基于頻域擬合的無軸承永磁薄片電機徑向懸浮力建模分析

王曉琳 石滕瑞 鮑旭聰

基于頻域擬合的無軸承永磁薄片電機徑向懸浮力建模分析

王曉琳 石滕瑞 鮑旭聰

（南京航空航天大學多電飛機與電氣系統重點實驗室 南京 211106）

在無軸承永磁薄片電機系統中，永磁轉子因失去軸承支承容易發生偏心位移，為控制轉子在幾何中心穩定懸浮，徑向懸浮力精確建模是無軸承系統高性能可靠運行的關鍵基礎。針對大氣隙無軸承永磁薄片電機因轉子偏心程度大而引起的徑向懸浮力模型非線性誤差問題，該文提出一種基于頻域擬合的徑向懸浮力精確建模方法，將非線性分量轉化為相應函數補償至徑向懸浮力模型中，從而提高了模型精確度。首先，對推導一般徑向懸浮力模型過程中出現的多個誤差因素及其影響進行系統分析；在此基礎上，提出頻域擬合方法重構徑向懸浮力模型，并分析其非線性特性；最后，將解析模型與有限元仿真所得到的可控徑向懸浮力、偏心磁拉力進行深入對比分析，驗證了該解析模型的正確性與精確性。

無軸承永磁薄片電機 徑向懸浮力 麥克斯韋應力張量法 頻域擬合 有限元仿真

0 引言

無軸承永磁薄片電機是將磁懸浮技術與永磁電機相結合的一種特種電機，其兼有前者無機械磨損、不需潤滑的優勢和后者結構簡單、功率密度高的特點[1-3]。此外，電機中永磁轉子具有軸向長度小于徑向半徑而呈薄片狀的特征[4]，提高經濟效益的同時降低了電機結構復雜度。因此，采用無軸承永磁同步電機驅動的泵系統在半導體制造、醫療器械、航空航天等具有高潔凈度指標要求的前沿領域具有重要的科研價值和廣泛的應用前景[5-8]。

無軸承永磁薄片電機系統中，薄片轉子的穩定懸浮是實現系統高性能可靠運行的必要條件[9]。為實現對薄片轉子精確穩定、實時可靠的徑向懸浮控制，需要建立精確的徑向懸浮力數學模型[10-11]。文獻[12-13]建立了無軸承永磁同步電機電感矩陣表達式，利用虛位移法對電感矩陣求偏導推導出徑向懸浮力模型。該方法求解過程直接且考慮了兩套繞組的耦合關系，但一系列電感參數難以準確獲取，而且計算量較大。文獻[14]利用機電能量變換的方法建立了無軸承永磁同步電機雙繞組的磁鏈與電壓方程，通過分析電機內各部分洛倫茲力得到電磁轉矩和徑向懸浮力的表達式。該方法具有直觀清晰的建模概念，但需要繁瑣的坐標變換且忽略了模型中存在的耦合因素。文獻[15]對雙繞組結構的無軸承永磁薄片電機進行磁路分析，在推導出氣隙磁通密度表達式的基礎上利用麥克斯韋應力張量法建立了徑向懸浮力數學模型，該模型將懸浮力分成可控徑向懸浮力和偏心磁拉力兩部分，具有一定的普遍性。該方法雖然建模過程復雜、計算量較大，但模型的計算精度和準確性較高。

在影響無軸承永磁薄片電機徑向懸浮力模型準確度的眾多因素中，薄片轉子的偏心位移不容忽視，尤其在電機起動或者突加擾動的情況下，較大的轉子偏心會使徑向懸浮力呈現出不同的模型特性。文獻[16]所推導的無軸承永磁電機徑向懸浮力模型由于缺失對轉子偏心情況下懸浮力的研究分析而只能停留于非偏心條件下的理想方程；文獻[17]將麥克斯韋張量法和磁路分析法相結合，推導出考慮轉子偏心情況下的徑向力數學模型，但對磁導函數的近似處理缺少相應分析與補償，所得模型為近似形式，存在一定誤差；文獻[18]通過建立新的轉子偏心坐標系并基于麥克斯韋張量法推導了徑向懸浮力模型，但對懸浮力表達式所進行的一系列簡化忽略了非線性懸浮力分量的存在。

本文針對無軸承永磁薄片電機因轉子偏心位移大而引起的徑向懸浮力非線性誤差問題，在采用麥克斯韋張量法推導出一般徑向懸浮力模型基礎上，以提高模型精確度為目標，對磁導函數近似、徑向懸浮力忽略項、等效氣隙區別于絕對氣隙等誤差因素進行分析，提出一種基于頻域擬合的徑向懸浮力精確建模方法，將可控徑向懸浮力、偏心磁拉力中的非線性分量轉化為偏心系數的函數分別進行補償，修正等效氣隙長度的同時解決了磁導函數近似誤差問題，從而提高了模型準確度。最后運用有限元法對無軸承永磁薄片電機樣機的徑向懸浮力進行分析，將仿真結果與解析模型計算值進行了對比分析和驗證。

1 一般徑向懸浮力模型

本文研究對象為永磁體極對數f=1、轉矩繞組極對數1=1和懸浮繞組極對數2=2的兩相雙繞組無軸承永磁薄片電機。文中與永磁體、轉矩繞組及懸浮繞組三者相關的物理量分別用下標f、1和2指代以示區分。電機定子采用六極八齒集中式繞組結構，永磁轉子采用平行充磁方式，電機三維結構如圖1a所示。

圖1 雙繞組無軸承永磁薄片電機示意圖

圖1b為無軸承永磁薄片電機徑向懸浮原理。電機定子內部嵌有轉矩和懸浮兩套繞組，當轉子位于中心且未通入懸浮電流時，轉矩繞組和永磁轉子共同形成兩極對稱磁鏈1f。當懸浮繞組中通入電流，所產生的四極磁鏈2會與1f疊加作用打破原本對稱平衡的氣隙磁場，使具有相同磁鏈方向的位置氣隙磁通密度增大而相反方向的位置氣隙磁通密度減小[19-20]，從而產生徑向懸浮力。因此，當轉子發生偏心時，可通過懸浮電流的一定組合形成與偏心方向相反的作用力，進而實現轉子徑向穩定懸浮。

基于對徑向懸浮原理的分析，本節采用麥克斯韋應力張量法對圖1無軸承永磁薄片電機進行徑向懸浮力模型推導，其建模步驟如圖2所示，可總結為：結合電機氣隙磁導函數及磁動勢表達式推導出氣隙磁通密度分布，在此基礎上由麥克斯韋應力公式求解出徑向懸浮力模型。

圖2 麥克斯韋應力張量法建模步驟

1.1 氣隙長度

圖3 轉子偏心示意圖

為衡量轉子偏心程度，定義偏心系數為

1.2 氣隙磁導

當偏心系數很小時，式（3）可近似簡化為

1.3 氣隙磁動勢

無軸承永磁電機的氣隙磁場由轉矩、懸浮繞組和永磁體共同建立，它們產生的磁動勢基波分量為

式中，1fm、分別為的基波幅值和初始相位。

1.4 氣隙磁通密度

其中

式中，1fm、2m分別為轉子不偏心時氣隙磁通密度基波幅值；1f、2為對應電流幅值；為電機相數；1、2為轉矩繞組和懸浮繞組每相串聯總匝數；dp1、dp2為二者的繞組因數。

1.5 徑向懸浮力

根據麥克斯韋張量法，轉子沿、正交軸方向所受的總徑向懸浮力可表示為

式中，為轉子軸向長度；為轉子半徑。

對于1=1、2=2的無軸承永磁薄片電機，以方向徑向懸浮力F為例，計算得

綜上所述，式（11）構成一般徑向懸浮力解析模型。其中，第一部分為可控徑向懸浮力分量，大小可通過懸浮繞組電流進行調節；第二部分為偏心磁拉力分量，與偏心位移呈線性關系。

2 徑向懸浮力模型誤差分析

由第1節推導過程中可知，采用麥克斯韋應力張量法推導一般徑向懸浮力解析模型時，常會引入一些等效近似或者忽略一些非理想因素，然而這些假設必然會引起誤差。對無軸承永磁薄片電機而言，較大的轉子偏心位移會使這些誤差放大，帶來控制模型不夠精確的問題。本文對推導過程中引起模型誤差的主要因素總結有：磁導函數近似、徑向懸浮力忽略項和等效氣隙區別于絕對氣隙。下面將對這些因素逐一分析。

2.1 磁導函數近似誤差

圖4 磁導函數誤差三維圖像

由圖4、圖5可知，磁導函數近似誤差與其所引起的懸浮力誤差具有相同變化趨勢，都與偏心系數呈正相關。若取=0.3，此時氣隙磁導的最大相對誤差為9%，而引起的徑向懸浮力最大相對誤差可達15%。因此，磁導函數的近似誤差會在后續模型推導過程中進一步放大。

圖5 徑向懸浮力誤差三維圖像

2.2 徑向懸浮力忽略項誤差

為分析忽略項所引起相對誤差大小，定義

式中，omit為忽略前后F相對誤差；為懸浮繞組磁通密度與永磁體、轉矩繞組合成磁通密度的基波幅值比值。

由于、都為正值，可做如下比較

因此，徑向懸浮力直流分量忽略項所引起的相對誤差小于，而的數量級一般在1%左右，影響較小。

2.3 等效氣隙區別于絕對氣隙誤差

（1）永磁體作為非導磁材料未考慮至總等效氣隙中。

（2）極對數不同的轉矩繞組和懸浮繞組磁場被假設為磁路完全相同。

圖6 等效磁路分析示意圖

一般鐵心的磁導率相較永磁體和空氣而言很大，磁阻很小可以忽略不計。然而，永磁體的磁導率與空氣相近，等效磁路中的內磁導部分必須予以考慮，因此磁路總磁阻m可以寫成

式中，2和1分別為圓環狀永磁轉子的內、外半徑。

綜上，由于磁導函數近似、徑向懸浮力忽略項以及等效氣隙區別于絕對氣隙，一般徑向懸浮力模型存在誤差。經過分析可得出以下結論：

（1）磁導函數近似所引起的徑向懸浮力誤差與偏心系數呈正相關。

（2）徑向懸浮力忽略項對模型準確度影響較小。

（3）標準體系目標不明確。企業在建立標準體系時，也許每個標準制定的對象與目標都很明確，但標準體系的整體目標卻不甚明確。例如，針對某個工程項目或產品，需要哪些系列標準，要解決什么問題，達到什么要求等，整體缺乏明確目標，導致無法發揮標準的整體效應。

（3）等效氣隙長度修正是建立準確徑向懸浮力模型的必要條件。

3 基于頻域擬合的模型重構

針對第2節所分析的一般徑向懸浮力模型誤差，本節提出一種基于頻域擬合的模型重構方法，主要包含以下環節：偏心系數及相關物理量修正、構造函數進行頻域擬合、重構模型計算化簡。最后，在對所建立模型進行特性分析的基礎上，構建出無軸承永磁薄片電機徑向懸浮力控制模型。

3.1 偏心系數及相關物理量修正

此外，轉子不偏心時氣隙磁通密度基波幅值1fm、2m隨著等效氣隙長度的變化也會發生相應改變，修正后表達式為

后文將統一采用如上修正后結果。

3.2 構造函數進行頻域擬合

接下來對磁導函數近似所引起的模型誤差進行補償。以F為例，其計算式（9）可以寫為

理論上，式（26）可以展開成無窮多項，將=0.3時諧波項的系數整理見表1，可以發現，當諧波次數增大到一定程度時，其系數會急劇減小。

表1 K=0.3時諧波項系數

因此，本文選取頻域展開式（26）中常數項至5次諧波項的和作為擬合函數fft，有

3.3 重構模型計算化簡

在頻域擬合的基礎上進行徑向懸浮力模型重構，把fft補償至式（24）中可得

圖7 頻域擬合示意圖

將式（28）進行展開，其中僅關注徑向懸浮力直流分量，二倍頻脈動分量予以忽略可得

同理，方向徑向懸浮力重構模型整理得

下面對擬合函數fft所包含項數與模型準確度的關系進行探究。聯合式（26）與式（28）可知，原磁導函數與擬合函數各諧波項在后續積分計算中相互獨立，由和的積分可分立成各項的積分再求和，因此可采用如下一般形式來研究各諧波項對總徑向懸浮力的影響，計算公式為

將式（31）積分展開并利用三角函數的周期性進行化簡整理得

式中，0～5為關于1fm、2m或它們二者的多項式，形式固定而不影響計算。

式（32）為式（31）的等價積分展開式，代入不同值可對應求得次諧波項徑向懸浮力計算值F()。分析該式可知：當且僅當自然數=0、1、2、3、4或5時，式中某一項為“0/0”型可用洛必達法則進行求解，其余項為0。例如，當=5時可得

當＞5時，F()中每一項分子為0而分母不為0，故F()=0。因此，無論fft中諧波次數大于5的項取多少項，它們在徑向懸浮力計算公式中所對應的F()都為0，即對總徑向懸浮力不起作用。分析F亦可得相同結論。

3.4 模型特性分析

對重構徑向懸浮力模型進行特性分析，以F為例，式（29）可以拆寫為

分析上述模型可得：

位電流的方式實現人為可控性。

同理，方向徑向懸浮力F也可進行相同分解，模型特性與F一致，有

3.5 控制模型構建

可控徑向懸浮力控制的實現是無軸承電機數字控制系統的關鍵。將式（34）、式（35）中可控徑向懸浮力分量改寫為以電流、磁鏈為自變量的形式為

其中

為與電機控制系統中采用同步旋轉坐標系的分析習慣相統一，式（36）經坐標變換可得

若轉矩系統采用d=0的控制方式，則有

將式（38）代入式（37），并寫成矩陣形式，最終得可控徑向懸浮力控制模型為

綜上，本節采用頻域擬合方式所建立的重構模型完美消除了第2節所分析的模型誤差，與實際磁導函數下的徑向懸浮力模型完全等效。

4 有限元仿真分析

本文運用有限元法對1=1、2=2的無軸承永磁薄片電機的徑向懸浮力進行仿真分析，并將仿真結果與所建立解析模型的計算值進行對比，從而驗證本文所提出的基于頻域擬合的徑向懸浮力精確建模方法的正確性與有效性。無軸承永磁薄片電機樣機參數見表2。

表2 無軸承永磁薄片電機樣機參數

根據表2樣機參數建立有限元仿真模型如圖8所示。

圖8 有限元分析模型

4.1 可控徑向懸浮力分析

圖9 I2=5A時可控徑向懸浮力隨變化曲線

圖10 不同時可控徑向懸浮力隨I2變化曲線

圖11 x軸可控徑向懸浮力隨偏心距離的變化曲線

4.2 不可控徑向懸浮力分析

圖12 不可控徑向懸浮力隨偏心距離的變化曲線

Fig.12 Changing curves of uncontrollable radial suspension force with eccentric distance

圖13 擴大下隨偏心距離的變化曲線

圖14 總徑向懸浮力Fx三維圖像

由圖14可知，有限元仿真結果和解析模型計算結果幾乎完全一致。圖中虛線為F三維曲面與F=0平面的交線，此時可控徑向懸浮力與偏心磁拉力正好相等。在功率限制（2≤10A）情況下，圖中，A區域對應樣機的可控區，而在B區域就很難實現轉子的穩定徑向懸浮。

綜上，本節通過可控徑向懸浮力、不可控徑向懸浮力解析模型計算值與有限元仿真值的比較分析，驗證了本文所建立的基于頻域擬合徑向懸浮力解析模型的正確性與準確性。

5 結論

針對無軸承永磁薄片電機因轉子偏心位移大而引起的徑向懸浮力非線性誤差問題，本文提出一種基于頻域擬合的徑向懸浮力精確建模方法，其優勢在于：

1）在一般徑向懸浮力模型基礎上修正了等效氣隙長度，補償了磁導函數近似誤差。

2）將徑向懸浮力非線性分量轉化為偏心系數的函數進行補償，提高了模型精確度，并運用有限元法進行了驗證。

3）雖然對象確定，但建模方法與過程具有普遍性，尤其為轉子偏心范圍較大的無軸承電機的設計優化和控制手段提供了合理參考和有效依據。

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Accurate Mathematical Modeling of Radial Suspension Force on Bearingless Permanent Magnet Slice Motors Based on Frequency Domain Fitting

（Key Laboratory of More Electric Aircraft and Electrical System Nanjing University of Aeronautics and Astronautics Nanjing 211106 China）

In bearingless permanent magnet slice motor system, it is a necessary condition for the realization of precise and stable radial suspension control of slice rotor to construct an accurate mathematical model of radial suspension force. However, structural characteristics of large air gap makes the rotor have a large eccentricity space range without bearing support, which brings nonlinear errors of controllable radial suspension force and eccentric magnetic force. To address this issue, this paper proposes a reconstruction method of radial suspension force model based on frequency domain fitting. It improves model accuracy by transforming the nonlinear components into functions of eccentricity coefficient and compensating them.

Firstly, the general radial suspension force model is derived by Maxwell stress tensor method. Factors causing model errors in the process of derivation are summarized as follows: approximation error of permeability function, radial suspension force ellipsis error and difference between equivalent air gap and absolute air gap. The following conclusions can be drawn from the systematic analysis: ① The error of radial suspension force caused by the approximation of permeability function is positively correlated with the eccentricity coefficient. ② Radial suspension force ellipsis has little effect on model accuracy. ③ The modification of equivalent air gap length is a necessary condition for establishing accurate radial suspension force model.

Secondly, the model reconstruction method based on frequency domain fitting is designed in detail. On the basis of correction of eccentricity coefficient and related physical quantity, the difference function is constructed and its frequency domain function is expanded by Fourier transform. The sum of the constant term to the fifth harmonic term in the frequency domain expansion is selected as the fitting function, and compensated to the calculation formula to solve the reconstructed model. By mathematical proof, the analytical model is equivalent to the radial suspension force model under the actual permeability function, which is divided into two parts: controllable radial suspension force and uncontrollable radial suspension force. The nonlinear component of the model is expressed mathematically by the eccentricity coefficient.

Finally, the two-dimensional finite element simulation model is constructed to verify the accuracy of the reconstructed model. The following conclusions can be put forward from the simulation analysis: ① The difference between the analytical model results and the finite element simulation results is small, and the curves of them are consistent with each other and have the same variation rule. ② The nonlinear component of the controllable radial suspension force occupies a small proportion and can be ignored approximately compared with the whole. ③ The nonlinear error of the uncontrollable radial suspension force is positively correlated with the eccentricity coefficient and the range of eccentricity of the rotor must be limited when designing the motor structure.

Bearingless permanent magnet slice motors, radial suspension force, Maxwell stress tensor method, frequency domain fitting, finite element simulation

TM351

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220547

國家自然科學基金（52177048）和江蘇省自然科學基金（BK20201297）資助項目。

2022-04-11

2022-05-24

王曉琳 男，1976年生，教授，研究方向為永磁電機、無軸承電機、高速電機的驅動和控制。

E-mail: wangxl@nuaa.edu.cn（通信作者）

石滕瑞 男，1998年生，碩士研究生，研究方向為無軸承永磁同步電機數學模型及控制。

E-mail: storystatham@163.com

（編輯 崔文靜）