環形駐波超聲波電機定轉子接觸摩擦模型*

蔣春容， 成蘇南， 任香亭， 陸旦宏

(1.南京工程學院 電力工程學院，江蘇 南京 211167；2.國網江蘇省電力有限公司新沂市供電分公司，江蘇 新沂 221400)

0 引 言

超聲波電機以其優良的性能在航空航天、醫療設備等領域獲得了應用[1-3]。接觸摩擦問題一直是超聲波電機性能提升中需要解決的關鍵問題。目前，對行波型超聲波電機接觸摩擦問題的研究最為常見[4-8]。駐波型超聲波電機因其結構設計更為靈活多樣而獲得了越來越多的關注，各種結構的駐波型超聲波電機不斷被提出[9-10]。駐波型超聲波電機接觸摩擦特性與行波型超聲波電機有較大的不同。對駐波超聲波電機接觸摩擦問題的研究，主要以板式彎曲駐波超聲波電機[11-12]和縱彎復合駐波超聲波電機[13-15]為主。實際上，對不同的駐波型超聲波電機，由于驅動足運動軌跡的差異，難以找到一種通用的接觸摩擦模型，而要根據駐波型超聲波電機自身運動的特點，建立描述其定、轉子/動子接觸摩擦特性的模型[16]。對采用徑向振動的環形駐波超聲波電機接觸摩擦問題的研究剛起步，其接觸摩擦傳動機理還有待進一步探索。

在對超聲波電機接觸摩擦問題的研究中，大多采用庫倫摩擦定律建立定轉子接觸摩擦模型。庫倫摩擦定律從最簡單的層面描述了摩擦現象。然而，摩擦是復雜的非線性問題，庫倫摩擦并不能準確描述摩擦界面的諸多特性，導致計算結果往往存在較大誤差[17]。因此，學者們對摩擦問題進行了深入研究，對庫倫摩擦進行了改進，提出了包括庫倫摩擦+黏性摩擦、Stribeck摩擦、Karnopp摩擦等在內的多種摩擦定律或模型[18]。目前，對采用改進后的摩擦定律或模型建立超聲波電機接觸摩擦模型的報道較少。

本文針對采用徑向振動的環形駐波超聲波電機，分析定轉子的接觸摩擦特性，借助庫倫摩擦+黏性摩擦定律，建立定轉子接觸摩擦模型。基于所建立的模型，分析定轉子接觸界面上的摩擦力變化情況，以及不同振幅和結構參數對電機轉矩-轉速特性的影響。最后，測量樣機的轉矩-轉速特性，并將測量值與計算值進行對比，同時也給出基于庫倫摩擦定律所建立模型的計算結果，對比結果驗證了基于庫倫摩擦+黏性摩擦定律所建立模型的準確性。

1 電機結構

環形駐波超聲波電機的結構如圖1所示，電機定子由壓電陶瓷、金屬薄圓環和彈性葉片構成。彈性葉片以一定的傾斜角度沿周向布置在金屬薄圓環外側，并與轉子內側接觸產生一定的彈性彎曲變形。轉子與轉軸通過螺釘固定連接。電機采用定子一階徑向伸縮振動作為工作模態，壓電陶瓷沿軸向極化，給壓電陶瓷通以特定頻率的單相交流電，激發出定子的一階徑向伸縮振動，即徑向駐波振動。彈性葉片根部在金屬薄圓環的帶動下沿徑向往復運動。同時，彈性葉片也起到定轉子間彈性耦合器的作用，將根部的徑向運動傳遞到與轉子接觸的端部，并在接觸過程中將徑向運動轉化為沿轉子切向的往復運動，從而推動轉子旋轉。

圖1 電機結構示意圖

2 定轉子接觸摩擦模型

考慮到接觸摩擦問題的復雜性，為簡化分析，模型采用如下簡化假設：

(1) 電機工作在穩定運行狀態；

(2) 忽略軸承的摩擦損耗；

(3) 忽略葉片加工和安裝過程中引起的葉片工作狀態不對稱，認為各葉片工作狀態均一致。

2.1 定子的振動

定子的工作模態為一階徑向伸縮振動，考慮到結構的對稱性和運動的一致性，在分析定轉子的接觸摩擦特性時，可以取一個彈性葉片為代表進行分析，如圖2所示。彈性葉片安裝到金屬薄圓環外側時與定子徑向保持β的傾斜角，與轉子組裝好后，彈性葉片產生彈性彎曲變形，其形狀為弧線AB，由于彎曲變形量較小，分析時把弧線AB近似用直線AB代替。直線AB與彈性葉片未發生彎曲變形時所在位置的夾角為φ。直線BO與直線BA的夾角為α。定子的振動為微米級，而電機的結構參數為毫米級，因此可以忽略定子振動引起的φ和α夾角的變化，認為這兩個夾角僅由電機的結構參數決定。設彈性葉片AB的長度為l，金屬薄圓環的外半徑OA長度為r1，轉子的內半徑OB長度為r2，則可求得φ和α的大小分別為

(1)

(2)

圖2 定轉子的接觸

定子金屬薄圓環表面A點的徑向振動位移可表示為

wA=Wsin(ωt)

(3)

式中:W為定子徑向振動的振幅；ω為振動的角頻率。

A點沿AB方向的位移分量為

wAB=Wcos(β+φ)sin(ωt)

(4)

A點的振動沿彈性葉片傳遞到端部的B點，因此，圖2中，B點的位移wB=wAB。彈性葉片端部B點沿轉子切向的位移分量為

wBt=Wcos(β+φ)sin(α)sin(ωt)

(5)

將位移對時間求導數，即可得到彈性葉片端部B點的切向速度vs為

vs=vsmcos(ωt)

(6)

式中:vsm為切向速度幅值，vsm=Wωcos(β+φ)·sin(α)。

在電機正常工作時，彈性葉片與轉子始終處于接觸狀態，彈性葉片端部B點與轉子不分離。

2.2 定轉子的接觸摩擦傳動

設轉子內徑處的旋轉線速度為vr，則彈性葉片頂端B點與轉子的相對速度為

vrel=vs-vr

(7)

當vrel>0時，彈性葉片推動轉子旋轉；當vrel<0時，彈性葉片阻礙轉子旋轉。

當彈性葉片推動轉子旋轉時，如圖3所示，彈性葉片頂端B點受到來自轉子的作用力，包括沿轉子法向的壓力Fn1和沿轉子切向的摩擦力Ftdrive，Ftdrive的方向與轉子旋轉方向相反。將Fn1和Ftdrive沿彈性葉片AB法向和切向兩個方向分解可以得到Fq1和Fp1，并有如下關系：

Fq1=Fn1cos(α)+Ftdrivesin(α)

(8)

Fp1=Fn1sin(α)-Ftdrivecos(α)

(9)

圖3 定子推動轉子旋轉時的受力分析

根據庫倫摩擦+黏性摩擦定律[18]，轉子作用在彈性葉片頂端B點的法向壓力Fn1與切向摩擦力Ftdrive之間滿足：

Ftdrive=μdFn1+fvvrel

(10)

式中:μd為動摩擦系數;fv為黏性摩擦系數。

當fv取值為0時，庫倫摩擦+黏性摩擦定律就退化為庫倫摩擦定律。聯合求解式(9)和式(10)可以得到彈性葉片對轉子的推力：

(11)

通過式(11)求Ftdrive，還需要知道Fp1的值。Fp1是彈性葉片推動轉子旋轉過程中維持彈性葉片彎曲變形的作用力。因為定子振動的幅度比電機的結構尺寸要小得多，所以可忽略定子振動引起的彈性葉片彎曲變形量的變化，認為其彎曲變形量保持不變。根據彈性葉片的彎曲變形量可以求得：

(12)

式中:E為彈性葉片的彈性模量;I為彈性葉片的截面慣性矩;Δd為彈性葉片端點的撓度。

Δd可表示為

Δd=lsin(φ)

(13)

由式(12)求得Fp1的值后代入式(11),即可求得彈性葉片推動轉子旋轉的摩擦力。

當彈性葉片阻礙轉子旋轉時，如圖4所示，彈性葉片頂端B點受到來自轉子的作用力，包括沿轉子法向的壓力Fn2和沿轉子切向的摩擦力Ftbrake，Ftbrake的方向與轉子旋轉方向相同。同理，將Fn2和Ftbrake沿彈性葉片AB法向和切向兩個方向分解可以得到Fq2和Fp2，并有如下關系：

Fq2=Fn2cos(α)-Ftbrakesin(α)

(14)

Fp2=Fn2sin(α)+Ftbrakecos(α)

(15)

圖4 定子阻礙轉子旋轉時的受力分析

轉子作用在彈性葉片頂端的法向壓力Fn2與切向摩擦力Ftbrake之間滿足：

Ftbrake=μdFn2-fvvrel

(16)

聯合求解式(15)和式(16)可得：

(17)

式中:Fp2為彈性葉片阻礙轉子旋轉過程中維持彈性葉片彎曲變形的作用力。

忽略定子振動對彈性葉片彎曲變形量的影響，彈性葉片在阻礙轉子旋轉時的彎曲變形量與推動轉子旋轉時的彎曲變形量一致，因此有Fp2=Fp1。

由式(11)和式(17)可分別求得彈性葉片推動和阻礙轉子旋轉的摩擦力大小。電機運行到穩態時，一個周期T內彈性葉片端點的切向速度vs與轉子旋轉線速度vr的相對關系如圖5所示，圖5中，t1和t4是二者速度相等的時刻點，t2和t3是彈性葉片端點切向速度過零的時刻點。根據速度相等可求得t1和t4的值分別為

(18)

(19)

圖5 定轉子的相對速度

在0～t1時間段以及t4～T時間段，彈性葉片端部的速度高于轉子的速度，彈性葉片以Ftdrive的摩擦力推動轉子旋轉。在t1～t4時間段，彈性葉片端部與轉子之間的相對速度小于零，彈性葉片以Ftbrake的摩擦力阻礙轉子旋轉。一個周期內，彈性葉片對轉子的切向摩擦力可表示為

(20)

一個周期內彈性葉片對轉子的平均推力為

(21)

彈性葉片對轉子的推動力矩，也即負載轉矩，可由平均推力計算得到：

TL=Favgnr2

(22)

式中:TL為負載轉矩;n為彈性葉片的數量。

3 計算結果及分析

根據建立的定轉子接觸摩擦模型，對樣機進行計算。樣機參數如表1所示。樣機定子工作模態的共振頻率為73.3 kHz。正常工作時施加正弦交流電壓，其驅動頻率f為74 kHz，當電壓幅值為100 V時，用激光測振儀測得定子的徑向振幅為0.6 μm。黏性摩擦系數fv的值難以直接測得，因此通過測量電機的一組轉矩轉速值，然后利用測得的轉矩轉速值反求出fv的值。具體步驟為，給電機通以頻率為74 kHz、幅值為100 V的正弦交流電，測得電機在堵轉時的轉矩為0.395 N·m，將測得的轉矩值代入式(22)求得平均推動力Favg，再將Favg的值代入式(21)并取vr=0，t1=π/(2ω)，求解得到fv的值為2.0。

表1 樣機參數

根據表1的參數計算一個周期T內電機定轉子接觸界面摩擦力的變化情況。選取了電機堵轉(轉速為0 r/min)、輕載(轉速為30 r/min)、空載(空載轉速為46.8 r/min)三種情況分別計算摩擦力的變化，結果如圖6所示。

當電機堵轉時，定轉子間的摩擦力變化如圖6(a)所示。從0～t1時刻，彈性葉片端部的速度vs高于轉子轉速vr，彈性葉片推動轉子旋轉，在這個過程中，vs逐漸減小到0，相對速度vrel也逐漸減小，彈性葉片對轉子的推動力也逐漸下降。從t1～t4時刻，彈性葉片端部的速度反向，彈性葉片阻礙轉子旋轉，在這個時間段內，相對速度vrel的大小先是增大而后減小，彈性葉片對轉子的阻礙力也隨之先略有增大而后稍有減小。從t4～T時刻，彈性葉片端部的速度再次反向，彈性葉片推動轉子旋轉，相對速度vrel逐漸增大，彈性葉片對轉子的推動力也隨之逐漸增大。在一個周期內，彈性葉片對轉子推動作用和阻礙作用的時間各占一半。根據式(21)和式(22)可求得堵轉力矩為0.395 N·m。

圖6 定轉子接觸界面的摩擦力

當電機輕載時，定轉子間的摩擦力變化如圖6(b)所示。從0～t1時刻，彈性葉片與轉子同方向運動且速度高于轉子，彈性葉片推動轉子旋轉，推動力隨著相對速度減小而降低。從t1～t2時刻，彈性葉片仍與轉子同方向運動但速度低于轉子，彈性葉片阻礙轉子旋轉。從t2～t3時刻，彈性葉片運動方向與轉子相反，彈性葉片阻礙轉子旋轉。從t3～t4時刻，彈性葉片又變為與轉子同方向運動但速度仍低于轉子轉速，彈性葉片仍阻礙轉子旋轉。從t1～t4時間段內，相對速度vrel的大小先是增大而后減小，彈性葉片對轉子的阻礙力也隨之先略有增大而后稍有減小。從t4～T時刻，彈性葉片保持與轉子同方向運動且速度高于轉子，彈性葉片又轉為推動轉子旋轉，推動力隨彈性葉片速度的增加而逐漸上升。可求得轉速為30 r/min時對應的負載轉矩為0.156 N·m。

當電機轉子空載時，定轉子間的摩擦力變化如圖6(c)所示，此時接觸界面摩擦力的變化規律與轉子輕載時相似，只不過彈性葉片對轉子推動作用的時間更短，阻礙作用的時間更長，一個周期內，彈性葉片對轉子的平均推力為零。

定子的徑向振幅對電機的輸出性能有重要影響。可以通過調整驅動電壓的大小以調整定子的徑向振幅，進而調整電機的輸出性能。利用所提出的模型，以表1的參數作為基準，改變徑向振幅大小，分析電機轉矩-轉速特性的變化情況，如圖7所示。轉子的轉速N可由轉子旋轉的線速度vr計算得到：N=60vr/(2πr2)。由圖7可見，隨著定子徑向振幅的下降，電機空載轉速明顯降低，堵轉轉矩也略有減小，電機輸出性能下降。

圖7 不同徑向振幅時電機的轉矩-轉速特性

圖8 彈性葉片對電機轉矩-轉速特性的影響

定子彈性葉片的布置方式和結構尺寸會影響電機的輸出性能。基于所建立的模型，以表1的參數為基準，分別改變彈性葉片的安裝傾斜角β和彈性葉片的長度l，分析電機轉矩-轉速特性的變化，如圖8所示。當彈性葉片的長度l保持5 mm不變，安裝傾斜角β從24°增加到33°時，電機轉矩-轉速特性變化情況如圖8(a)所示。隨著安裝傾斜角變大，電機的堵轉轉矩明顯下降，空載轉速略有降低，輸出性能總體變差。計算結果表明，當彈性葉片的安裝傾斜角超過44°時，彈性葉片不再與轉子接觸，也即無法推動轉子旋轉。因此，彈性葉片的安裝傾斜角不能超過44°。為了提高電機的輸出性能，在保證葉片彈性變形的前提下，應采用較小的安裝傾斜角。再分析彈性葉片長度l變化的影響。保持彈性葉片的安裝傾斜角β為27°不變，改變彈性葉片長度l，電機的轉矩-轉速特性變化如圖8(b)所示。當l從4.4 mm增加到6.0 mm時，電機的空載轉速和堵轉轉矩均是先增大而后逐漸減小，彈性葉片長度l為4.5 mm時電機的性能為最佳。需要注意的是，當彈性葉片長度小于4.3 mm時，彈性葉片不再與轉子接觸，也就起不到推動作用。

4 試驗驗證

為了驗證所提出的模型，測量了電機的轉矩-轉速特性并與理論計算值進行對比，測試平臺如圖9所示。測量時，由信號發生器產生正弦交流信號經過功率放大器放大后，提供給電機作為驅動電源?？紤]到電機低速大轉矩特性以及負載轉矩調節的便利性，采用磁滯制動器作為負載，負載由直流電源供電并調整大小。電機的轉矩和轉速值則由轉矩轉速傳感器測量得到。

圖9 轉矩-轉速特性測試平臺

在測量轉矩-轉速特性前，先采用激光測振儀測量了定子在不同電壓下的徑向振幅，以便能夠采用所提出的模型計算對應的轉矩和轉速值，并能夠確定在轉矩-轉速特性測試過程中施加的電壓。激光測振儀測量結果顯示：當驅動電壓幅值為100 V、頻率為74 kHz時，定子徑向振幅為0.6 μm；當驅動電壓幅值維持100 V不變、頻率為74.5 kHz時，定子徑向振幅為0.5 μm。測量轉矩-轉速特性時，分別施加以上兩組電壓，測量得到對應的轉矩-轉速特性，并采用所提出的模型進行計算。為了進行對比，同時給出基于庫倫摩擦定律所建立模型的計算值，計算時只要取黏性摩擦系數fv的值為0即可。測量值和計算值對比如圖10所示。由圖10可見，基于庫倫摩擦+黏性摩擦定律所建立模型的計算值與測量值能夠較好地吻合，說明了所建立模型的準確性。對比兩種模型的計算值與測量值的差異，可以發現，基于庫倫摩擦+黏性摩擦定律所建立的模型，其計算值能更好地貼近測量值。

圖10 測量值與計算值對比

為了更直觀地展示兩種模型計算值與測量值對比的結果，給出轉速計算值與測量值的均方根誤差ΔN的對比。將測量得到的轉矩作為兩種模型的給定量，求出對應的轉速計算值，進而計算轉速的均方根誤差ΔN：

(23)

式中:m為試驗測量的數據點數；NCi和NMi分別為第i個轉速的計算值和測量值。

兩種模型的轉速均方根誤差ΔN的對比如表2所示。由表2可見，與采用庫倫摩擦定律所建立的模型相比，采用庫倫摩擦+黏性摩擦定律所建立模型的計算結果誤差更小。其改進的原因在于，庫倫摩擦定律簡單地認為切向摩擦力與法向壓力成正比，而庫倫摩擦+黏性摩擦定律不僅考慮了切向摩擦力與法向壓力之間的關系，而且反映了定轉子間的相對運動速度對切向摩擦力的影響，從而使所建立的模型能更準確地描述接觸界面的摩擦傳動特性。

表2 兩種模型的轉速均方根誤差對比

5 結 語

本文分析了環形駐波超聲波電機定轉子的接觸以及摩擦傳動特性，采用庫倫摩擦+黏性摩擦定律建立了定轉子接觸摩擦模型?；谒⒌哪Ｐ?，分析了定轉子接觸界面摩擦力的變化情況，計算了定子不同徑向振幅以及彈性葉片安裝方式變化對電機的轉矩-轉速特性的影響。最后，搭建試驗測試平臺測量了電機的轉矩-轉速特性，并將測量結果與計算結果進行對比，二者相吻合，驗證了所建立的模型。同時也對比了基于庫倫摩擦定律所建立模型的計算值，結果顯示，與采用庫倫摩擦定律相比，采用庫倫摩擦+黏性摩擦定律所建立模型的計算值能更好地貼近測量值，說明采用庫倫摩擦+黏性摩擦定律所建立的模型能更準確地描述電機定轉子接觸界面的摩擦傳動特性。