFT. 在數(shù)據(jù)處理的編程過程中，只需掌握調(diào)用FFT函數(shù)的方法即可，不必了解其具體的算法.

思考與練習(xí)6：

1)考慮高壓汞燈黃光雙線(雙線：λ1=576.96 nm，λ2=579.07 nm)的傅里葉變換光譜測(cè)量，確定光強(qiáng)測(cè)量數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)光程差的最小值和采樣間隔的最大值.

3)光強(qiáng)測(cè)量數(shù)據(jù)的白噪聲會(huì)如何影響光譜測(cè)量的最小分辨？周期性的相位和振幅噪聲會(huì)給光譜測(cè)量帶來什么影響？

4 基于邁克耳孫干涉儀的光學(xué)相干層析成像

寬譜光源發(fā)出光波的相干長(zhǎng)度很小，例如白光的相干長(zhǎng)度只有幾μm，這類光源稱為低相干光源，其光波的干涉稱為低相干干涉. 利用邁克耳孫干涉儀實(shí)現(xiàn)低相干干涉，只能在很小的光程差范圍內(nèi)看到干涉圖樣. 如圖13所示，將邁克耳孫干涉儀的反射鏡M2換成待測(cè)樣品M2′，則來自樣品不同深度層面的反射光波分別與來自反射鏡M1的光波干涉，得到樣品不同深度層面的干涉信號(hào). 基于該思想，原位實(shí)時(shí)探測(cè)生命活體組織結(jié)構(gòu)技術(shù)即光學(xué)相干層析(OCT)斷面成像技術(shù)于上世紀(jì)八九十年代得到了較大發(fā)展[7]. 結(jié)合光纖、電子及計(jì)算機(jī)等高新技術(shù)，OCT已成為用于眼科檢查和內(nèi)窺鏡原位活檢的高端儀器. 作為教學(xué)實(shí)驗(yàn)，近年來出現(xiàn)了一些初步的探索性工作[8-10]，但在層析成像的水平上還有諸多工作要做. 本文圍繞自由空間的邁克耳孫干涉儀，論述OCT層析成像的物理機(jī)制和基本實(shí)驗(yàn)方法，引導(dǎo)學(xué)生探究層析成像的理論與技術(shù)問題.

圖13 自由空間光學(xué)相干層析原理光路

4.1 時(shí)域光學(xué)相干層析

時(shí)域光學(xué)相干層析是指在圖13所示光路中，通過移動(dòng)反射鏡M1使其反射光波與樣品M2′不同深度界面反射的物光發(fā)生低相干干涉，通過測(cè)量在探測(cè)器上的干涉光強(qiáng)隨光程差改變的序列信號(hào)來解析樣品各個(gè)層面的位置及其振幅反射率.

(22)

(23)

其中

(24)

(25)

(26)

思考與練習(xí)7：

3)如由題1)所述的低相干光波入射，以Re [γ(z)]的半高全寬為最小分辨尺寸，試?yán)檬?26)討論可以分辨的待測(cè)物層間距.

4.2 頻域光學(xué)相干層析

在圖13所示的光路中，頻域光學(xué)相干層析與時(shí)域光學(xué)相干層析不同的是反射鏡M1保持在確定的位置不動(dòng)，用光譜儀取代光探測(cè)器來接收干涉的光強(qiáng)信號(hào).

如圖14所示，把式(23)表示的準(zhǔn)直光波聚焦到光柵光譜儀的入射狹縫，經(jīng)譜儀內(nèi)部的凹面反射鏡再換成準(zhǔn)直光波，并且以入射面與光柵柵線垂直的方式斜入射到光柵上.光柵以反射的方式將入射的準(zhǔn)直光波按波長(zhǎng)衍射成不同方向的單色準(zhǔn)直光波，隨后的另一凹面反射鏡將不同方向的單色準(zhǔn)直光波聚焦到譜儀的譜面上，并用放置在譜面上的探測(cè)器接收光譜的光強(qiáng).

圖14 光柵光譜儀的光學(xué)傅里葉變換原理光路

根據(jù)夫瑯禾費(fèi)衍射，譜面上的光場(chǎng)可表示為光柵表面反射光場(chǎng)的光學(xué)傅里葉變換.取光柵平面的法線為Z軸,光柵柵線方向?yàn)閅軸，則垂直于光柵柵線方向?yàn)閄軸，XZ平面為準(zhǔn)直光波的入射面.以θ角入射的準(zhǔn)直光波在光柵面(x,y)光場(chǎng)的每個(gè)波矢k分量均增加相位因子eikxsin θ.因此，由式(23)得到投射在光柵上的光場(chǎng)為

(27)

(28)

其中，f為聚焦凹面鏡的焦距.設(shè)光柵的矩形衍射區(qū)域的長(zhǎng)和寬分別為2Lx和2Ly，在照明區(qū)域H(x,y)=1，其他區(qū)域?yàn)榱?光柵的振幅反射率是關(guān)于x的周期性函數(shù)，展成傅里葉級(jí)數(shù)為

其中k0=1/d，d為光柵常量.這樣可以得到

(29)

其中利用了sincx≈δ(x).由于通常的光柵光譜儀只采集1級(jí)光譜，因此譜面上的光強(qiáng)為

(30)

(31)

(32)

思考與練習(xí)8：

2)如果待測(cè)物是思考與練習(xí)7題2)中的玻璃片，試給出式(32)所示的待測(cè)物信息分布.如果是若干個(gè)這樣的玻璃片疊在一起，分析式(32)所示的待測(cè)物信息分布.

4.3 光學(xué)相干層析的實(shí)驗(yàn)方法

由于實(shí)際待測(cè)樣品的復(fù)雜性，層狀反射的分析僅在樣品縱深方向周圍微小區(qū)域近似成立，因此，實(shí)際的光學(xué)相干層析測(cè)量需要使用顯微物鏡將準(zhǔn)直光聚焦到樣品表面. 然而，聚焦的結(jié)果導(dǎo)致層狀反射的分析局限在物鏡景深的范圍內(nèi)，并且聚焦點(diǎn)越小，景深范圍也越小. 為了兼顧較大的層析深度，OCT一般采用數(shù)值孔徑較小的物鏡. 當(dāng)物鏡將光波聚焦到樣品上一點(diǎn)時(shí)，可以通過時(shí)域或頻域OCT的數(shù)據(jù)采集，得到該點(diǎn)在縱深方向上成像的樣品信息，即“A-掃描”. 要獲得樣品的三維成像信息，還需要進(jìn)行“B-掃描”，即在橫向的二維區(qū)域逐點(diǎn)進(jìn)行A-掃描. 時(shí)域OCT的A-掃描是通過移動(dòng)反射鏡M1來實(shí)現(xiàn)的，而頻域OCT只需要將反射鏡M1設(shè)置在固定的位置，僅做B-掃描即可，A-掃描的信息從光譜儀采集的光譜數(shù)據(jù)中提取. 這樣，頻域OCT比時(shí)域OCT的效率更高，應(yīng)用也更為廣泛.

圖15所示為基于教學(xué)型邁克耳孫干涉儀的OCT實(shí)驗(yàn)原理光路. 值得注意的是，物鏡對(duì)平行光束的聚焦實(shí)際上是將平行光變換為以聚焦點(diǎn)為束腰的高斯光束，束腰的尺寸對(duì)應(yīng)于聚焦點(diǎn)的大小，能夠決定OCT成像的橫向分辨. 按照高斯光束的理論，束腰截面上各點(diǎn)的波矢平行，離開束腰截面朝兩邊各移動(dòng)zR=πω02/λ的距離,其間的波矢與束腰上的波矢近似平行，因此OCT探測(cè)的成像深度為2zR. 顯然，數(shù)值孔徑大的物鏡引起束腰小的高斯光束，導(dǎo)致淺的成像深度，而選擇短的照明光波可以擴(kuò)大層析深度.

由式(26)和式(32)已經(jīng)知道，OCT在深度方向上的最小分辨尺度僅取決于光源的自相關(guān)函數(shù)γ(z)的半高全寬(FWHM)，亦即取決于光源的譜強(qiáng)度分布函數(shù)|A(k)|2.選用寬譜的低相干光源，使得γ(z)的半高全寬遠(yuǎn)小于成像深度，是發(fā)展OCT成像技術(shù)的基本方面.

圖15 自由空間光學(xué)相干層析的測(cè)量原理光路

思考與練習(xí)9：

1)利用圖15所示的光路，嘗試分別用時(shí)域和頻域的光學(xué)干涉層析成像方法，實(shí)現(xiàn)思考與練習(xí)8中題2)所述問題的實(shí)驗(yàn)測(cè)量.

5 教學(xué)要求

5.1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

利用實(shí)驗(yàn)室配備的實(shí)驗(yàn)裝置：教學(xué)型邁克耳孫干涉儀、光源、光探測(cè)器、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、光譜儀、光學(xué)鏡片、層狀樣品等，選做下面2個(gè)內(nèi)容中的1個(gè)：

1)搭建傅里葉變換光譜采集系統(tǒng)，完成對(duì)鹵素?zé)簟⒏邏汗療艏暗蛪汗療舻淖韵嚓P(guān)函數(shù)檢測(cè)，并通過快速傅里葉變換完成各光源發(fā)光譜的計(jì)算.

2)搭建光學(xué)相干層析實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，用蓋玻片制備層狀樣品，用鹵素?zé)魹榈拖喔晒庠矗瓿蓪?duì)自制層狀樣品斷面的時(shí)域和頻域OCT檢測(cè)，并進(jìn)一步探討OCT斷面成像的理論與技術(shù)問題.

5.2 面談?dòng)懻?/h3>

關(guān)于搭建傅里葉變換光譜檢測(cè)裝置的問題：

1)實(shí)驗(yàn)者分別展示測(cè)得激光與鹵素?zé)魷?zhǔn)直光，以及激光與高壓汞燈準(zhǔn)直光經(jīng)過干涉儀出射的2對(duì)并行干涉光強(qiáng)曲線，討論實(shí)驗(yàn)中可能存在的問題.

2)實(shí)驗(yàn)者展示對(duì)測(cè)得光強(qiáng)數(shù)據(jù)做離散傅里葉變換的結(jié)果，分析反射鏡M1的非勻速移動(dòng)對(duì)光譜測(cè)量的影響，討論利用激光的干涉光強(qiáng)特征，校準(zhǔn)反射鏡M1非線性移動(dòng)的數(shù)據(jù)處理方法.

3)實(shí)驗(yàn)者展示用氦氖激光的干涉光強(qiáng)對(duì)反射鏡移動(dòng)做線性化校準(zhǔn)后，鹵素?zé)艉透邏汗療舻母缮婀鈴?qiáng)數(shù)據(jù)和離散傅里葉變換后的結(jié)果，討論自組傅里葉變換光譜儀的光譜分辨能力、影響因素及改進(jìn)措施.

關(guān)于搭建光學(xué)干涉層析成像裝置的問題：

1)實(shí)驗(yàn)者展示測(cè)得激光與鹵素?zé)艄饨?jīng)過干涉儀出射的并行干涉光強(qiáng)曲線、鹵素?zé)舻淖韵嚓P(guān)函數(shù)曲線和用光譜儀測(cè)得鹵素?zé)舻墓庾V分布，討論實(shí)驗(yàn)中可能存在的問題.

2)實(shí)驗(yàn)者展示測(cè)得自制層狀樣品的單點(diǎn)時(shí)域和頻域OCT干涉曲線(A-掃描)，分析樣品各層的位置及振幅反射率，討論干涉信號(hào)的強(qiáng)度和信噪比問題.

3)實(shí)驗(yàn)者展示測(cè)得自制層狀樣品在1條線上多個(gè)單點(diǎn)的時(shí)域和頻域OCT干涉曲線和綜合各點(diǎn)信息構(gòu)建的斷面像，討論在A-掃描基礎(chǔ)上進(jìn)行B-掃描的技術(shù)問題及斷面像構(gòu)建的算法問題.

5.3 口頭報(bào)告和論文報(bào)告

關(guān)于口頭報(bào)告和論文報(bào)告，建議在以下方面做深入或擴(kuò)展研究：

1)依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，探討光譜測(cè)量精度、光譜分辨能力及信噪比等問題.

2)直接在自組傅里葉變換光譜儀的光路上加吸收樣品，研究樣品的吸收問題.

3)自制層狀樣品，探討OCT測(cè)量和斷面成像的理論與技術(shù)問題.

6 結(jié)束語

邁克耳孫干涉儀是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)或普通物理實(shí)驗(yàn)課程普遍開設(shè)的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，其實(shí)驗(yàn)?zāi)康臑橐龑?dǎo)學(xué)生在掌握儀器調(diào)節(jié)的基礎(chǔ)上，觀察和探究各種光的干涉現(xiàn)象，學(xué)習(xí)和體驗(yàn)干涉計(jì)量的技術(shù)和方法. 在此基礎(chǔ)上，開設(shè)“邁克耳孫干涉儀與光學(xué)自相關(guān)測(cè)量”的綜合實(shí)驗(yàn)，將邁克耳孫干涉儀的原理深化到光學(xué)自相關(guān)測(cè)量，以此引導(dǎo)學(xué)生探究邁克耳孫干涉儀的原理在前沿科技的應(yīng)用，在更高的層次和更廣的領(lǐng)域?qū)⒒A(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)同前沿科技相聯(lián)系，開展科研模式的專題研究. 長(zhǎng)期以來，我校堅(jiān)持以科研引領(lǐng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理念，推動(dòng)物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)改革和團(tuán)隊(duì)建設(shè)，探索研究型物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的課程模式，形成了“基礎(chǔ)”與“創(chuàng)新”協(xié)同發(fā)展的基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)課程體系[12-13]. 其中“綜合物理實(shí)驗(yàn)”課程開設(shè)了一系列專題性的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，激勵(lì)學(xué)生以科研模式開展自主、開放、綜合的實(shí)驗(yàn)研究. “邁克耳孫干涉儀與光學(xué)自相關(guān)測(cè)量”是該系列專題研究項(xiàng)目之一. 本文梳理了基于邁克耳孫干涉儀原理的若干重要的光學(xué)自相關(guān)測(cè)量問題，僅作為展開綜合實(shí)驗(yàn)的背景材料，供學(xué)生參考.