強混合的廣義C-半群的存在性

劉 瑞，張晨曦，尤肖肖

（延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

眾所周知，Banach 空間中強混合算子是一類應用背景極強的算子，它對研究Banach 空間下的無窮維動力系統的長期行為意義很大。將C0-半群中的強混合算子的性質推廣到廣義C-半群，極大的豐富了廣義C-半群的內容，使得半群理論得到進一步發展，而且對實際工作的研究也有一定的意義。因此，將泛函分析的空間理論［1-3］和算子半群理論［4-6］這兩部分內容結合起來進行深入研究是非常有意義的一項工作。

本文在文獻［7-9］的基礎上，給出了廣義C-半群強混合［10］的概念，并且對它的強混合性作出了一些討論，證明了每個可分的無限維復Banach 空間上都存在一個強混合的廣義C-半群。

1 相關定義和引理

定義1［11］設{T(t)：t≥0}是Banach 空間X中的單參數有界線性算子族，C，-C∈B(X)。若滿足以下條件：

1）T(0)=C；

2）CT(t+s)=T(t)T(s)，?t，s≥0；

則稱{T(t)：t≥0}是X上的廣義C-半群。

定義2［11］令{T(t)：t≥0}是廣義C-半群，若線性算子A滿足：

則稱A是{T(t)：t≥0}的無窮小生成元。

定義3設{T(t)：t≥0}是廣義C-半群，如果對Banach 空間X上的任意2 個非空開集P，Q，存在某個L∈R+，使得對任意t≥L都有T(t)P∩Q≠?，則稱廣義C-半群{T(t)：t≥0}為強混合的。

引理1［12］設A為廣義C-半群{T(t)：t≥0}的-C生成元，當λ∈C且Reλ≥0 時，定義有界線性算子則

2 主要結果

定理1設X是一個可分無限維Banach 空間，則由A所生成的廣義C-半群{T(t)：t≥0}在X上是強混合的。

的所有系數有界且其界為C1t-L-1，根據引理3 的證明可知，存在一個常數C2，使得

3 結束語

本文證明了在可分的無限維復Banach 空間X上都存在一個強混合的廣義C-半群，這樣研究廣義C-半群的超循環性就等于研究它的拓撲傳遞性，從而推廣了算子半群理論的內容。本文是在限定的可分的無限維復Banach 空間上研究廣義C-半群的強混合性，當然在可分的無限維復Banach 空間上討論其他半群的強弱混合性也是值得我們去研究。