淺探“任意性”或“存在性”問題的解法

徐清杰

山東省惠民縣第一中學

近幾年來，高考數(shù)學試題及各省市模擬題中，含邏輯量詞的“任意性”或“存在性”問題多有出現(xiàn)，涉及此類問題，學生們多有困惑，現(xiàn)結合個人的教學體會，將其整理歸納為五種情形，與大家共同探討此類問題的解法，以便于今后的學習實踐.

1 一個“任意”、一個“存在”，兩個不同函數(shù)

此類試題的特點是含有一個“任意”和一個“存在”，分屬兩個不同的變量，來自兩個不同的范圍(有時兩個范圍也可以相同)，分別針對兩個不同的函數(shù).

分析：題中的“存在”“任意”等價于：f(x)中至少存在一個x0使得f(x0)小于g(x)值域中的任意一個實數(shù)，即f(x)min

歸納：(1)?x1∈D1,?x2∈D2，f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)min≥g(x)min.(適用于f(x),g(x)最值存在的情況，以下同.)

剖析：① 若f(x)的最小值不存在，f(x)∈(m,n)，則m≥g(x)min；②若g(x)的最小值不存在，g(x)∈(m′,n′)，則f(x)min>m′；③若f(x)，g(x)的最小值同時不存在，則m>m′.(注：若f(x)，g(x)的最小值不存在時，可以用其值域的左端點替代，但需要驗證等號是否能取到.)

(2)若?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)≤g(x2)成立，則f(x)max≤g(x)max.

剖析：若f(x)，g(x)的最大值不存在時，可以用其值域的右端點替代，同樣需要驗證等號是否能取到，情況與上述剖析類似，不再一一闡述.

(3)若?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)=g(x2)，則f(x)的值域是g(x)的值域的子集.

2 兩個“任意”，兩個不同函數(shù)

此類試題的特點是含有兩個“任意”，分屬兩個不同的變量，來自兩個不同的范圍(有時兩個范圍也可以相同)，分別針對兩個不同的函數(shù).

分析：題中兩個“任意”，說明f(x)的值域中任意一個實數(shù)都不小于g(x)值域中任意一個實數(shù)，即f(x)min≥g(x)max.

故a的取值范圍為[1，+∞).

歸納：(1)若?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)min≥g(x)max.

(2)若?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)≤g(x2)成立，則f(x)max≤g(x)min.

3 兩個“存在”，兩個不同函數(shù)

此類試題的特點是含有兩個“存在”，分屬兩個不同的變量，來自兩個不同的范圍(有時兩個范圍也可以相同)，分別針對兩個不同的函數(shù).

故a的取值范圍為(-2,0).

歸納：(1)若?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)≥g(x2)，則f(x)max≥g(x)min.

(2)若?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)≤g(x2)，則f(x)min≤g(x)max.

(3)若?x1∈D1,當x2∈D2,f(x1)=g(x2)，則f(x)的值域與g(x)的值域的交集是非空集.

點評：此類兩個不同的x值，滿足兩個不同函數(shù)的求參數(shù)范圍問題，通常有兩種解法.①求出兩邊各自的最值，再解兩最值的不等式，如例1、例3；②有時一邊的最值不易求出，而另一邊的最值容易求出時，可借助于求出的最值，對不等式進行同解變形，構造一個與背景函數(shù)相關的輔助新函數(shù)，再將不等式分離參數(shù)，如例2；也可對參數(shù)進行分類討論.

4 一個“任意”，兩個不同函數(shù)

此類試題的特點是含有一個“任意”，連接一個變量，分別針對兩個不同的函數(shù).

例4已知函數(shù)f(x)=ex-1，g(x)=ax2+x，若對任意x∈[0,+∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：可先考慮分離參數(shù)法;如果參數(shù)不易分離，再考慮構造新函數(shù)法，即?x∈[0,+∞)，f(x)-g(x)≥0恒成立，令h(x)=f(x)-g(x)，只需h(x)min≥0即可.

歸納：(1)若?x∈D,f(x)≥g(x)恒成立，可先考慮分離參數(shù)法；后考慮構造新函數(shù)法，設h(x)=f(x)-g(x)，則h(x)min≥0.

(2)若?x∈D,f(x)≤g(x)，解法同上(或分離參數(shù)法；或h(x)max≤0).

5 一個“存在”，兩個不同函數(shù)

此類試題的特點是含有一個“存在”，連接一個變量，分別針對兩個不同的函數(shù).

分析：可以先考慮分離參數(shù)法解決問題；如果不易分離參數(shù)，可直接轉化為?x∈(0,+∞)，f(x)-g(x)+ex≤0成立，令h(x)=f(x)-g(x)+ex，則只需證明h(x)min≤0.

歸納：(1)若?x∈D,f(x)≥g(x)成立，可先考慮分離參數(shù)法；后考慮構造新函數(shù)法，設h(x)=f(x)-g(x)，則h(x)max≥0.

(2)若?x∈D,f(x)≤g(x)，解法同上(或分離參數(shù)法；或h(x)min≤0).

點評：此類一個x值，滿足兩個不同函數(shù)的問題，若條件中含有參數(shù)，需要求參數(shù)的取值范圍時，可考慮兩種解法.①若參數(shù)容易分離，可將參數(shù)與其他變量分離，構造一個新函數(shù)，轉變?yōu)榍笮潞瘮?shù)的最值，如例5；②若參數(shù)不易分離，可通過不等式的同解變形，構造一個與背景函數(shù)相關的新函數(shù)，常需對參數(shù)進行分類討論，如例4.若證明不等式成立時，通常也有兩種證明方法.一是通過不等式的同解變形，將不等式轉化為兩個函數(shù)的最值進行比較，如例6；二是通過不等式的同解變形，構造一個新函數(shù)證明不等式，如例7.

總結：兩個不同的x值x1,x2針對兩個不同的函數(shù)f(x1),g(x2)的“任意性”或“存在性”問題，根據(jù)上述兩個不同x值的不同情況，分別求出f(x),g(x)相應的最值，然后比較大小；有時也會只求一個函數(shù)的最值，重新加以整合，或分離參數(shù)法，或構造一個新函數(shù)進行分類討論.同一個x值針對兩個不同的函數(shù)f(x),g(x)的“任意性”或“存在性”問題，根據(jù)上述同一個x值的不同情況，或分離參數(shù)法，或構造一個關于f(x),g(x)差的新函數(shù)，再求相應的最值.Z