利用軌跡追蹤技術測量重力加速度

洪玲兒,楊澤斌，鄭建銀,彭 力,2

(1.華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006；2.華南師大(清遠)科技創新研究院有限公司，廣東 清遠 511517)

目前測量重力加速度的方法有自由落體法、原子干涉法、單擺法以及圓錐擺法等. 自由落體法[1]操作簡單，但其運動軌跡容易受環境影響而偏離豎直方向；原子干涉法[2]測量結果較為精確，但對實驗的要求較高；單擺法[3-5]在測量過程中容易形成圓錐擺，且對擺角有一定要求；圓錐擺法[6]利用圓錐擺測量重力加速度，但運動周期利用人眼觀察結合秒表計時會造成一定的實驗誤差；文獻[7]利用光電門來減小確定周期的誤差，但該實驗需手動調節帶千分頭的探頭來確定小球高度導致操作較為復雜，且只定性觀察小球的運動來判斷小球是否做勻速圓周運動缺乏嚴謹性.

由此，本實驗利用直流電機驅動小球運動，采用高速攝像頭結合軌跡追蹤技術對小球進行實時追蹤，通過圖像分析得出小球在不同驅動電壓下的相對運動軌跡與勻速圓周運動的符合程度，并得到驅動電壓為2.4 V時，小球能夠做較為嚴格的勻速圓周運動. 在獲得運動圖像的基礎上，由虛擬儀器測量技術進行分析，得出小球運動圖像的周期以及圓錐擺擺角的余弦值，從而計算出重力加速度. 經多次測量得到的廣州地區重力加速度為9.812 m/s2，相對偏差在0.5%以內. 表明該實驗裝置具有實時監測功能，操作簡單、測量準確以及測量效率高等特點.

1 基本原理

將小球與細繩相連，若忽略空氣阻力，在直流電機的驅動下，由小球所受細繩拉力與重力的合力提供向心力，使小球在水平面上做勻速圓周運動. 建立如圖1所示直角坐標系：

圖1 實驗原理圖

通過對小球受力分析可得：

(1)

其中，T為細繩給小球提供的拉力，m為小球的質量，g為重力加速度，θ為圓錐擺擺角，ω和r分別是小球做圓周運動的角速度和半徑.聯立該方程組得：

(2)

由幾何關系可知：

r=Lsinθ,

(3)

其中

(4)

l為細繩長度，d為小球直徑.若小球做勻速圓周運動的周期為T，則有

(5)

由式(2)～(5)可得：

(6)

因此，利用圓錐擺測量重力加速度的關鍵是要讓小球做勻速圓周運動.圖2為小球做勻速圓周運動的示意圖，滿足：

(7)

因此，當小球的x-t和y-t曲線分別為余弦曲線和正弦曲線，且振幅和角速度相等時，即可說明該小球做勻速圓周運動.在這一前提下，通過測量細繩長度l、小球直徑d、擺角θ以及小球做勻速圓周運動的周期T，根據式(6)即可計算出重力加速度g.

圖2 小球做勻速圓周運動示意圖

2 實驗裝置

圖3為實驗的整體裝置圖，主要由驅動裝置和測量裝置構成.驅動裝置由學生電源、直流電機、傳送帶和轉軸組成.利用學生電源給直流電機提供恒定電壓，可使直流電機穩定轉動.為降低電機轉速，利用傳送帶帶動轉軸轉動從而驅動小球在xOy面(圖1)上做勻速圓周運動.另外，本實驗是由圖3中△ABC的幾何關系來計算得到圓錐擺擺角的余弦值cosθ，為更好地拍攝出A點的位置，可在A點處貼上標志物.

圖3 整體實驗裝置圖

測量裝置由高速攝像頭和計算機組成，其中計算機包含自主設計的測量程序，圖4為測量程序的基本流程圖，流程圖具體內容如下：

1)獲取圖像

利用高速攝像頭實時采集小球的圖像并傳輸給計算機.

2)圖像預處理

調節圖像的灰度與亮度，減少攝像機抖動、環境光強變化等因素對攝像頭捕捉小球運動軌跡的影響.

3)軌跡追蹤

在預處理后的圖像上選擇小球為追蹤目標，用MS算法依次迭代定位追蹤，得出小球運動軌跡以及小球在y軸方向、z軸方向的相對位移隨時間t變化的圖像.

4)測量重力加速度

將所得軌跡與定點A的坐標進行分析處理得出圓錐擺擺角的余弦值cosθ；在y-t曲線上選擇n個周期取平均，即可得出小球的運動周期T，再利用式(6)即可得出重力加速度g.

圖4 測量程序基本流程

通過軌跡追蹤程序可以直觀清晰地顯示出小球的運動軌跡，方便調節驅動電壓來控制小球做勻速圓周運動.利用圖 3中A點、小球軌跡上B點與C點來測量擺角余弦值cosθ，并且分析小球的y-t的圖像得出小球的運動周期T，從而代替人工計時來減少測量誤差.總體上，該裝置結構簡單，具有準確性高與穩定性好等優點.

3 實驗結果

本實驗中小球直徑d=1.538 cm，繩子的長度l=23.06 cm.

3.1 確定驅動電壓

為了確保小球在運動的過程中沒有滯后現象、減弱空氣阻力的影響，需要通過調節驅動電壓讓轉軸有合適的轉速來驅動小球做平穩的勻速圓周運動.讓攝像頭處于xOy面的正下方來捕捉小球的相對運動軌跡.

將所測得的相對運動軌跡y-x曲線、x-t曲線以及y-t曲線分別通過圓函數、余弦函數以及正弦函數進行擬合. 擬合結果展示：當驅動電壓為2.1～2.7 V時小球可以做平穩的勻速圓周運動，其中2.4 V最為合適. 表 1為驅動電壓為2.1～2.7 V時小球相對運動軌跡擬合數據.

表1 小球相對運動軌跡擬合數據

圖5所示是驅動電壓為2.4 V時小球在xOy面上的相對運動軌跡.圖6、圖7分別為小球在x軸方向上的x-t曲線和y軸方向上的y-t曲線.圖5～7說明在驅動電壓為2.4V時，小球在做較為嚴格的勻速圓周運動.

圖5 小球的y-x曲線

圖6 小球的x-t曲線

圖7 小球的y-t曲線

3.2 測量小球的運動周期

電源電壓調節為2.4 V，驅動小球做勻速圓周運動. 調整攝像頭和xOy面共面，獲取圖8～9所示的小球在z軸方向、y軸方向的相對位移-時間關系圖，其中Δy=153 pixel,Δz=4 pixel,Δy?Δz,因此可以看成攝像頭和xOy面共面.取小球在y軸方向上的關系曲線，在如圖10所示的測量面板上選定4個周期取平均，即可得出小球的運動周期T=0.963 8 s.

圖8 小球在z軸方向相對位移-時間圖

圖9 小球在y軸方向相對位移-時間圖

圖10 y方向測量面板圖

3.3 測量圓錐擺擺角的余弦值

沿豎直方向升高攝像頭直至攝像頭處于圓錐擺正前方，獲取小球軌跡圖及定點A的坐標，如圖 11所示，利用程序計算出cosθ=0.969 4.

圖11 余弦值測量面板(正前方拍攝)

為了探究測量擺角余弦值cosθ時，攝像頭處于不同位置所帶來的誤差，實驗測量出當攝像頭和xOy面共面時定點A的坐標和小球的運動軌跡.得到的A,B,C三點如圖 12所示，計算出cosθ′=0.969 8，若以cosθ為參考值，算得相對偏差為0.04%.

圖12 余弦值測量面板(xOy平面拍攝)

3.4 測量重力加速度

由3.1的探究結果顯示:當d=1.538 cm，l=23.06 cm，驅動電壓為2.4 V時，小球做較為嚴格的勻速圓周運動.在此條件下，實驗所測廣州的重力加速度如表2～3所示.

表2 重力加速度測量數據

表3 重力加速度測量結果

由表中數據可得出廣州的重力加速度g=(9.812±0.016) m/s2.

4 結束語

本文提出了將軌跡追蹤技術與圓錐擺相結合的方法，控制小球做較為嚴格的勻速圓周運動，從而精確測量出重力加速度. 利用該方法來測量小球運動周期避免了人工計時帶來的較大誤差；攝

像頭測量圓錐擺擺角余弦值的相對誤差也較小. 結果表明在驅動電壓為2.4 V時小球能做較為嚴格的勻速圓周運動，所測得的重力加速度相對偏差在0.5%以內. 本文所提方法具有操作簡單、測量結果精確等特點.