張量變分不等式問題解集的非空緊致性研究

呂媛媛

廣西師范大學數學與統計學院 廣西桂林 541006

1 緒論

本文考慮如下張量變分不等式問題：存在向量x*∈K，使〈A(x*)m-1+q，y-x*〉≥0，?y∈K。

其中A為m階n維實對稱張量，q∈n，K為n中的非空閉凸子集。將上述張量變分不等式問題記為TVIP(K，A，q)，將TVIP(K，A，q)的解集記為STVIP(K，A，q)。當K=n時，TVIP(K，A，q)轉化為張量互補問題TCP(A，q)。

張量互補問題不但是線性互補問題的推廣，而且是張量變分不等式問題的特例。其基本模型是找到x*∈n，使x*≥0，A(x*)m-1+q≥0，(x*)T(A(x*)m-1+q)=0。

張量互補問題自從提出以來就得到了許多學者的關注，現已得到廣泛研究。參考文獻[1]提出了強P0張量的概念，并證明了其對應的張量互補問題對任一q∈n均有解；參考文獻[2]將P矩陣和P0矩陣的概念推廣到P張量和P0張量，進一步證明了P張量互補問題解的存在性和解集的緊性；參考文獻[3]討論了張量互補問題解的唯一性，研究了半正張量和嚴格半正張量的性質；參考文獻[4]進一步研究了Z張量及其對應的互補問題的稀疏解。張振偉等[5]在所涉張量為K-ER張量的情形下，證明了張量互補問題解的存在性及解集的緊性；劉康[6]定義了一類新的結構張量，并證明了當所涉及的張量是Q張量時，對應的張量互補問題的解集是有界集。

張量變分不等式是非線性變分不等式和張量互補問題的自然推廣，在最優控制、經濟均衡模型中具有廣泛應用。參考文獻[7]證明了n人非合作博弈問題可被轉化為張量變分不等式模型。參考文獻[7]引入了兩類結構張量，并討論了一些相關的性質，在0∈K及A在K上嚴格正定的條件下，研究了張量變分不等式解集的非空緊致性；參考文獻[8]利用適當的擾動張量變分不等式研究了張量變分不等式解的逼近性，并研究了張量變分不等式解的收斂性，將理論結果應用于一般的寡頭壟斷市場均衡問題；牟文杰等[9]用凸分析方法研究了張量變分不等式問題解的存在性，當張量在集合的退化錐上正定時，證明了張量變分不等式問題的解集為非空緊致集。

本文利用例外簇方法研究張量變分不等式問題解集的非空緊致性。我們給出了張量變分不等式問題例外簇的定義，該例外簇定義與參考文獻[7]中例外簇不一致，證明張量變分不等式不存在例外簇則一定存在解，給出張量變分不等式不存在例外簇的一個充分條件，證明在該條件下張量變分不等式問題解集為非空緊致集。本文定理2推廣了參考文獻[7]的主要結果定理4.2和參考文獻[9]的主要結果定理1，我們給出例子，該例滿足本文定理2的條件，但不滿足參考文獻[7]中定理4.2和參考文獻[9]中的定理1。

張量定義及運算法則見參考文獻[7]和參考文獻[9]。

2 解集的非空緊致性

本節研究張量變分不等式問題解集的非空緊致性。我們首先給出了張量變分不等式問題例外簇的定義，該例外簇定義與參考文獻[7]中例外簇不一致，證明張量變分不等式不存在解，則一定存在例外簇，給出張量變分不等式不存在例外簇的一個充分條件，證明在該條件下張量變分不等式問題解集為非空緊致集。我們給出例子，該例滿足本文定理2的條件，但不滿足參考文獻[7]中定理4.2和參考文獻[9]中定理1。

定義1 設K為n中的非空閉凸子集，張量A∈m，n，q∈n，任取稱序列{xr}r>0?K為張量變分不等式TVIP(K，A，q)相對于的例外簇，若滿足：

注1 2018年，參考文獻[7]構造了張量變分不等式問題的例外簇，利用例外簇方法研究張量變分不等式問題解的存在性。其例外簇定義如下：序列{xr}r>0為TVIP(K，A，q)關于0的例外簇，若滿足：

①當r→∞時，有xr→∞；

②對任一正整數r，有xr∈K；

其中PK(·)為K上的投影算子。

我們的例外簇定義顯然與參考文獻[7]中定義的例外簇不一致。

設K為n中的非空閉凸子集，張量A∈m，n，q∈n。下面考慮TVIP(K，A，q)在Kr上的限制，記為TVIP(Kr，A，q)：找到向量xr∈Kr，使〈A(xr)m-1+q，y-xr〉≥0，?y∈Kr。

將TVIP(Kr，A，q)的解集記為STVIP(Kr，A，q)。

引理1[10]設K為n中的非空閉凸子集，A∈m，n，q∈n，則STVIP(Kr，A，q)≠0。

引理2[11]設K為n中的非空閉凸子集，則

下面定理1說明了若張量變分不等式不存在解，則一定存在例外簇。

定理1 設K為n中的非空閉凸子集，張量A∈m，n，q∈n。任取若STVIP(Kr，A，q)=?，則TVIP(K，A，q)存在關于的例外簇。

〈A(xr)m-1+q，ty+(1-t)xr〉≥0

即:

t〈A(xr)m-1+q，y-xr〉≥0，?y∈K

消去t，可得:

〈A(xr)m-1+q，y-xr〉≥0，?y∈K

由xr∈STVIP(Kr，A，q)可得〈A(xr)m-1+q，y-xr〉≥0，?y∈Kr，由NK(·)的定義得-A(xr)m-1-q∈NKr(xr)。

由引理2可知:

即:

下面定理2給出了張量變分不等式問題解集為非空緊致集的一個充分條件。

定理2 設K為n中的非空閉凸子集，張量A∈m，n，q∈n，若對任一d∈K∞(〗0}，有則STVIP(K，A，q)為非空緊致集。

(1)

〈fr，y-xr〉≤0，?r>0

(2)

(3)

≤〈A(xr)m-1+q，y-xr〉，?r>0

(4)

〈A(xr)m-1+q，y-xr〉≥0，?r>r1

(5)

當r充分大時，有：

(7)

仿照證明解集為非空集的步驟可推出矛盾，故STVIP(K，A，q)為有界集。

綜上可知，STVIP(K，A，q)為非空緊致集。

下面例1滿足定理2中的條件，不滿足參考文獻[7]中定理4.2的條件及參考文獻[9]中定理1的條件。

A∈4，2，其中a1111=a2111=1，a1112=a2112=-3，a1122=a2122=3，a1222=a2222=-1，其他元素均取值為0，q=(1，1)，則

當d=(-1，-3)∈K時，有Ad4=(d1+d2)(d1-d2)3=-32<0。

故該例不滿足參考文獻[7]中定理4.2的條件。

當d=(1，1)∈K∞時，有Ad4=0，故該例不滿足參考文獻[9]中定理1的條件。