關于非均衡動態交通網絡簡化模型的超額函數為正數的討論

陳 佳

西安思源學院基礎部 陜西西安 710000

1 概述

隨著時代的進步，汽車的保有量在逐年上升。城市交通需求與交通供給矛盾也日益突出。針對該種現象，人們考慮將城市交通規劃理論方法與數學理論方法結合，并對其進行深入的研究與分析，以幫助我們有效地緩解日益嚴峻的供給矛盾。其中，道路改擴建被視為一種改善城市交通需求的有效途徑，其主要是通過改變路網容量分散擁擠路段交通流，從而有效地緩解路段擁堵問題。但是像我國城市這種類似道路改擴建期間所導致的交通擁堵問題已經日益突出[3，5]。此外在數學上，我們把交通網絡設計和分析技術等問題稱作帶均衡約束條件的數學規劃問題[2]。1993年，Dupuis和Nagurney[12]利用最小范數概念建立了一類“動態投影系統”，并研究了該系統的穩定性。1995年，Friesz等[11]指出路段容量的改變影響交通網絡非均衡特性，同時指出路段容量的變化受出行者獲取信息的完整程度的影響，認為交通擁堵是影響出行花費的一類重要因素。同年在動態投影系統基礎上提出：(1)路徑流非負。(2)可感知預期費用非負的結論。1996年，Terry L.Friesz等[11]根據非均衡交通網絡設計概念建立了模型，并預測鑒于模型計算的復雜性則很難給出直接的精確求解過程。

本文針對該現象建立了非均衡動態交通數學模型，并對其約束條件簡化的條件進行分析，結合實際背景從數學角度驗證了該模型中超額需求函數為正的必要結論。

2 預備知識

2.1 符號說明

2.2 相關定義

引入投影算子PrΩ{·}，其中Ω是個緊集。定義投影算子PrΩ{·}滿足：

則有：

平均最小出行花費隨時間變化率為：

=κOD[PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}-uOD(t)]

=κOD[{uOD(t)+αETDOD[u(t),h(t)]}+-uOD(t)]

其中以道路上的車流量來衡量的超額出行需求函數ETDOD[u(t)，h(t)]可以表示為：

uOD(t)為單位平均最小出行花費，α為不同的單位屬性間的等效轉換參數。

同理：

=ηp[PrΩ{hp(t)-βETCp[u(t)，h(t)]}-hp(t)]

=ηp[{hp(t)-βETCp[u(t),h(t)]}+-hp(t)]

ETC[·]表示超額出行花費函數，則路徑p(p∈POD)上的超額出行花費函數可以表示為：

ETCp[uOD(t)，h(t)]≡cp[h(t)]-uOD(t)

(3.2)

參數β為不同單位的等效轉換參數。ETCOD[u(t)，h(t)，y(t)]是以道路上的車流量來衡量的超額出行花費，hp(t)表示路徑p上的車流量。

在交通工程的研究中，非均衡動態交通網絡模型一般還存在預算約束的限制，并且道路交通流量受路網容量增加量的影響，綜合各類影響因素可得出非均衡動態交通網絡模型的約束條件。

3 非均衡動態交通網絡數學模型

3.1 非均衡動態交通網絡模型的建立

3.1.1 目標函數的建立

非均衡動態交通網絡模型以消費者剩余最大建立目標函數。根據1938年Hotelling提供的方法將馬歇爾廣義平衡理論拓展，以積分形式可把消費者剩余表示為[5，8]：

其中：“∮”表示依賴于路徑的線性積分；wOD表示積分變量。

假設在固定時間[0，T]內，用戶的凈收益可以達到最大。并以出行車流量發生擁堵時所生成的出行成本為依據建立目標函數，利用折扣率r對目標函數Z[·]隨時間推移的情況進行調整，則有:

3.1.2 約束條件的建立

綜上可得非均衡動態交通網絡的抽象模型：

3.2.1 目標函數化簡

其中:

G[ETDOD(u(t)，h(t))]=[{u(t)+α·ETDOD[u(t)，h(t)]}+-u(t)]

3.2.2 約束條件化簡

考慮路網容量因素對非均衡動態交通網絡模型造成的影響，約束條件中的

(2)

ETCp[uOD(t)，h(t)，y(t)]≡cp[h(t)，y(t)]-uOD(t)

(3)

同理可得：

(5)

4 命題的提出與論證

命題3.1：若將投影算子PrΩ{·}作用于uij(t)+αETDij[u(t)，h(t)]，則有：PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}={uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]成立。

證明：根據式(4)可得,當uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]>0時，結論顯然成立。現只需證明若uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]≤0時，結論0不成立或不符合實際情況即可，這里我們采用反證法證明命題。

現假設{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=0成立有意義，則：

du=κOD[PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}-uOD(t)]dt

=κOD[{uOD+αETDOD[u(t)，h(t)]}+-uOD(t)]dt

u(t)=e-κ·t

(6)

由式(6)看出，平均最小出行花費u(t)隨著時間的增大，其出行花費減小。顯然其不符實際情況，因此以實際背景建立的該模型假設不正確。命題為真，即

PrΩ{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}=

{uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]}+=

uOD(t)+αETDOD[u(t)，h(t)]

命題3.2：若將投影算子PrΩ{·}作用于h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]，則有：

PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}=

{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=

h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]成立。

證明：根據式(5)可得，當h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]>0時，結論顯然成立。現只需證明若h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]≤0時，結論0不成立或不符合實際情況即可，這里我們同樣采用反證法證明命題。

現假設{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=0成立有意義，則：

dh=η[PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}-h(t)]dt

=η[{h(t)-β·ETCp[h(t),y(t)]}+-h(t)]dt

=-ηu(t)

h(t)=e-η·t

(7)

由式(7)看出，規定路徑的車流量u(t)隨著時間的增大，逐漸減小，最后趨于平衡。顯然其不符實際先增后緩再平穩的基本情況，而該模型是以實際背景建立的，因此假設不合理。即命題為真，故有：

PrΩ{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}=

{h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]}+=

h(t)-β·ETCp[h(t)，y(t)]

5 結論

在非均衡交通數學模型簡化過程中，結合實際通過證明得出超額需求花費與超額出行需求在投影算子作用下我們考慮正值即可。這為模型后期的進一步研究提供了幾個有利的價值：幫助我們進一步簡化了模型，為后期的模型數值離散化研究打下基礎。另外，使模型在算法實現上僅考慮為正的情況，為算法實現提供了便捷性，為后期半光滑牛頓算法的應用以及算法仿真實驗的可行性提供了有力依據。隨著時代進步，交通網絡模型的研究會繼續進行下去，本文只是初步驗證了幾個簡單的簡化條件。后期對模型的進一步算法研究以及仿真模擬，有興趣的讀者可以繼續研究。