數形結合在初中數學解題中的應用

高英凱

(北京十一學校豐臺中學,北京 100079)

數形結合是探究數學知識的重要思想方法,也是數學探究的重要手段.在以往的教學中,教師偏重于抽象的理論講解,不注重以直觀的手段加深學生對數學知識的認知和理解.教師對初中學生的認知特點缺乏全面的了解和把握,尤其是在解題教學中,忽視了以初中學生處于形象思維的特點而設計教學過程,學生對于抽象的理論和概念難以理解,對于教師的機械講述也不感興趣,導致其數學綜合能力很難得到提升.學生在解題過程中找不到解題思路和方法,不能對抽象的數學理論有深入的理解,主要原因是沒有掌握數形結合等思想方法,尤其是不能靈活運用數形結合解決數學題目,學生的解題能力很難得到培養.

1 數形結合思想內涵簡述

數學知識具有較強的抽象性,數形結合思想可以使數學知識化抽象為直觀,將抽象的“數”變為直觀的“形”,或者將直觀的“形”轉化為抽象性及概括性較強的“數”,學生可以根據自身的需要使“數”和“形”相互轉化.數形結合思想可以使學生認識到數學知識之間的邏輯關系及相關規律,應用于解題教學中,可以為學生展現更為直觀形象的數學知識,使抽象的知識直觀化,幫助學生對數學知識進行更深入的認知和理解,提升其解題效率.學生在解題過程中靈活應用數形結合思想,可以更好地分析題目的信息,提煉解決問題的有效知識,盡快找到解決問題的思路和方法.初中學生正處于形象思維階段,對抽象的數學知識在理解上會有一定的難度,而數形結合可以將抽象的數學邏輯關系用圖形、線段等直觀的方式進行展示,使無形的抽象知識變得有形,學生通過有形的邏輯展示,強化對抽象數學知識的理解,掌握數學分析的方式方法,進而提高解題能力.

2 數學解題教學中應用數形結合的作用

2.1 促進學生對知識的理解

學生在解題中會遇到一些抽象的數學概念以及定理,并且題目的描述也較為抽象,在解題中應用數形結合思想,可以將問題簡化,用直觀性的方式顯示出來并進行分析,抽象的知識變得可視化和直觀化,有利于學生清晰數學知識間的邏輯關系,激活思維,順利找到解決問題的思路和方法.

2.2 提升學生解題技能

數形結合思想不僅是學生學習數學的方法,也是解決問題的有效路徑,它可以幫助學生形成一種科學的思維方式,在不斷地分析和思考中,以及解題的實踐訓練中,鍛煉數學思維能力,積累解題經驗,有效提升解題技能.

3 初中數學解題教學存在的問題

目前的解題教學中還存在許多問題.一是教師的教學方法過于單調,在解題教學當中只重視對題目的理論性講解,之后直接給學生布置相關練習題目,學生對這種機械的訓練方式缺乏興趣,也失去了解題動力;二是教師在教學中忽視對解題思路的探究,不注重引導學生對解題過程進行檢查和反思,學生的解題技能得不到有效提升;三是教師不注重數形結合的應用,學生對于題目中涉及的抽象概念和信息不會轉化為直觀的方式進行分析和探討,無法利用數形結合進行解題.

4 數形結合在初中數學解題教學中的應用策略

在數學解題教學中,用數形結合思想分析題目當中的一些抽象的信息,使其變得直觀化,學生會從直觀的信息中弄懂題意,分析數量之間的關系,搞清題目要求,然后再通過數形結合思想來揭示數學知識的邏輯關系,從而找到解題的思路和方法[1].

4.1 利用數形結合思想理解正數和負數的概念

初中學生還處于形象思維階段,尤其是剛進入初中階段的學生,他們遇到的數學題目以及數學概念,相比于小學階段難度有所提升.例如,學生剛接觸初中數學時,涉及對“正數”和“負數”概念的理解,如果教師按照課本對概念進行講解和敘述,學生很難理解,甚至在解題過程當中還會因為理解不深入而出現錯誤,所以教師要以直觀的方式幫助學生理解抽象的正數和負數概念.例如,教師在黑板上繪制數軸,讓學生首先明確數軸的相關元素,規定了數軸的原點以及負數和正數的方向,之后再創設生活中氣溫低于0 ℃和高于0 ℃的天氣預報情境,讓學生將-3 ℃、-11 ℃和+5 ℃、+18 ℃標注到數軸上,學生通過直觀的視覺體驗,可以很容易理解正數和負數的概念.這種用數軸、線段和圖形表示數學數量關系的方式,能夠讓學生以直觀的形式理解相對抽象的數學概念及定理,還可以促進學生在數學解題中舉一反三,形成用數形結合思想來解答數學題目的能力及習慣.

4.2 利用數形結合思想解決函數問題

函數是初中數學的重點教學內容,由于該內容當中涉及的概念以及定理相對抽象,學生單純地以理論的方式去理解和鞏固,往往效果不佳,在有關函數的解題過程中也會出現諸多錯誤.所以,對于本內容的解題訓練,教師可以設計數形結合思想的專項訓練,并且組織學生在課堂上進行小組合作探究,讓學生分析自己應用數形結合思想的解題過程,還要給其他小組成員的解題過程提出建議.如讓學生用數形結合的方法對一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程的特點進行概括總結,以促進學生的深入理解.為了促進學生的深入學習,教師提出問題:比較一次函數與二次函數,說說它們的異同點.如果不利用數形結合思想去進行對比和觀察,很難得出結論,這時,教師應引導學生通過數形結合思想進行解答,讓學生在練習本上畫出一次函數和二次函數的圖象,通過圖象了解二者的不同點,并且通過對二者的圖象分析,學生可以了解到一次函數和二次函數各個元素的作用,以此為學生未來的學習打下堅實的基礎.

4.3 利用數形結合思想解決不等式問題

不等式是學生繼學習方程之后的內容,這一內容在學習上要結合方程知識,還要注重利用數形結合思想對題目進行分析,使抽象化的知識能夠通過圖形的繪制變得直觀而形象,從而使學生理清知識間的邏輯關系.部分學生對本部分知識掌握得不好,解題中會遇到一些問題,其主要原因是學生不善于利用數形結合思想對問題進行分析,在解題過程當中直接就對式子進行運算.在教學中,教師對題目做示范講解以后,就布置學生做同類型的題目,對學生的解題過程不注重引導,對學生解題過程當中出現的問題不進行分析與糾正,因此,學生在解題過程中也沒有養成用數形結合思想尋找解題思路的習慣.所以,教師在解題教學當中要強化對學生的引導,使學生體驗到數形結合思想在分析數學信息中的重要作用,幫助學生有效提高解題效率.如關于X的不等式0≤X2+AX+4≤2 有唯一的解,求解A的值.學生在遇到這種題目時往往盲目地進行分析和計算,陷入抽象的運算當中,學習基礎差的學生還容易產生思路混亂的問題.對此,教師利用數形結合思想,將其拆分成Y=X2+AX+4,Y=0,Y= 2這三個方程,引導學生對這三個方程進行分析,并用圖形的繪制的方法對三個方程的關系進行了解,學生結合以前學過的拋物線與直線相關內容,認為拋物線與直線有唯一的一個交點(相切),就能滿足題目中的“有唯一的解”的說法,學生通過觀察和分析找到了解題思路.教學中,教師讓學生動手繪制圖形并進行觀察和比較,體會利用數形結合思想解題收獲成功的快樂,培養其應用數學思想方法進行解題分析的意識.

4.4 利用數形結合思想解決幾何問題

數形結合對于學生分析數學問題有著十分重要的作用.處于形象思維階段的初中學生,他們需要借助直觀的手段來理解相對抽象的數學知識,而數形結合思想就為學生直觀理解數學知識提供了方法和手段.數形結合思想在初中數學解題中的應用十分廣泛,教師在解題示范中也可以對數形結合思想進行滲透,不僅讓學生了解數形結合思想,還要會應用數形結合思想找到解題思路,利用其解決代數問題和幾何問題.初中幾何知識對學生來說難度較大,在教學中教師要注重應用數形結合思想,將題目當中的文字敘述用有形的線段以及相關圖形來展現,對題目中的文字信息和數字信息進行必要的轉換,使相對復雜的題目變得簡單、直觀.如學習幾何證明題相關內容時,一些幾何題只是給出文字信息,如證明“等腰三角形的高、中線、角平分線在同一條直線上”.鑒于題目當中都是語言敘述性的信息,教師可以引導學生將題目中的信息轉換為圖形信息,如果學生不會依托圖形對文字信息進行分析,就難以搞清信息的實際意義,甚至不能分清數據條件之間的關系.通過數形結合思想進行分析,可以理清學生的思路,從相對復雜的語言信息當中獲取圖形信息,將題目變得簡單而直觀,學生通過對圖形進行分析,就很容易取得正確的答案.所以教師在引導學生解決幾何問題時,要注重利用數形結合思想對相關信息進行轉換,對于其中相對冗長的敘述性信息進行圖形化處理,這樣學生就可以更直觀地理解題目,了解題目中所給的條件的作用,從而解決問題[2].

數形結合思想可以打開學生的解題思路,學生學會轉換題目信息,將抽象的知識變得可視化、直觀化,從而降低學生學習及解題的難度,提高其解題能力和效率.在數學解題教學實踐中,教師要注重引導學生應用數形結合思想,并進一步拓展應用范圍,讓學生在解題實踐中體會數形結合思想的重要作用,促使學生更深入地理解數形結合思想,把其作為分析數學題目的常用方法,在解題中靈活運用,提高解題能力.