基于摩擦補償的直流伺服系統變增益自抗擾控制器

馮 賓, 樊衛華

(南京理工大學 自動化學院,江蘇 南京 210094)

0 引 言

直流伺服系統作為雷達系統[1]、光電對抗系統[2]、精密數控機床[3]以及機器人系統[4]等的重要核心部件，其性能直接影響上述設備的整體性能。在伺服控制系統中，摩擦非線性是影響其穩態和動態性能的主要因素，可能使系統變得不穩定或者性能大大降低。特別在低速運行下，與中等或穩態速度運行相比，在速度換向時，摩擦非線性對直流伺服系統控制性能的影響占主導地位。在低速跟蹤和小阻尼時會引起跟蹤誤差較高、相位滯后、“滯滑”跳動、爬行和極限環振蕩等問題。因此，為了提高直流伺服系統的低速跟蹤精度和動態響應性能，需從摩擦補償和控制器設計兩方面同時入手。

為了克服摩擦非線性對直流伺服系統造成的影響，一種直接而有效的方法便是通過建立相對精確的摩擦模型，對存在直流伺服系統中的摩擦進行實時估計并加以補償[5]。常用的靜態摩擦模型有Stribeck模型、Karnopp模型和庫倫摩擦模型等。但常用模型不能真實地反映摩擦的動態特性，因此不能獲得良好的補償效果。LuGre摩擦模型采用兩個接觸面之間的鬃毛形變量來表征摩擦的動態特性，較為準確地描述了摩擦中的爬行、極限環振蕩、變靜摩擦力和斯特里貝克曲線等動靜態特性[6]，因此在理論和應用上受到許多學者的研究。目前，基于LuGre模型的控制方法主要有自適應魯棒控制[7]、滑模變結構控制[8]、基于干擾觀測器的補償控制[9]以及自抗擾控制(ADRC)[10]等。文獻[11]利用LuGre模型前饋補償系統的摩擦，有效地改善了轉臺伺服系統的低速性能。文獻[12]針對機電伺服系統低速階段存在的摩擦非線性，提出一種基于非線性觀測器摩擦補償的自適應魯棒控制器。該控制器利用LuGre模型前饋補償摩擦非線性，并通過設計魯棒項克服其他擾動，獲得了較高的控制精度和較強的魯棒性。文獻[13]利用LuGre模型對光電穩定平臺中的摩擦進行補償，并通過擾動觀測器對剩余的干擾進行補償，實現了系統的高精度跟蹤。文獻[14]結合修正黏性摩擦 LuGre 模型建立系統的狀態方程，根據反演思想設計自適應滑?？刂破?，提高了系統的跟蹤性能。但這些方法很少能在減小摩擦非線性對系統的影響和提高系統跟蹤性能的同時，改善系統的動態性能。

由Han[15]提出的ADRC是一種非線性補償控制方法，通過擴張狀態觀測器實時估計系統中的總擾動并在控制信號中加以補償。針對傳統的ADRC結構復雜，參數眾多且不夠直觀。文獻[16]引入帶寬的概念，提出了線性自抗擾控制(LADRC)，推動了ADRC在工程領域中的應用。線性擴張狀態觀測器(LESO)作為LADRC的核心，可以將摩擦視為非線性擾動，對其實時估計并在反饋信號中得到消除，從而抑制摩擦對系統性能的影響。但這要求LESO能夠快速、精確地估計出摩擦。為了提高對摩擦的估計能力，LESO就得選取較大的觀測器增益，但受實際系統的帶寬、量測噪聲、采樣時間等因素制約，觀測器的增益是受限的[17]。同時，常值高增益LESO由于初始時刻狀態變量的估計值與系統中對應的真實值存在較大誤差，會使LESO估計的擾動在初始時刻產生較大峰值，即存在初始峰值問題[18]。當這樣一個異常擾動直接補償到控制器中，則會非常容易降低系統的動態性能。

綜上，針對摩擦非線性影響直流伺服系統跟蹤精度以及現有的控制方法不能改善系統動態性能的問題，本文提出一種基于LuGre模型前饋補償的變增益自抗擾控制(VGADRC)方法。設計摩擦補償與ADRC相結合的復合控制器，通過LuGre模型對摩擦進行前饋補償，針對加入摩擦補償后的系統，可能出現摩擦補償過度或不足的現象，引入ADRC對其補償，以提高系統的跟蹤精度。此外，為抑制LESO在初始時刻產生的峰值現象，設計一種變增益線性擴張狀態觀測器(VGLESO)，以提高系統的動態性能。最后，通過仿真驗證所提控制方案在直流伺服系統中的有效性。

1 含摩擦的直流伺服系統數學模型

設直流伺服系統組成如圖1所示，由控制器、功率放大器和直流電機組成。控制器根據角位置偏差計算得到控制量，控制量經過功率放大器放大后驅動直流電機轉子轉動。

圖1 直流伺服系統組成結構圖

因摩擦非線性是影響直流伺服系統低速性能的主要因素，故忽略其他非線性擾動，僅考慮摩擦非線性，簡化后的直流伺服系統數學模型如圖2所示。

圖2中,u為控制輸入；kp為功率放大增益；U為放大后的控制電壓；ke為反電動勢常數；L為電機的電樞電感；i為電機的電樞電流；R為電機的電樞電阻；km為電機轉矩常數；Mf為摩擦力矩；J為電機的轉動慣量；θ為電機的輸出角度。

圖2 含摩擦非線性的直流伺服系統結構圖

根據直流伺服系統工作原理，由圖2可得電壓平衡方程和轉矩方程：

(1)

由于電機的電感很小?？梢院雎?，故式(1)可簡化為

(2)

(3)

LuGre模型描述如下：

(4)

圖3 Stribeck摩擦曲線

由圖3可知，系統在低速運行時，摩擦力矩具有以下兩點特性：(1)摩擦力矩從靜摩擦力矩到庫倫摩擦力矩的快速轉變，使得摩擦力矩具有負斜率特性；(2)系統在速度方向切換時，摩擦力矩具有不連續性。負斜率特性和不連續性所帶來的爬行現象會大大降低系統的低速性能。因此，本文目的是設計控制器以補償系統中的摩擦力矩。

2 VGADRC設計

針對包含了摩擦非線性環節的直流伺服系統，常規的控制方法難以達到較高的控制精度，且系統響應時間長，為此設計ADRC。本文設計的基于摩擦補償的直流伺服系統VGADRC結構圖如圖4所示，該控制器是一種由前饋補償控制與ADRC相結合的復合控制器，主要包含LuGre模型、線性跟蹤微分器(LTD)、VGLESO和線性狀態誤差反饋控制律(LSEF)四個部分。其中，LuGre模型用來前饋補償系統中的摩擦非線性，LTD用來跟蹤角位置指令并給出跟蹤過程的近似微分信號，VGLESO用來對系統的狀態和系統中的總擾動進行估計，LSEF用來對VGLESO估計的總擾動進行補償。

下面分別介紹LTD、VGLESO和LSEF 3部分的設計。

2.1 LTD

通過LuGre模型來補償系統中的摩擦非線性，可看作將LuGre模型輸出的摩擦力矩，利用系數變換施加到控制輸入端，即可補償摩擦對系統的影響[20]。對應圖4，經過系數變換后的摩擦補償力矩Ffc為

圖4 基于摩擦補償的直流伺服系統VGADRC結構圖

(5)

式中：Mfc為摩擦補償力矩。

對直流伺服系統進行位置控制時，由于期望信號為位置信號，而LuGre模型的輸入信號為速度信號，為避免對給定位置信號進行微分引入噪聲，采用二階跟蹤微分器(TD)為指令信號安排過渡過程[21]。

對于傳統的TD，由于采用的是非線性函數, 不僅編程復雜且計算量大，為便于系統設計，將TD線性化，描述如下[22]：

(6)

式中：θr為期望的位置信號；v1為安排過渡過程后的位置信號；v2為位置信號θr的近似微分信號；r為跟蹤因子。

2.2 VGLESO

對于固定摩擦參數的LuGre模型，在實際工況條件下，當系統的摩擦參數發生改變時，LuGre模型所補償的摩擦力矩會與實際的摩擦力矩產生差異，導致摩擦過補償或欠補償的情況發生。為了對殘余摩擦擾動進行抑制，采用LESO對其估計和補償。針對LESO初始時刻估計值與真實值不一致所引起的峰值現象，一種三階VGLESO設計如下。

對系統加入摩擦補償力矩Mfc后，則式(2)可改寫為

(7)

則式(7)可表示為

(8)

則式(8)的擴張狀態方程可表示為

(9)

建立式(9)的擴張狀態觀測器為

(10)

(11)

式中：e1、e2、e3分別為狀態x1、x2、x3的觀測估計誤差。

將式(11)寫成矩陣的形式為

(12)

(13)

引理若式(12)和式(13)是完全可控的，則存在非奇異線性變換z=P(t)e，使得式(12)與式(13)是等價的[23]。

定義式(12)的可控性矩陣為

(14)

式中：M0(t)、M1(t)、M2(t)均為列向量。

由可控性矩陣有：

(15)

則式(14)可重寫為

(16)

同理，定義式(13)的可控性矩陣為Mc(t)。由式(14)～式(15)可得，Mc(t)可表示為

(17)

由式(16)～式(17)可知，式(12)～式(13)是完全可控的。故由引理可得，存在非奇異線性變換z=P(t)e，變換矩陣P(t)可表示為

P(t)=Mc(t)M-1(t)

(18)

使得式(12)與式(13)是等價的。

將z=P(t)e代入式(11)和式(12)可得：

(19)

則由式(18)～式(19)可得，觀測器的時變增益l1(t)、l2(t)和l3(t)可由a1(t)、a2(t)、a3(t)及其導數表示為

(20)

為了設計a1(t)、a2(t)和a3(t)，本文采用微分算子譜理論，通過分配合適的并行微分根ρi(t)以得到a1(t)、a2(t)和a3(t)并確保VGLESO的穩定性和估計誤差有界。

令式(12)的特征根為

(21)

選取LESO中的特征根為

(22)

式中：ωo為觀測器增益，ωo>0，確保LESO的穩定。

根據微分算子譜理論，變增益參數a1(t)、a2(t)和a3(t)選取以下形式[24]：

(23)

定義ωn(t)=ωoω(t)，則由式(22)～式(23)可得：

(24)

則式(20)可重寫為

(25)

至此，l1(t)、l2(t)和l3(t)的設計問題最終轉化為ωn(t)=ωoω(t)中ω(t)的設計問題。本文選取時變函數ω(t)為

(26)

式中：k為指數因子，是正常數。

式(26)可以使ωn(t)在初始階段為一較小的值，然后迅速增大到常值ωo， 從而削弱初始階段產生的峰值現象。

注2ωn(t)=ωoω(t)中觀測器增益ωo的取值一般需根據性能指標、實際系統帶寬與量測噪聲之間綜合考慮。時變函數ω(t)中指數因子k取值越大，觀測器增益增大到常值ωo的速度越快，對狀態及擾動的估計越快，但峰值抑制能力越弱。經過仿真調試，本文k值取為50。

2.3 LSEF

VGLESO可實時估計出系統的總擾動，并通過反饋控制律進行補償，方程如下：

(27)

式中：kp為比例系數；kd為微分系數。

增大kp可以加快系統的響應速度，但過大會引起系統振蕩；過小的kd會使系統不穩定，產生振蕩發散[25]。

注3 通常情況下，先將kp選取為一個較大值，kd選取為一個較小值，然后根據性能指標依次調整kp和kd。

3 仿真驗證

為了驗證所提摩擦補償方案和VGADRC設計的有效性，在MATLAB/Simulink中建立直流伺服系統仿真模型進行仿真研究，仿真中所使用的直流伺服系統模型參數為，m=0.49，a=-1.41。

3.1 低速跟蹤仿真

為了模擬實際應用中因摩擦參數發生變化，前饋補償不準的情況，將式(5)中經過系數變換后的摩擦補償力矩Ffc在仿真中取為0.90Ffc，并在系統輸出端添加方差為0.000 1%的高斯白噪聲，以驗證欠補償和摩擦計算值不準時使用所提方法的有效性。

給定位置指令為θr=0.1sin(0.2πt) rad，采用未加摩擦補償且觀測器增益ωo=100，未加摩擦補償且觀測器增益ωo=300，增加摩擦補償且觀測器增益ωo=100三種控制方式比較低速跟蹤性能。三種方式均采用VGLESO，其三種控制方式的控制器參數除了觀測器增益不同外均為kp=2 500，kd=200，b0=2，r=50。三種控制方式的低速跟蹤仿真曲線如圖5和圖6所示。其位置跟蹤誤差峰值和速度跟蹤誤差峰值如表1所示。

圖5 低速跟蹤曲線

圖6 低速跟蹤誤差

表1 不同方式下的跟蹤誤差峰值比較

由圖5可以看出，若未對摩擦進行補償，系統在速度換向時，位置跟蹤曲線和速度跟蹤曲線分別出現“平頂”現象和“死區”現象。增大觀測器增益ωo雖然可以使觀測器更加快速和準確的估計摩擦擾動，從而減弱摩擦對系統的影響，但同時也放大了量測噪聲，使得速度信號受到嚴重污染。而加入摩擦補償后的系統，在不增大觀測器增益且系統中存在欠補償以及量測噪聲的前提下，仍可以有效減弱摩擦帶來的不良影響。

由圖6(a)和圖6(b)可得，位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差均存在一個較大的峰值，該峰值正是系統在換向時摩擦非線性所引起的位置平頂和速度死區所導致的。分析表1可得，采用摩擦補償后的系統，其位置跟蹤誤差不超過0.000 15 rad，速度跟蹤誤差不超過0.002 5 rad/s，說明所設計的摩擦補償方案能夠有效降低系統的位置和速度跟蹤誤差，提高系統的低速跟蹤精度。

為了驗證所提VGLESO能較好地抑制初始時刻的峰值現象，對摩擦補償過后的系統分別采用LESO和VGLESO進行控制，其控制器參數均為kp=2 500，kd=200，ωo=100，b0=2，r=50。兩種控制方式下的低速跟蹤誤差曲線如圖7所示。

圖7 補償后低速跟蹤誤差

由圖7摩擦補償后系統低速跟蹤誤差曲線可知，與LESO相比，采用VGLESO的控制器由于削弱了初始階段的峰值現象，其初始時刻的位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差均有所減少。

3.2 暫態響應仿真

圖8 位置階躍響應

圖9 觀測器增益變化

由圖8和圖9可知，無摩擦補償且采用LESO控制方式下的階躍響應超調量為0.006 27 rad，有摩擦補償且采用LESO控制方式的超調量為0.004 82 rad，而有摩擦補償且采用VGLESO方式下的階躍響應無超調；采用LESO方式的控制器在1 s時仍未達到穩態值1 rad，而采用VGLESO方式的控制器在0.3 s時就達到穩態值1 rad。這是因為LESO在初始階段的觀測器增益為一較大的常值ωo，從而使系統出現了初始峰值。VGLESO在初始階段選擇了較小的觀測器增益，然后迅速增大至常值ωo，所以較好地抑制了這一現象，改善了系統的動態性能。

4 結 語

為了抑制摩擦非線性對直流伺服系統控制性能的影響，本文設計了一種基于LuGre模型前饋補償的VGADRC，在不增大觀測器增益的前提下，利用LuGre模型對系統低速區的摩擦非線性進行補償，減弱了低速跟蹤時產生的“平頂”和“死區”現象。同時，本文設計的VGLESO，有效地抑制了傳統觀測器存在的初始峰值問題，提高了系統的動態性能。仿真結果表明，直流伺服系統的低速跟蹤精度明顯提高，位置階躍響應快速無超調，驗證了所提控制方案的有效性。